Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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==Die Parameterform und die Punktprobe==
==Die Parameterform und die Punktprobe==
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|{{Lösung versteckt|1= Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt A und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq 0</math> und <math>\vec{v} \neq 0</math>, die nicht parallel zueinander sind.
{{Box|Merksatz: Die Parameterform|Eine Ebene <math>E</math> ist bestimmt durch einen Punkt <math>A</math> und zwei Vektoren <math>\vec {u} \neq \vec{o}</math> und <math>\vec{v} \neq \vec{o}</math>, die nicht parallel zueinander sind.
 
[[Datei:Darstellung- Ebene in Parameterform .jpg|mini|Ebene E]]
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math>
Diese Ebene <math>E</math> kann wie folgt beschrieben werden: <math>E:\vec{x}=\vec{OA}+s \cdot \vec{u} +t\cdot \vec{v} </math>


Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parameter <math>s</math> und <math>t</math>.
Diese Vektorgleichung bezeichnet man als '''Parameterdarstellung/Parametergleichung''' der Ebene <math>E</math> mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.


Um eine Parameterdarstellung aufzustellen reichen, statt eines Punktes und zwei Vektoren, auch:
Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch:  


* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen  
* drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder
* Gerade und Punkt  
* eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder
* zwei sich schneidende Geraden
* zwei sich schneidende Geraden, oder
* zwei parallele Geraden
* zwei echt parallele Geraden,            genutzt werden.
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}
|Merksatz}}


{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=
{{Box | 1= Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen | 2=
Gegeben sind die Punkte <math>A(0,1,2)</math>, <math>B(2,0,4)</math>, <math>C(4,8,0)</math>, die nicht auf einer Geraden liegen.
Gegeben sind die Punkte <math>A(0|1|2)</math>, <math>B(2|0|4)</math>, <math>C(4|8|0)</math>.
Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> jeweils eine unterschiedliche Koordinate <math>= 0 </math> ist,  folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.  


Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt <math>\vec{OA}</math> und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten.  
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor <math>\vec{OA}</math> verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren <math>\vec{AB}</math>, <math>\vec{AC}</math> zu den anderen Punkten.  


Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>.  
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 2 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>.  


''<span style="color: red">Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform  ist daher nicht eindeutig.</span>''| 3=Hervorhebung1}}
'''<u>Achtung:</u>''' Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform  ist daher '''nicht eindeutig'''.| 3=Hervorhebung1}}


{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus der Punkten |  
{{Box | Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten |  
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.


a)     <math>A(1,{-}3,2)</math> <math>B(2,2,15)</math> und <math>C({-}4, 1,{-}5)</math>
a)     <math>A(1|{-}3|2)</math>, <math>B(2|2|15)</math> und <math>C({-}4|1|{-}5)</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}3 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}5 \\ 4 \\ {-}7 \end{pmatrix} </math>  
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


b)     <math>A(1, 10, 7)</math> <math>B(12,4,3)</math> und <math>C(2,1,2)</math>
b)     <math>P(1|10|7)</math>, <math>Q(12|4|3)</math> und <math>R(2|1|2)</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ {-}6 \\ {-}4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ {-}9 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>  
Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


Kannst du hierzu auch jeweils zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?
Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math>  
{{Lösung versteckt|1= weitere mögliche Parameterform zu a) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ {-}5 \\ {-}13 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}6 \\ {-}1 \\ {-}20 \end{pmatrix} </math>  
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
weitere mögliche Parameterform zu b) <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} {-}11 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}10 \\ {-}3 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>|2=mögliche Lösungen anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5,4,1), B(2,{-}6,3), C(3,0,8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.
{{Box | Aufgabe 2: Fehlersuche |Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten <math>A(5|4|1), B(2|{-}6|3), C(3|0|8)</math> eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br>
[[Datei:Furkans Rechnung.jpg|links|mini|Furkans Rechnung]] [[Datei:Diegos Rechnung.jpg|rechts|mini|Diegos Rechnung]] <br>


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{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben.  
{{Lösung versteckt|1= Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{AC}</math> die Ortsvektoren zu den Punkten <math> B</math> und <math>C</math> angegeben.  
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes <math>C</math> gewählt und als Spannvektoren die Vektoren <math>\vec{CA}</math> und <math>\vec{CB}</math>. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist. |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}
  | Arbeitsmethode}}


{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform |  
{{Box | Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform |  
Zeile 76: Zeile 79:
===Die Punktprobe===
===Die Punktprobe===


{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|{{Lösung versteckt|1=
{{Box|Merksatz: Die Punktprobe|  
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.
Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen <math>s</math> und <math>t</math> Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.


