Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

Konzept

Ziele:

• Die SuS stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,
• Die SuS beschreibenden Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme,
• Die SuS wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind,
• Die SuS interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen,
• Die SuS wissen, was lineare, quadratische und ganzrationale Funktionen sind.
• Die SuS können diese Typen von Funktionen anhand ihres Funktionsgraphen erkennen und unterscheiden.
• Die SuS kennen Achsen- und Punktsymmetrie bezüglich der Eigenschaften von Funktionsterm und Funktionsgraph.
• Die SuS können Funktionsgraphen anhand von ablesbaren Eigenschaften beschreiben.
• Die SuS können Funktionsgraphen anhand von Eigenschaften rekonstruieren.
• Die SuS können Funktionsgraphen anhand des Funktionsterms konstruieren.
• Die SuS können Informationen zu Funktionseigenschaften in einen Text mit Realbezug erkennen und diese herausstellen.

Voraussetzungen oder weitere Ziele:

• Die SuS kennen die Bedeutung der Ableitung bezüglich der Grundvorstellungen (besonders der lokalen Änderungsrate und der Tangentensteigung).

Vorgehen bzw. Aufbau im Lernpfad:

• Eigenschaften von Funktionen werden in ausklappbaren Bereich wiederholt. Das soll relativ kompakt geschehen und durch Visualisierungen wie Terme und Graphen gestützt sein.
• Das Vorgehen der Informationserschließung bis zur Konstruktion von Term und Graph aus diesen oder dem je anderen wird anhand einer Anwendungsaufgabe schrittweise vorgestellt.
• Anschließend sind Anwendungsaufgaben zur eigenen Bearbeitung angefügt.
• Der Lernpfad endet mit einer Checkliste -> ggfs. interaktiv, falls eine sinnvolle Möglichkeit zu Umsetzung machbar ist.

• Verfahren zum Lösen der LGS in 2 Blöcke aufteilen und passende Anwendungsaufgaben jeweils darunter anfügen.
• Aufgaben ohne Anwendungsbezug und Erklärung der Verfahren ein- und ausklappbar machen, sodass die Seite übersichtlicher und weniger blockartig wird.

Allgemeine Hinweise

Lernpfad: Steckbriefaufgaben

In diesem Lernpfadkapitel kannst du ... Lernziele

• In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

• Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

- Inhaltsverzeichnis -

- Einführung / Wiederholung: Eigenschaften von Funktionen -

- kleine Anwendungen und Applets zu Eigenschaften -

- Beispiel Steckbriefaufgabe, die geführt gelöst wird -

- LGS Gaußverfahren -

- Steckbrief-Anwendungsaufgabe zum Gaußverfahren -

- LGS Einsetzungsverfahren -

- Steckbrief-Anwendungsaufgabe zum Einsetzungsverfahren -

- Was haben wir gelernt / Checkliste -

- Wie geht's weiter? -

Einführung

Auf dieser Seite lernst Du, wie Du Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes Beispiel zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.

Beispiel

Löse folgende Gleichung: $6x-5=37$

Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.

$x=7$

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren verwendest Du, um ein Gleichungssystem mit 2 Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

a) $3x+5y=58$

b) $x+2=y$

Gleichung b) ist bereits nach der Variable y aufgelöst. Diese Fügen wir nun statt des y in die die Gleichung a) ein. Das sieht folgendermaßen aus:

$3x+5*(x+2)=58$

1. Wir vereinfachen

$3x+5x+10=58$

2. Und stellen nach x um

$8x=48$

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

$x=6$

4. Das können wir nun in eine der Gleichungen einsetzen und nach y umstellen. Gleichung b) eignet sich dafür natürlich am besten. Es gilt:

$6+2=y$ und damit folgt

$8=y$.

Wir haben die Gleichungssysteme gelöst.

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 Variablen. Dabei stellst du die eine Gleichung nach einer Variable um und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.

Aufgaben zum Einsetzungsverfahren

Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

${\begin{array}{rlll}&I\quad &&7x&+&3y&&=&&50&\\&II\quad &&&&18y&&=&&6&\\\end{array}}$

$x=7$,$y=1/3$

b)

${\begin{array}{rlll}&I\quad &&3x&+&6y&&=&&6&\\&II\quad &&-2x&+&12y&&=&&0&\\\end{array}}$

Eliminiere die $y$-Variable in der unteren Zeile.

$x=3/2$,$y=1/4$

Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang

Aufgabe: Elternsprechtag

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)

Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit $t$ in Stunden, wobei $t=0$ 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form $f(t)=at^{2}+bt+c$ beschreiben. Stelle die Gleichung von $f$ auf und überprüfe sie, indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest.

