Benutzer:Johanna WWU-5/Anwendung: Unterschied zwischen den Versionen

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===Anwendungsaufgaben===
===Anwendungsaufgaben===


{{Box|7. Frösche sind wahre Sprungkünstler|
{{Box|1= <span style="Color: orange">8. Frösche sind wahre Sprungkünstler </span>|2=
[[Datei:European Common Frog Rana temporaria.jpg|mini]]
[[Datei:European Common Frog Rana temporaria.jpg|mini]]
Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben:<math>f(x)=-\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18,</math> wobei <math>x</math> die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und <math>f(x)</math> die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.
Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben:<math>f(x)=-\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18,</math> wobei <math>x</math> die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und <math>f(x)</math> die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.
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{{Lösung versteckt| 1=
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[[Datei:Geogebra-export 2.png|700px|Froschsprung]]


Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Frosches beginnt und mit dem Auftreffen des Frosches auf der Wasseroberfläche endet.  
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Frosches beginnt und mit dem Auftreffen des Frosches auf der Wasseroberfläche endet.  
Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Frosches in Zentimetern ab, auf der y-Achse die Höhe des Frosches in Zentimetern. | 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=Schließen}}
Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Frosches in Zentimetern ab, auf der y-Achse die Höhe des Frosches in Zentimetern. | 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=Schließen}}
|Arbeitsmethode}}
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{{Box|8. Hochsprung|
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[[Datei:Fosbury.gif|mini]]
[[Datei:Fosbury.gif|mini]]


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'''a)''' Bestimme die dazugehörige Flugparabel <math>g(x)=ax^2+bx+c</math>.  
'''a)''' Bestimme die dazugehörige Flugparabel <math>g(x)=ax^2+bx+c</math>.  
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was du benötigst, um eine quadratische Funktion aufstellen zu können. |2=Tipp 1 zu Aufgabenteil a)|3=Schließen}}
{{Lösung versteckt| 1=Stelle mithilfe der angegebenen Punkte drei quadratische Gleichungen (<math>ax^2+bx+c=d</math>) auf, indem du die Punkte in die allgemeine Form einsetzt! Welche von den Variablen <math>a, b, c</math> kannst du bereits ablesen? Und wie könntest du die anderen beiden Variablen berechnen? |2=Tipp 2 zu Aufgabenteil a)|3=Schließen}}


{{Lösung versteckt| 1=1) Lineares Gleichungssystem aufstellen
{{Lösung versteckt| 1=1) Lineares Gleichungssystem aufstellen
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<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
&&I.  a\cdot0^2+b\cdot0+c &=& 1.15 \\
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&& II.  a\cdot0.2^2+b\cdot0.2+c &=& 1.5 \\
&& II.  &a\cdot0.2^2&+&b\cdot0.2&+&c &=& 1.5 \\
&&III.  a\cdot1.2^2+b\cdot1.2+c  &=& 1.75 \\
&&III.  &a\cdot1.2^2&+&b\cdot1.2&+&c  &=& 1.75 \\
&& \\
&& \\
&&I. \quad    c &=& 1.15 \\
&&I.   &&&&&c &=& 1.15 \\
&&II. 0.04a+0.2b+1.15 &=& 1.5 \\
&&II. &0.04a&+&0.2b&+&1.15 &=& 1.5 \\
&&III. 1.44a+1.2b+1.15 &=& 1.75 \\
&&III. &1.44a&+&1.2b&+&1.15 &=& 1.75 \\
\end{array}
\end{array}
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[[Datei:Hochsprung.png|700px|Hochsprung]]


Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet.  
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet.  
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|Arbeitsmethode}}  
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Aktuelle Version vom 6. November 2019, 15:09 Uhr

Anwendungsaufgaben

8. Frösche sind wahre Sprungkünstler
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=-\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18,} wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.

a) Wie hoch springt der Frosch? Und nach wie vielen Zentimetern erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt?


Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Frosch am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet.
Der Frosch erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe 4 zeigt dir genau, wie es funktioniert.

1) Umwandlung in Scheitelpunktform

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(x) &=& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &\mid -\frac{1}{50} \, \text{ausklammern} \\ &=& -\frac{1}{50}(x^2-80x-900) &\mid \, \text{quadratische} \, \text{Ergänzung} \\ &=& -\frac{1}{50}(x^2-80x+1600-1600-900) &\mid \, \text{binomische} \, \text{Formel} \, \text{anwenden} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &=& -\frac{1}{50}[(x-40)^2-2500] &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \\ &=& -\frac{1}{50}(x-40)^2+50 \end{array} }

2) Scheitelpunkt ablesen


Der Scheitelpunkt der Funktion ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=(40|50)} .