Zeile 82: Zeile 85:


Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.
Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.
| 2=Infobox | 3=Einklappen}}|Merksatz}}
|Merksatz}}


{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=
{{Box | 1= Beispiel: Punktprobe | 2=
Liegt der Punkt <math>A({-}1,1,{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?
Liegt der Punkt <math>A({-}1|1|{-}1)</math> in der Ebene <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} </math>?
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>r,s</math> geben, für die gilt:  
 
Wenn ja, dann müsste der zu <math>A</math> gehörende Ortsvektor <math>\vec{OA} = \begin{pmatrix} {-}1 \\ 1 \\ {-}1 \end{pmatrix}</math> die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen <math>s,t</math> geben, für die gilt:  


<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}</math></div>
<div align="center"><math>\vec{OA}=\vec{p}+s \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}</math></div>




Zeile 95: Zeile 99:
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen


<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcr}\\
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
\text{I}\quad & {-}2r & + & 0s  & = & {-}2\\
1    &&\; + \;&& ({-}2)s            &&\; + \;&& 0t &&\; = \;&& {-}1  \\
\text{II}\quad & 0r & + & 1s & = & {-}1\\
2 &&\; + \;&& 0s           &&\; + \;&& 1t &&\; = \;&& 1\\
\text{III}\quad & 3r & + & 4s & = & {-}1
0    &&\; + \;&& 3s &&\; +  \;&& 4t  &&\; = \;&& {-}1
\end{array}</math></div>
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.
 
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
\;&& s &&\; = \;&& 1  \\
  \;&& t &&\; = \;&& {-}1\\
\;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}
 
 
{{Box | Aufgabe 4: Punktprobe |
Gegeben ist die Ebene <math>E</math> mit
<math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
'''a)'''    Liegt der Punkt <math>A (7|5|{-}3)</math> in der Ebene?
 
'''b)'''    Liegt der Punkt <math>B (7|1|8)</math> in der Ebene?
 
 
{{Lösung versteckt|1=
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
7    &&\; = \;&& 2            &&\; + \;&& 1r  &&\; + \;&& 2s  \\
5 &&\; = \;&& 0            &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\
{-}3    &&\; = \;&& 1 &&\; +  \;&& 5r  &&\; + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).
Der Punkt <math>A</math> liegt also nicht in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Es gilt: <math>E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
7    &&\; = \;&& 2            &&\; + \;&& 1r  &&\; + \;&& 2s  \\
1 &&\; = \;&& 0            &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\
8  &&\; = \;&& 1 &&\; +  \;&& 5r  &&\; + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Dieses LGS hat die Lösung <math>r=1</math> und <math>s=2</math> (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).
Der Punkt <math>B</math> liegt also in der Ebene <math>E</math>.|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


Aus der ersten Gleichung folgt <math>r=1</math>, die zweite Gleichung ergibt <math>s={-}1</math>.
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt <math>A</math> liegt in der Ebene <math>E</math>.| 3=Hervorhebung1}}


{{Box | Aufgabe 4: Die Parameterform im Sachzusammenhang |  
{{Box | Aufgabe 5: Kirchturm |  


Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math>m.
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von <math>12</math> m.
<math>A(0,0,0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6,6,0)</math>.  
<math>A(0|0|0)</math> sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke <math>C</math> der Grundfläche hat die Koordinaten <math>C(6|6|0)</math>.  