Um die drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$ eindeutig zu bestimmen, benötigst du drei Bedingungen aus den Informationen. Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei $t=0$, sodass die erste Bedingung $f(0)=0$ ist. Er verläuft durch den Punkt $(1|25)$. Die zweite Bedingung ist also $f(1)=25$. Außerdem hat er eine Nullstelle bei $t=6$, sodass die dritte Bedingung $f(6)=0$ ist.

Um die drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$ eindeutig zu bestimmen, benötigst du drei Bedingungen aus den Informationen.

Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei $t=0$, er verläuft durch den Punkt $(1|25)$ und hat eine weitere Nullstelle bei $t=6$.

$f(0)=0$, $f(1)=25$, $f(6)=0$

$f(t)=-5t^{2}+30t$

${\begin{array}{rlll}f(t)&=&at^{2}+bt+c\\\end{array}}$



${\begin{array}{rlll}&&f(0)&=&0\\&\Leftrightarrow &a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c&=&0\\&\Leftrightarrow &c&=&0\\\end{array}}$



$\Rightarrow f(t)=at^{2}+bt$



${\begin{array}{rlll}&&f(1)&=&25\\&\Leftrightarrow &a\cdot 1^{2}+b\cdot 1&=&25\\&\Leftrightarrow &a+b&=&25\\\end{array}}$



${\begin{array}{rlll}&&f(6)&=&0\\&\Leftrightarrow &a\cdot 6^{2}+b\cdot 6&=&0\\&\Leftrightarrow &36a+6b&=&0\\\end{array}}$





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

${\begin{array}{rlll}&I\quad &a+b&=&25\\&II\quad &36a+6b&=&0\\\end{array}}$

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Einsetzungsverfahren:

Als erstes stellen wir Gleichung $I$ nach $a$ um und erhalten

${\begin{array}{rlll}&I\quad &a=25-b\\\end{array}}$

Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung $I$ in Gleichung $II$ ein, erhalten wir

${\begin{array}{rlll}&II\quad &&&36a+6b&=&0&\mid a=25-b\,{\textrm {einsetzen}}\\&&&\Rightarrow &36\cdot (25-b)+6b&=&0&\mid {\textrm {Ausmultiplizieren}}\\&&&\Rightarrow &900-36b+6b&=&0\\&&&\Rightarrow &900-30b&=&0&\mid +30b\\&&&\Rightarrow &30b&=&900&\mid :30\\&&&\Rightarrow &b&=&30\\\end{array}}$

Setzen wir $b=30$ in die (umgeformte) Gleichung $I$ ein, erhalten wir

${\begin{array}{rlll}&I&&&a&=&25-b&\mid b=30\,{\textrm {einsetzen}}\\&&&\Rightarrow &a&=&25-30\\&&&\Rightarrow &a&=&-5\\\end{array}}$

und damit insgesamt

$f(t)=-5t^{2}+30t$

b)

Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen maximal 50 Parkplätze zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen Hochpunkt mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.

${\begin{array}{rlll}&{\textrm {notwendige}}\,{\textrm {Bedingung:}}&f'(t)&=&0\\&{\textrm {hinreichende}}\,{\textrm {Bedingung:}}&f''(t)&<&0\\\end{array}}$

Der Graph der Funktion $f$ hat den Hochpunkt $(3|45)$. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

${\begin{array}{rlll}f(t)&=&-5t^{2}+30t\\f'(t)&=&-10t+30\\f''(t)&=&-10\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}{\textrm {NotwendigeBedingung:}}&&f'(t)&=&0\\&\Leftrightarrow &-10t+30&=&0&\mid +10t\\&\Leftrightarrow &10t&=&30&\mid :10\\&\Leftrightarrow &t&=&3\\\end{array}}$



${\begin{array}{rlll}{\textrm {HinreichendeBedingung:}}&&f'(3)&=&0&&{\textrm {und}}\\&&f''(3)&=&-10&<&0\end{array}}$

$f(3)=-5\cdot 3^{2}+30\cdot 3=45$

c)

Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

${\begin{array}{rlll}&I\quad &&3x&+&5y&+&4z&&=&&6&\\&II\quad &&2x&+&1y&+&7z&&=&&15&\\&III\quad &&1x&+&2y&+&3z&&=&&5&\\\end{array}}$