3) Interpretieren im Anwendungskontext


Nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 40cm} erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 50cm} über der Wasseroberfläche. Da der Frosch vor seinem Sprung auf einem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18cm} hohen Stein saß, ist er folglich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 32cm} hoch gesprungen.


b) In welcher Entfernung vom Ufer des Teichs taucht der Frosch ins Wasser ein?


Überlege dir auf welcher Höhe der Frosch ins Wasser taucht.
Bei diesem Aufgabenteil werden die Nullstellen der Funktion gesucht. An einer dieser Nullstellen taucht der Frosch nämlich ins Wasser ein. Überlege dir, welche Nullstelle im Anwendungskontext Sinn ergibt. Falls du Probleme hast, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sieh dir Aufgabe 6 an.

1) Nullstellen berechnen durch quadratische Ergänzung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} && f(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{50}\cdot(x-40)^2+50 &&=&& 0 &\mid \cdot(-50)\\ &\Leftrightarrow& (x-40)^2-2500 &&=&& 0 &\mid +2500 \\ &\Leftrightarrow& (x-40)^2 &&=&& 2500 &\mid \pm\sqrt{} \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-40)=50& \textrm{sowie}& (x_2-40)=-50\\ \end{array} }

Also folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=90} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-10} .

2) Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} && f(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &&=&& 0 &\mid \cdot(-50)\\ &\Leftrightarrow& x^2-80x-900 &&=&& 0 &\mid +2500 \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow&x_1=40+\sqrt{40^2+900}& \textrm{sowie}& x_2=40-\sqrt{2500}\\ &\Rightarrow&x_1=90& \textrm{sowie}& x_2=-10\\ \end{array} }

Also folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=90} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-10} .

Damit hat die Funktion also zwei Nullstellen. Da wir jedoch davon ausgehen, dass der Frosch nach vorne in den Teich springt, beträgt die Sprungweite Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90cm} .


c) Zeichne die Flugbahn des Frosches in dein Heft.

Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=(d|e)} , den y-Achsenabschnitt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=(0|c)} und die Nullstelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=(x_1|0)} ein.

Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen.

Froschsprung


Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Frosches beginnt und mit dem Auftreffen des Frosches auf der Wasseroberfläche endet.

Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Frosches in Zentimetern ab, auf der y-Achse die Höhe des Frosches in Zentimetern.



9. Hochsprung
Datei:Fosbury.gif

In der Leichtathletik nennt man die momentan praktizierte Technik beim Hochsprung den sogenannten Fosbury-Flop. Der Springer schwingt sich hierbei rückwärts über die Latte. Dabei beschreibt die Flugbahn des Körperschwerpunktes eine Parabel. Wenn man aufrecht steht liegt der Körperschwerpunkt bei etwa 60% der Körpergröße. Bei der letzten Leichtathletik-Weltmeisterschaft in Doha diesen Jahres konnten bei einem Sprung eines männlich Sportlers (ca. 1,92cm groß) folgende Werte seiner Flugbahn aufgezeichnet werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=(0|1.15), \, E=(0.2|1.5), \, F=(1.2|1.75)} . Dabei beschreibt der x-Wert die Entfernung des Springers vom Absprungsort und der y-Wert die Höhe des Springers (jeweils in Meter).

a) Bestimme die dazugehörige Flugparabel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=ax^2+bx+c} .


Überlege dir, was du benötigst, um eine quadratische Funktion aufstellen zu können.
Stelle mithilfe der angegebenen Punkte drei quadratische Gleichungen (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2+bx+c=d} ) auf, indem du die Punkte in die allgemeine Form einsetzt! Welche von den Variablen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c} kannst du bereits ablesen? Und wie könntest du die anderen beiden Variablen berechnen?