'''a)'''    Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen.  
'''a)'''    Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte <math>B</math> und <math>D</math>, sowie der Dachspitze <math>S</math>. Stelle die Ebenengleichung der Ebene <math>E</math> auf, in der die Punkte <math>B</math>, <math>C</math> und <math>S</math> liegen.  
Zeile 113: Zeile 161:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:
Die Punkte haben die folgenden Koordinaten:
Punkt <math>B (6,0,0)</math>
Punkt <math>B (6|0|0)</math>,
Punkt <math>D (0,6,0)</math>
Punkt <math>D (0|6|0)</math> und
Punkt <math>S (3,3,12)</math>.  
Punkt <math>S (3|3|12)</math>.  
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, in dem du annimmst, dass die Spitze mittig auf der Grundfläche steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen.
Die Koordinaten des Punktes <math>S</math> kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die <math>x_1</math>-Koordinate kann somit durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}</math> berechnet werden und die <math>x_2</math>-Koordinate durch <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}</math>. Alternativ könntest du auch die <math>x_1</math>- und die <math>x_2</math>-Koordinate mithilfe der Diagonalen, also <math>\vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}</math> berechnen. Die <math>x_3</math>-Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.


Eine mögliche Parameterform der Ebene E wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math>
Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: <math>E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}


  {{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Hinweis |3=Hinweis verbergen}}
  {{Lösung versteckt|1=Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen. |2=Sprinteraufgabe |3=Sprinteraufgabe verbergen}}




'''b)'''    Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5, 4{,}5, 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene der in a) errechneten Ebene?
'''b)'''    Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten <math>(4{,}5| 4{,}5| 6)</math> übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene <math>E</math>?
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt.  
Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt.  


Zeile 131: Zeile 179:
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div>
<div align="center"><math>\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} </math></div>
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:
Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:
<div align="center"><math>\begin{array}{crcrcrcr}\\
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
\text{I}\quad  & 6 & + & 0s & + & {-}3t & = & 4{,}5\\
6    &&\; + \;&& 0s           &&\; + \;&& ({-}3)t  &&\; = \;&& 4{,}5 \\
\text{II}\quad & 0 & + & 6s & + & 3t & = & 4{,}5\\
0 &&\; + \;&& 6s            &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\
\text{III}\quad & 0 & + & 0s & + & 12t & = & 6
0    &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t   &&\; = \;&& 6
\end{array}</math></div>
\end{alignat}\right\vert</math></div>
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>.  
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt <math>t=0{,}5</math>. Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von <math>t=0{,}5</math>: <math>s=0{,}5</math>.  
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.
Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.
Zeile 141: Zeile 189:
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach.  
Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von <math>s,t</math> der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: <math>s+t\le1</math>. In dem Fall also: <math>0{,}5+0{,}5=1</math>. Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach.  


Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von Geogebra:
Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]]  
[[Datei:Geogebra Lösung Aufgabe Storch.jpg|zentriert|rahmenlos|100%]]  


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| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}


{{Box | Aufgabe 5: Wiederholung zur Parameterform |  
{{Box | Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform |  
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:
Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen:
{{LearningApp|app=17029668|width=100%|height=500px}}
Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.
{{LearningApp|app=20418376|width=100%|height=500px}}
  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
  | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


==Spurpunkte==
{{Box | Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf |
 
In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 | 4378 | {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?
 
{{Lösung versteckt|1= Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als <math>x_1x_2</math>-Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene gesucht.
Um die Lösung zu erhalten kann also für <math>\vec{x}</math> den Vektor <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus
<math>0 = {-}256+r \cdot 8</math> das Ergebnis <math>r=32</math>. Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen.
Es ergibt sich insgesamt als Lösung:
<math>\vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Also taucht das U-Boot im Punkt <math>P ({-}4697 | 2106 | 0)</math> auf. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}


{{Box | Erinnerung: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene.  
==&#x2B50; Geradlinig begrenzte Flächen==
{{Box|Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen|  
Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.
|Merksatz}}


Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>.  
{{Box | Aufgabe 8: Dachfläche |In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt <math>A (0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gehören (Angaben in m).
Die Dachfläche misst <math>9</math>m mal <math>7</math>m.  


Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (die <math>x_1-x_2-, x_1-x_3- und x_2-x_3</math>-Ebene) lassen sich drei Spurpunkte berechnen.
'''a)'''    Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt.  


<math>S_1</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2-x_3</math>-Ebene
'''b)'''   Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch.


<math>S_2</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_3</math>-Ebene
'''c)'''    Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen.  


