Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln

1) Potenzen: Definition
2) Potenzgesetze
3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise
4) Wurzeln: Definition

5) Rechnen mit Quadratwurzeln

SEITE IM AUFBAU!!

4 Wurzeln/Quadratwurzeln - Definition

4.1 Wurzeln - Einführung

Quadratwurzel - Einführung

Ziehe den Schieberegler im nachfolgenden GeoGebra-Applet und bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft:
a) Gib die jeweilige Seitenlänge und den Flächeninhalt der Quadrate an bis zum Flächeninhalt 100 Kästchen.
b) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 169 Kästchen. Wie lang ist eine Seite?

c) Kannst du Quadrate mit dem Flächeninhalt von 2 Kästchen (3 Kästchen) zeichnen?

4.2 (Quadrat)wurzel - Definition

(Quadrat)wurzel - Definition

Die Quadratwurzel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{b}} aus einer positiven Zahl b ist die positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:

a² = b und
a = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{b}}

Fachbegriffe:

Teste dich:

Wiederholung Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400

25² = 625

Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• Nr. 2 - 11
• Nr. 13 - 17

Jetzt bist du fit für Aufgaben aus dem Buch:

Übung 2(*)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 75 Nr. 3
• S. 75 Nr. 4
• S. 75 Nr. 5
• S. 75 Nr. 6
• S. 75 Nr. 7
• S. 76 Nr. 18

Übung 3(**)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 75 Nr. 10
• S. 75 Nr. 11
• S. 75 Nr. 12

144a = 14400m²

(Lösung: 48m)

Berechne zunächst die Fläche des Rechtecks A = a∙b
a) A = 18∙8 = 144 Nun überlege, welche Seitenlänge das Quadrat mit dem Flächeninhalt A = 144 (m²) besitzt:
144 = a²  |Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \surd}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{144}} = a
12 = a

Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 12m.

Übung 4(***)

Löse im Heft die Aufgaben aus dem Buch

• S. 76 Nr. 14
• S. 76 Nr. 15

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:
O = 6a²
24 = 6a²  |:6
4 = a²  |Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \surd}

...

Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)

Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.

Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².

Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.

Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.
Lösung zu a) 22 Quadrate

b) 50 Quadrate

4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln

Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.
So liegt z.B. der Wert von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}} im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2².
Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}} auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:

(Applet von W. Wengler)


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}} hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.

Den meisten ist es zwar egal, doch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}} ist irrational...

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Nährerungsweises Bestimmen von Quadratwurzeln

Du kannst durch Annäherung feststellen, zwischen welchen natürlichen Zahlen die Quadratwurzel einer Zahl liegt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{30}} liegt zwischen den Zahlen 5 und 6, denn

5² < 30 < 6²

Übung 5 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 12

Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 77 Nr. 2
• S. 79 Nr. 6

Reelle Zahlen

Du hast einen neuen Zahlbereich kennengelernt: Alle rationalen und irrationalen Zahlen gehören der Menge der reellen Zahlen R an.

4.4 Konstruktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}}

Konstruktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}}

Das nachfolgende Applet zeigt, wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}} usw. konstruiert werden können. Erkläre!

Ziehe den Schieberegler:

Übung 7 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 16

4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel

Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, muss du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
2Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot} 2Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot} 2 = 2³ = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{8}} =2
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).

Kubikwurzel - 3. Wurzel

Die 3. Wurzel einer Zahl a ist die Zahl b, die dreimal mit sich selbst malgenommen die Zahl a ergibt: bFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot} bFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot} b = a, also gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{a}} =b.

Übung 8 - Kopfrechnen

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 11

Übung 9 - Löse mit dem Taschenrechner

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 12
• S. 79 Nr. 13
• S. 79 Nr. 15 (mit Taschenrechner)

Übung 10 - Anwendungen

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 14

Beachte Schreibweisen:
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a
a³ = 512   |Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{}}
a = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{512}}

a = 8 [cm]

Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:
2a³ = 843,75   |:2

a³ = ...

Übung 11 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 25
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5) Rechnen mit Quadratwurzeln