1) Lineares Gleichungssystem aufstellen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&I. &a\cdot0^2&+&b\cdot0&+&c &=& 1.15 \\ && II. &a\cdot0.2^2&+&b\cdot0.2&+&c &=& 1.5 \\ &&III. &a\cdot1.2^2&+&b\cdot1.2&+&c &=& 1.75 \\ && \\ &&I. &&&&&c &=& 1.15 \\ &&II. &0.04a&+&0.2b&+&1.15 &=& 1.5 \\ &&III. &1.44a&+&1.2b&+&1.15 &=& 1.75 \\ \end{array} }


2) Zweite Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} auflösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} && 0.04a+0.2b+1.15 &=& 1.5 &\mid -1.15 \\ &\Leftrightarrow& 0.04a+0.2b &=& 0.35 &\mid -0.2b \\ &\Leftrightarrow& 0.04a &=& 0.35-0.2b &\mid :0.04 \\ &\Leftrightarrow& a &=& \frac{0.35}{0.04}-\frac{0.2b}{0.04} \\ &\Leftrightarrow& a &=& 8.75-5b \end{array} }


3) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=8.75-5b} in die dritte Gleichung einsetzen und nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} auflösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} && 1.44(8.75-5b)+1.2b+1.15 &=& 1.75 &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &\Leftrightarrow& -6b+13.75 &=& 1.75 &\mid \, -13.75 \\ &\Leftrightarrow& -6b &=& -12 &\mid \, :(-6) \\ &\Leftrightarrow& b &=& 2 \\ \end{array} }


4) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=2} in die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=8.75-5b} einsetzen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow& a=-1.25 \\ \end{array} }


5) Quadratische Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=ax^2+bx+c} aufstellen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow& g(x)=-1.25x^2+2x+1.15 \\ \end{array} }


b) Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt?

Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Körperschwerpunkt des Sportlers am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet.
Der Körperschwerpunkt des Sportlers erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe … zeigt dir genau, wie es funktioniert.

1) Umwandlung in Scheitelpunktform

2) Scheitelpunkt ablesen


Der Scheitelpunkt der Funktion ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=(0.8|1.95)} .

3) Interpretieren im Anwendungskontext


Nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.8m} erreicht der Sportler seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann auf einer Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1.95m} .


c) Hinter der Latte befindet sich eine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15cm} hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte?

Überlege dir an welcher Stelle du die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15cm} in deine Funktionsgleichung einsetzen musst. Und welche Variable musst du jetzt noch berechnen?
Die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15cm} beschreiben einen Funktionswert, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=0.15} . Um herauszufinden, an welchem Punkt der Sportler auf der Matte landet, musst du die Gleichung nun nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auflösen.

1) Quadratische Funktion mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=0.15} gleichsetzen und nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auflösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} && g(x) &=& 0.15 \\ &\Leftrightarrow& -1.25(x-0.8)^2+1.95 &=& 0.15 &\mid \, -1.95 \\ &\Leftrightarrow& -1.25(x-0.8)^2 &=& -1.8 &\mid \, :(-1.25) \\ &\Leftrightarrow& (x-0.8)^2 &=& 1.44 &\mid \, \pm\sqrt{} \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-0.8)=1.2& \textrm{sowie}& (x_2-0.8)=-1.2\\ \end{array} }

Also folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-0.4} .

2) Interpretieren im Anwendungskontext

Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=2} Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2m} zum Absprungspunkt auf der Matte.


d) Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5cm} betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.8m} vom Absprungsort entfernt und hatte eine Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1.88m} . Hätte der Sportler es auch noch über die Latte geschafft, ohne sie zu reißen, wenn er Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.2m} früher abgesprungen wäre?

Überlege dir, was die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.2m} für den von dir aufgestellten Funktionsterm bedeuten. Musst du jetzt nochmal einen neuen Funktionsterm aufstellen oder kannst du deinen alten vielleicht geschickt anpassen?
Du willst den Funktionsgraphen deines Funktionsterms entlang der x-Achse um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.2} nach links verschieben. Was musst du hierfür tun?

1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.2} nach links

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\Rightarrow& g(x)=-1.25(x+0.2)^2+2(x+0.2)+1.15 \\ \end{array} }

2) Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.8} einsetzen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} g(0.8) &=& -1.25(0.8+0.2)^2+2(0.8+0.2)+1.15 &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &=& 1.9 \\ \end{array} }

3) Interpretieren im Anwendungskontext


Wenn der Sportler Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.2m} früher abgesprungen wäre, hätte er bloß einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2cm} zur Latte gehabt und hätte sie damit gerissen.


e) Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft.

Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=(d|e)} , den y-Achsenabschnitt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=(0|c)} und den Schnittpunkt mit der Matte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=(x_1|0.15)} der ersten Funktion ein.

Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen.
Überlege dir was sich bei der zweiten Flugbahn verändert hat und was das für die zwei Funktionsgraphen bedeutet.

Hochsprung

Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet. Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern.

Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0.2 nach links verschoben. Ansonsten stimmt er komplett mit dem ersten Funktionsgraphen überein.

 

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