<math>S_3</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_2</math>-Ebene | Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1= Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>|2=Lösung zu a) anzeigen |3=Lösung verbergen}}


{{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt '''<math>S_1</math>''' berechnet man folgendermaßen:
{{Lösung versteckt|1= <math>|\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2</math> ;    <math> |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}</math>


'''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.
Für die Parameter gilt: <math>0 \le r \le 4{,}5</math>  und <math>0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>


'''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.
Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}</math>|2=Lösung zu b) anzeigen |3=Lösung verbergen}}


Für <math>S_2</math> und <math>S_3</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>B ({-}4{,}95|9|8{,}95)</math>


{{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math>g\colon\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>
<math>\vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>C ({-}4{,}95|0|8{,}95)</math>


Zum Berechnen von Spurpunkt <math>S_1</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>S_1</math> gleich Null: <math>S_1(0|?|?)</math>.
<math>\vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> also <math>D (0|0|4)</math>


'''1.''' <math>x_1</math> = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um s zu berechnen
Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen:
z.B.:


    <math>1 + s = 0</math> → <math>s = {-}1</math>
<math>r=5, s=4 </math>       <math>P_1({-}8|{-}1|12)</math>


'''2.''' s in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen
<math>r={-}1, s={-}1</math>  <math>P_2(2|11|2)</math>


<math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math>  
<math>r={-}1, s=0 </math>    <math>P_3(0|11|4)</math>|2=Lösung zu c) anzeigen |3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}


Antwort: Der Spurpunkt <math>S_1</math> hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}}
==&#x2B50; Normalenvektor==


{{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>S_2</math> und <math>S_3</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.
{{Box | Merksatz: Normalenvektor |  
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet.
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]| Merksatz}}


{{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math> {-}4 + λ \cdot 2 = 0 → λ = 2</math>


'''2.''' <math>g \colon \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
{{Box | Verfahren: Berechnung des Normalenvektors |
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.
Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da <math> \vec{n} </math> orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass <math> \vec{n} </math> orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist.
Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.


<math>S_2</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.
Wichtig: Das <math>n</math>, das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein. |


{{Lösung versteckt|1= '''1.''' 4 - λ = 0 → λ = 4
{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | Merksatz}}


'''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen |


<math>S_3</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform


{{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
a) <math>E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>


{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden) '''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
b) <math>E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} </math>


'''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Berechne einen Normalenvektor der Ebene.


{{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>S_1 = (0 I 3 I 2), S_2 = (1{,}5 I 0 I 0{,}5), S_3 = (2 I {-}1 I 0)|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <div align="center"><math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math></div> <br>


{{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>S_1 = (0 I 5 I 5), S_2 = ({-}5 I 0 I 5),  
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!


S_3</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= Arbeitsmethode|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1n_1    &&\; + \;&& 2n_2            &&\; + \;&& 1n_3  &&\; = \;&& 0  \\
2n_1 &&\; + \;&& 2n_2            &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\
\end{alignat}\right\vert</math></div> <br>


{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt <math> A({-}6713 I 4378 I {-}256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt <math>P</math> erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit


{{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode}}
<div align="center"><math>\begin{align}
                & & 3n_1 + 4n_2 &= 0        & &\mid -4n_2\\
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2            & &\mid :(-4)\\
\Leftrightarrow & &      -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2
\end{align}</math></div>


==&#x2B50; Normalenvektor==
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:
 
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}3}{4} n_1 \\ \tfrac{1}{2} n_1 \end{pmatrix} </math></div>
 
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 4</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = 3</math> und für <math>n_3 = 2</math> .
 
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\  n_3 \end{pmatrix} </math></div> und mit <math>n_3=1</math> der spezielle Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==


{{Box | Erinnerung: Normalenvektor | {{Lösung versteckt|1= Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.
{{Box
|Merksatz: Normalen- und Koordinatenform
|Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts <math>A</math> und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt <math>A</math> und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalenform''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0</math>.  