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

${\begin{pmatrix}3&5&4&6\\2&1&7&15\\1&2&3&5\end{pmatrix}}$

1. Um die $x$-Variable in Gleichung $II$ zu eliminieren rechnen wir $II+(-2)\cdot III$:

${\begin{array}{rlll}&I\quad &&3x&+&5y&+&4z&&=&&6&\\&II\quad &&&-&3y&+&1z&&=&&5&\\&III\quad &&1x&+&2y&+&3z&&=&&5&\\\end{array}}$

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

${\begin{pmatrix}3&5&4&6\\0&-3&1&15\\1&2&3&5\end{pmatrix}}$

2. Um die $x$-Variable in Gleichung $III$ zu eliminieren rechnen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III \cdot (-3) + I} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\ \end{array} }

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}}

3. Nun soll auch die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Variable in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} eliminiert werden. Dazu rechnen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III \cdot (-3) + II}

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\ \end{array} }

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}}

Wir können Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} nun nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} auflösen. Dann setzen wir den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Wert in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} ein und lösen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} - und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Wert in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ein und lösen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=2} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=-1} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=1}

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als obere Dreiecksmatrix. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.

Aufgaben zum Gauß-Verfahren

Gleichungssysteme lösen.

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\ &II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\ &III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\ \end{array} }

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Variable in der zweiten Zeile.

Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=-9 } ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=7} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=1/6 }

b)*

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\ &II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\ &III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\ &IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5& \end{array} }

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Wert in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} .

Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3,5 } ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=-7} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=1 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v=2,5 }

Kubische Funktionen im Sachzusammenhang

Aufgabe: Virusinfektion

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

• Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
• Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)

Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?

Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0} , er verläuft durch den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (4 | 2)} und hat den Hochpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (8 | 4)}

Unterer Graph ist nur eine Möglichkeit einer ungefähren Modellierung der Virusinfektion!

b)

Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d} beschreiben. Stelle die Gleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} auf.

Um die vier Unbekannten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} eindeutig zu bestimmen, benötigst du vier Bedingungen aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0) = 0} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(4) = 2} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(8)=4} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(8)=0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\ f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& d &=& 0 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(4) &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(8) &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f'(8) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array} }





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array} }

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II - 8 \cdot I}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III - 3 \cdot I}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III - \frac{1}{2} \cdot II}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && && &21c& &=& &0& \\ \end{array} }



Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} liefert uns nun

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\ &&&\Rightarrow& c &=& 0 \\ \end{array} }

Setzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 0} in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} ein, erhalten wir

${\begin{array}{rlll}&II\quad &&&-64b+24c&=&-12&\mid c=0\,{\textrm {einsetzen}}\\&&&\Rightarrow &-64b+24\cdot 0&=&-12\\&&&\Rightarrow &-64b&=&-12&\mid :(-64)\\&&&\Rightarrow &b&=&{\frac {3}{16}}\\\end{array}}$

Setzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \frac{3}{16}} in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ein, erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\ &&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\ &&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\ &&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\ &&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\ \end{array} }



und damit insgesamt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) }

c)

Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine Nullstellen.

Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} enthalten, lassen sich durch Faktorisieren lösen .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} hat Nullstellen bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_{1} = 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_{2} = 12} . Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\ &\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\ &\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\ &\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\ \end{array} }

d)

Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\ \end{array} }

Der Graph der Funktion $f$ hat einen Wendepunkt bei $t=4$. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

${\begin{array}{rlll}f(t)&=&-{\frac {1}{64}}t^{3}+{\frac {3}{16}}t^{2}\\f'(t)&=&-{\frac {3}{64}}t^{2}+{\frac {3}{8}}t\\f''(t)&=&-{\frac {3}{32}}t+{\frac {3}{8}}\\f'''(t)&=&-{\frac {3}{32}}\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}{\textrm {Notwendige}}\,{\textrm {Bedingung:}}&&f''(t)&=&0\\&\Leftrightarrow &-{\frac {3}{32}}t+{\frac {3}{8}}&=&0&\mid +{\frac {3}{32}}t\\&\Leftrightarrow &{\frac {3}{32}}t&=&{\frac {3}{8}}&\mid :{\frac {3}{32}}\\&\Leftrightarrow &t&=&4\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}{\textrm {Hinreichende}}\,{\textrm {Bedingung:}}&&f''(4)&=&0&&{\textrm {und}}\\&&f'''(4)&=&-{\frac {3}{32}}&\neq &0\end{array}}$

e)

Skizziere nun den Graphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a). Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

Da die Funktionswerte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t > 12} negativ sind, ist der Graph nur für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \leq t \leq 12} als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet.

Alles klar?

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