Benutzer:Maurice Krause/Testseite

Aufgabe 2: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a)$g_{1}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $g_{2}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

b)$h_{1}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $h_{2}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}4\\5\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

c)$i_{1}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $i_{2}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

Die erste Antwort lautet schneiden. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt ${\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}$. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:

$1+r*1=2+t*4$

$1+r*2=3+t*5$

$1+r*3=4+t*3$

Dies formen wir um: $r*1-t*4=1$

$r*2-t*5=2$

$r*3-t*3=3$

Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.

Die zweite Antwort lautet schneiden. Die beiden Geradenschneidenich im Ortsvektoren selbst.

Die dritte Antwort lautet windschief. Die beiden Geraden sind windschief zueinander. Dies sehen widaran $1+r*1=2+t*1$

$1+r*2=3+t*4$

$1+r*3=4+t*3$

Dies formen wir um: $r*1-t*1=1$

$r*2-t*4=2$

$r*3-t*3=3$

Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6

daran,

Aufgabe 3: Lage erkennen

Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel

Merksatz

Zwei Geraden...

sind identisch

• Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
• Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden

sind parallel

• Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
• Ortsvektor der einen Geraden liegt nicht auf der anderen Geraden.

schneiden sich

• Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander)
• Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine wahre Aussage in Form eines Punktes heraus

sind zueinander windschief

• Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander)
• Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine falsche Aussage heraus

.

Aufgabe 4:

Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei ${\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}}$ und befindet sich nach 5sek auf ${\begin{pmatrix}510\\410\\350\end{pmatrix}}$. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in ${\begin{pmatrix}5\\10\\0\end{pmatrix}}$. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von ${\begin{pmatrix}120,2\\96,4\\z\end{pmatrix}}$.

Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:

a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?

b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?

c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.

Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:

$L={\sqrt[{2}]{x{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.

Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.

Flugzeug Aer: $f_{3}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}100\\80\\70\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$

Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen: ${\begin{pmatrix}510\\410\\350\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}}+5\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:

$510=10+5*x$

$410=10+5*y$

$350=0+5*z$

Flugzeug Amadeus: $f_{1}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\10\\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}120,2\\96,4\\84\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$

Dies erhalten wir wie folgt: Wir kennen den Richtungsvektor: ${\begin{pmatrix}120,2\\96,4\\84\end{pmatrix}}$. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:

$175,49={\sqrt[{2}]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}}$

Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:

$175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}$

Wir formen zu $z^{2}$ um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.

Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.

Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:$L={\sqrt[{2}]{x{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Fugzeug Aer: $L={\sqrt[{2}]{100{2}+80^{2}+70^{2}}}$.

$L=145,95$.

Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. Umgerechnet in km/h sind das also:

$145,95*3,6=525,42$ 525,42km/h.

Flugzeug Amadeus: Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:

$175,49*3,6=631,76$

631,76km/h.

Flugzeug Aer und Amadeus: Sie schneiden sich für ${\begin{pmatrix}10\\10\\0\end{pmatrix}}+30\cdot {\begin{pmatrix}100\\80\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\10\\0\end{pmatrix}}+25\cdot {\begin{pmatrix}120,2\\96,4\\84\end{pmatrix}}$. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:

$10+t*100=5+s*120,2$

$10+t*80=10+s*96,4$

$0+t*70=0+s*84$

Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.

Geraden und ihre Anwendungen

$\alpha =90$

$90^{\circ }$

$\alpha =90^{\circ }$

a

sich nach 10sek auf  ${\begin{pmatrix}1239,75\\1040\\1287,5\end{pmatrix}}$. Ebenfalls m

b

sich nach 10sek auf ${\begin{pmatrix}1239,75\\1040\\1287,5\end{pmatrix}}$. Ebenfalls möchte das

a

Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte $A(1|0|{-}2)$ und $B(3|4|0)$?

Test

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

a

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9  \end{pmatrix}</math>

a

<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}</math>

Regex

JA:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$E:{\vec {x}}$

$E:{\vec {x}}$

$E:{\vec {x}}$

$g:{\vec {x}}$

$g:{\vec {x}}$

$g_{1}:{\vec {x}}$

$g_{1}:{\vec {x}}$

NEIN:

$42:6$

6x7 6 x 7 6x 7 6 x7

$(-3|-3|4)$

$(4\mid -5\mid 0)$ $(2\vert -2\vert 1)$

NEIN:

• a

JA: $6*7$

Tests

Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen. Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Text

Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.

Text

$\left\vert {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&42y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1\\4242x&&\;-\;&&24y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-42\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{3}}y&&\;\;&&&&\;=\;&&0\end{alignedat}}\right\vert$

a

b

$h(x)=H'(x)=H'\left(H(a)+\int _{a}^{x}h(t)\,dt\right)=H'(a)+H'\left(\int _{a}^{x}h(t)\,dt\right)=H'\left(\int _{a}^{x}h(t)\,dt\right)=H'\left(H(x)-H(a)\right)$

$h(x)=H'(x)=\left(H(a)+\int _{a}^{x}h(t)\,dt\right)'=H'(a)+\left(\int _{a}^{x}h(t)\,dt\right)'=0+\left(\int _{a}^{x}h(t)\,dt\right)'=\left(H(x)-H(a)\right)'=H'(x)-H'(a)$

Beachte 1

...

Beachte 1

...

Titel

Titel

	A	B
C	1	2
D	3	4

A_Kreis

m³

Text $\int _{a}^{b}$ Text

Text ${\textstyle x_{1}^{2}}$ Text

$x{\widehat {=}}$ Test

1 Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
${\begin{array}{crrrrr}\\{\text{I}}\quad &7x&-&2y&=&48\\{\text{II}}\quad &3x&+&11y&=&11\end{array}}$

	$x=2$, $y=4$
	$x=2$, $y=5$
	$x=5$, $y=5$
	$x=5$, $y=4$

2 Beispielfrage

	a
	b