<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Alternativ lässt sich jede Ebene <math>E</math> ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatenform''' der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von <math>d</math> durch <math>d = \vec{OA} \ast \vec{n}</math>
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet.
</div>  


Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}
Ist <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatenform der Ebene <math>E</math>, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene.
|Merksatz
}}


{{Box | Berechnung des Normalenvektors | {{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor <math> \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} </math>, das du gleich Null setzt.
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.


Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform |  
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math>


{{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}}
'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.


{{Box | Aufgabe 10&#x2B50;: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


Berechne den Normalenvektor der Ebene.
'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.


{{Lösung versteckt|1= '''I''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und '''II''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math>
{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OP} \ast \vec{n}</math>.
Das heißt um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. Man erhält <math>d=22</math>.
Lösung: <math>E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22</math>
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar!
'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene?


<math>\begin{array}{crcrcr}\\
{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}
\text{I}\quad  & 1n_1 & + & 2n_2 & + & 1n_3 & = & 0\\
\text{II}\quad & 2n_1 & + & 2n_2 & - & 1n_3 & = & 0
\end{array}</math>


Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit
{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt <math>A</math> liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


<math>\begin{align}
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform |
               & & 3n_1 + 4n_2 &= 0        &
&\mid -4n2\\
\Leftrightarrow & & 3n_1 &= {-}4n_2            &  
&\mid :(-4)\\
\Leftrightarrow & &      -tfrac{3}{4} &= n_2
\end{align}</math>


den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.


<math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math>
[[Datei:Ebene E.png|mini|Ebene E]]


Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>'''n_1'''</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>'''n_1 = 4'''</math> ist, dann folgt für <math>'''n_2 = 3'''</math> und für <math>'''n_3 = 2'''</math> .
Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.


Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math>.
Normalengleichung: <math>E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math>


==&#x2B50; Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen==
Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen.
Ansatz der Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}</math>. Um <math>d</math> zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}</math> mit <math>\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und erhält <math>{-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23</math>.
Koordinatengleichung: <math>E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23</math>|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Box | Merksatz: Normalen- und Koordinatenform | {{Lösung versteckt|1= Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu beschreiben. Damit erhält man die '''Normalengleichung''' der Ebene. Sie hat die Form <math>E:\vec{x}=(\vec{x}-A) \cdot \vec{n}=0</math>.


Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine '''Koordinatengleichung''' der Form <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math>. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein.
==&#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform==


Ist <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor dieser Ebene. | 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}}


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform |  
{{Box | 1= Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | 2= Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>.
Eine Ebene durch <math>P(4|1|3)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math>


'''a)''' Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.
Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist
Hieraus folgt:


{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
n_1    &&\; - \;&& n_2          &&\; + \;&& 0n_3  &&\; = \;&& 0  \\
n_1 &&\; - \;&& 3n_2            &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\
\end{alignat}\right\vert</math></div>


'''b)''' Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite <math>+n_2</math> rechnen und erhält <math>n_1 = n_2</math>. Das Ergebnis für <math>n_1</math> setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so <math>n_3</math> in Abhängigkeit von <math>n_2</math> und erhälst:


{{Lösung versteckt|1= Mit dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: <math>E:2x_1+x_2+5x_3=d</math> mit <math>d=\vec{OA} \cdot \vec{v}</math>.
<div align="center"><math>\begin{align}
Den Wert für <math>d</math> berechnet man indem man die Koordinaten des Punktes <math>P(4|1|3)</math> einsetzt für <math>x_1, x_2, x_3</math> einsetzt.
                & & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0        & &\mid +2n_2\\
Lösung:<math>E:2x_1+x_2+5x_3=22</math>
\Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2              & &\mid :4\\
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
\Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2         
\end{align}</math></div>


'''c)''' Liegt der Punkt <math>A(1|1|1)</math> in der Ebene?
Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:
| Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1=Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter <math>x_1, x_2, x_3</math> in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.|2=Tipp zu c) |3=Tipp verbergen}}
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} </math></div>


{{Lösung versteckt|1=<math>2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22</math>. Der Punkt A liegt nicht in der Ebene.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.  


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform | Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>.  


{{Lösung versteckt|1= mögliche Lösung: <math>Q(2|1|3)</math> ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes <math>P({-}1|2|{-}3)</math>. Damit ist <math>\vec{n}=\vec{QP}</math>, d.h. <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -1-2 \\  2-1 \\ -3-3 \end{pmatrix}</math>.
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:
Normalengleichung:<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0</math> |2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform) | Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt. | Arbeitsmethode}}
<math>2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12</math>.  


{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von  <math>\vec{TP}</math>.
Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=12</math>  
Normalengleichung:<math>E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
| 3=Hervorhebung1}}


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) |
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.


'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung |
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>.  


{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.  
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.  


Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}=0</math>.  
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>.  
 
Hieraus folgt das Gleichungssystem
 
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1n_1    &&\; + \;&& 3n_2          &&\; + \;&& 0n_3  &&\; = \;&& 0  \\
{-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2            &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:
 
<div align="center"><math>\begin{align}
                & & 1n_1 + 3n_2 &= 0        & &\mid -3n_2\\
\Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2           
\end{align}</math></div>


Hieraus folgt das Gleichungssystem:
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_2</math> abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_2</math>:
 
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} </math></div>
 
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_2</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_2 = {-}3</math> ist, dann folgt für <math>n_1 = 9</math> und für <math>n_3 = 7</math> .
 
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} </math>


I <math>28n_1+24n_2=0</math>
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:


II <math>-21n_1+10n_2+0,5n_3=0</math>.
<math>9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math>


Wählt man z.B. <math>n_1=6</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-7</math> und <math>n_3=392</math>. Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}</math>
Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math>
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung |
Die Ebene <math>E</math> ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>.


{{Lösung versteckt|1=<math>E:6x_1-7x_2+392x_3=0</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt <math>A</math> als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch <math>\vec{AB}</math> als ersten Richtungsvektor und <math>\vec{AC}</math> als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:


Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.
<math>E\colon \vec{x} = \vec{OA} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}</math>.
 
Damit ergibt sich:
 
<math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Da ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>.
 
Hieraus folgt das Gleichungssystem
 
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
{-}3n_1    &&\; - \;&& 1n_2          &&\; + \;&& 4n_3  &&\; = \;&& 0  \\
{-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2            &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:
 
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
{-}3n_1    &&\; - \;&& 1n_2          &&\; + \;&& 4n_3  &&\; = \;&& 0  \\
{-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2            &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\
\end{alignat}\right\vert</math></div>
 
Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:
 
<div align="center"><math>\begin{align}
                & & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0        & &\mid -7n_2\\
\Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3        & &\mid :{-}7\\
\Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 
\end{align}</math></div>
 
Durch Einsetzen von <math>n_3=\tfrac{9}{7}n_1</math> in die erste Gleichung erhalten wir auch <math>n_2</math> als von <math>n_1</math> abhängigen Wert mit <math>n_2=\tfrac{15}{7}</math>. Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:
 
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} </math></div>
 
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = {-}7</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}15</math> und für <math>n_3 = {-}9</math> .
 
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} </math>.
 
Außerdem nutzen wir <math>A</math> als Aufpunkt und erhalten somit:
 
<math>E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math>
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.
 
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OA}</math>:
 
<math>(-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70</math>
 
Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:


'''c)''' Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt.
<math>E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70</math>
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode}}
| Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1=<math>6 \cdot (-30) - 7 \cdot 20 + 392z=0</math>
==&#x2B50;Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen==
 
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform) |  
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt <math>P(4|5|0)</math> des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist <math>8</math> Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.
 
Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.


<math>\Leftrightarrow -180-140+392z=0</math>
{{Lösung versteckt|1= <math>T(4|5|8)</math> ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden.
Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von  <math>\vec{TP}</math>.
Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}</math>


<math>\Leftrightarrow -320+392z=0</math>
Das <math>d</math> berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist <math>d=\vec{n} \ast \vec{OT}</math>:


<math> \Leftrightarrow 392z=320</math>
<math>0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64</math>.


<math> \Leftrightarrow z=0,8163</math>
Koordinatengleichung: <math>E:{-}8x_3={-}64</math>  


.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
Normalengleichung: <math> E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0</math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode}}
 
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform) |
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden.
 
[[Datei:Abbildung des Martkplatzes.jpg|mini|Abbildung des Marktplatzes ]]
 
Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die <math>x_1</math>-Achse nach Süden, die <math>x_2</math>-Achse nach Osten und die <math>x_3</math>-Achse senkrecht in den Himmel zeigt.
Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene <math>E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden.
 
'''a)''' Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.
 
{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E:x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.
Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0</math>.  
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}


{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.
Hieraus folgt das Gleichungssystem:


Geradengleichung: <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math>
<div align="center"><math>\left\vert\begin{alignat}{7}
28n_1    &&\; + \;&& 24n_2          &&\; + \;&& 0n_3  &&\; = \;&& 0  \\
{-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2            &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\
\end{alignat}\right\vert</math></div>


Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:
Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:


<math>-2+4r+2(1+5r)+(15+7r)=-6.</math>
<div align="center"><math>\begin{align}
                & & 28n_1 + 24n_2 &= 0        & &\mid -24n_2\\
\Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2            & &\mid :(-24)\\
\Leftrightarrow & &      -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\
\Leftrightarrow & &      -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2
\end{align}</math></div>


Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math>
Durch Einsetzen der berechneten, von <math>n_1</math> abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch <math>n_3</math> und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>:


Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.
<div align="center"><math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} </math></div>


Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math> LE.
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>n_1</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn <math>n_1 = 6</math> ist, dann folgt für <math>n_2 = {-}7</math> und für <math>n_3 = 392</math> .


Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} </math>
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform |
'''b)''' Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E</math>
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?


{{Lösung versteckt|1=Angenommen alle Koeffizienten sind gleich Null: Dann fallen alle Variablen weg und die Gleichung <math>0=d</math> beschreibt keine Ebene mehr.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504</math> .|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist <math>R(-30|20|z)</math>. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der <math>x_1x_2</math>-Ebene errichtet.


{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in d unterscheiden haben sie den gleichen Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, der orthogonal zur Ebene liegt. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
'''c)''' Bestimme <math>z</math> derart, dass <math>R</math> in der Ebene liegt.  


'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E:ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit.
{{Lösung versteckt|1=
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />


{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
<div align="center"><math>\begin{align}
                & & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504      & & \\
\Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504            & &\mid +320\\
\Leftrightarrow & &  392z &= 824.                & &\mid :392\\
\Leftrightarrow & &      z &\approx 2{,}1020
\end{align}</math></div>


=== &#x2B50;Überführung der Parameterform in die Koordinatenform ===


<br />{{Box | Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung | Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Ein Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> muss zu den Spannvektoren <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> orthogonal (senkrecht) sein, also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0</math>. Hieraus folgt <math>n_1-n_2=0</math> <math>n_1-3n_2+4n_3 =0</math>. Wählt man z.B. <math>n_2=2</math>, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen <math>n_1=2</math> und <math>n_3=1</math> und damit <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Ansatz für die Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=d</math>. Man berechnet <math>d</math> indem man für <math>x_1, x_2</math> und <math>x_3</math> die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: <math>d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11</math>. Koordinatengleichung: <math>E:2x_1+2x_2+x_3=11</math>| Hervorhebung1}}
.|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode}}


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform) |Ein Baum mit dem Fußpunkt <math>F({-}2|1|0)</math> und der Spitze <math>S({-}2|1|15)</math> wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math> verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene <math>E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6</math> beschrieben wird.
Wo liegt der Schattenpunkt <math>T</math> der Baumspitze <math>S</math> auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.)


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung | Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|1=Der Schattenpunkt <math>T</math> entspricht dem Schnitt der Ebene <math>E</math> mit der Geraden, die durch <math>S</math> verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.


{{Lösung versteckt|1=Ein Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.
Geradengleichung: <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}</math>


Also ist <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0</math>.
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:


Hieraus folgt das Gleichungssystem
<math>(-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.</math>


<math>n_1+3n_2=0</math>  
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: <math>r=-1</math>


<math>-2n_1+n_2+3n_3=0</math>.
Einsetzen von <math>r=-1</math> in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt <math>T({-}6|{-}4|8)</math>.


Wählt man z.B. <math>n_1=9</math> folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: <math>n_2=-3</math> und <math>n_3=7</math>.  
Schattenlänge des Baumes: <math>\vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}</math>.
Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. <math>10{,}25m</math>.
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}


Normalenvektor: <math>\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>.
{{Box | &#x2B50;Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform |
'''a)''' Warum muss bei einer Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> einer Ebene <math>E</math> mindestens einer der Koeffizienten <math>a, b, c</math> ungleich null sein?


Das <math>d</math> berechnen wir durch <math>d=\vec{n} \cdot \vec{OA}</math>:
{{Lösung versteckt|1= Wenn <math>a, b, c</math> Null wären, dann wäre der Nullvektor <math>\vec{o}</math> ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


<math>2 \cdot 9 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29</math>
'''b)''' Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> von zwei Ebenen nur in der Konstanten <math>d</math>, dann sind die Ebenen zueinander parallel.


Koordinatenform der Ebenengleichung: <math>9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29</math>
{{Lösung versteckt|1=Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in <math>d</math> unterscheiden, ist der Vektor <math>\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=mögliche Lösung anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


{{Box | &#x2B50;Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung | Die Ebene E ist durch die drei Punkte <math>A(7|2|{-}1)</math>, <math>B(4|1|3)</math>, <math>C(1|3|2)</math> festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E. | Arbeitsmethode}}
'''c)''' Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung <math>E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d</math> die Koeffizienten <math>a</math> und <math>b</math> ungleich Null, aber <math>c=0</math> ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.


{{Lösung versteckt|1=<math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>
{{Lösung versteckt|1=Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur <math>x_3</math>-Achse liegen.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=mögliche Lösung (Parameterform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}<br />


{{Lösung versteckt|1=<math>E:\vec{x}=(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0</math>
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}
|2=mögliche Lösung (Normalenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=<math>-7x_1-15x_2-9x_3=70</math>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
|2=mögliche Lösung (Koordinatenform) anzeigen|3=mögliche Lösung verbergen}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 23. Juni 2021, 17:33 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!


Die Parameterform und die Punktprobe

Merksatz: Die Parameterform

Eine Ebene ist bestimmt durch einen Punkt und zwei Vektoren und , die nicht parallel zueinander sind.

Ebene E

Diese Ebene kann wie folgt beschrieben werden:

Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung/Parametergleichung der Ebene mit den Parametern und .

Um eine Parameterdarstellung aufzustellen, können, statt eines Punktes und zwei Vektoren auch:

  • drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, oder
  • eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, oder
  • zwei sich schneidende Geraden, oder
  • zwei echt parallele Geraden, genutzt werden.


Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen

Gegeben sind die Punkte , , . Bevor eine Ebenengleichung aufgestellt werden kann, muss ausgeschlossen werden, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Da bei den Punkten , , jeweils eine unterschiedliche Koordinate ist, folgt hier direkt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt. Seinen Ortsvektor verwenden wir als Stützvektor für die Ebene und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren , zu den anderen Punkten.

Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung .

Achtung: Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.


Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten

Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Achte dabei darauf, zunächst die Bedingung zu prüfen.

a)     , und

Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.

b)     , und

Hinweis: Dies ist nur eine der möglichen richtigen Lösungen.

Kannst du hierzu auch jeweils eine zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?

weitere mögliche Parameterform zu a)

weitere mögliche Parameterform zu b)


Aufgabe 2: Fehlersuche

Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.

Furkans Rechnung
Diegos Rechnung









Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren und die Ortsvektoren zu den Punkten und angegeben.

Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes gewählt und als Spannvektoren die Vektoren und . Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist.


Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform

Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen.


Die Punktprobe

Merksatz: Die Punktprobe

Setzt man in die Ebenengleichung in Parameterform für die Variablen und Zahlen ein, erhält man den Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene.

Möchte man wissen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, kann man umgekehrt den Ortsvektor für den Vektor einsetzen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen.

Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene.


Beispiel: Punktprobe

Liegt der Punkt in der Ebene ?

Wenn ja, dann müsste der zu gehörende Ortsvektor die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen geben, für die gilt:


Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen

Dieses LGS könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen.

Das LGS ist eindeutig lösbar, das heißt der Punkt liegt in der Ebene .


Aufgabe 4: Punktprobe

Gegeben ist die Ebene mit

a) Liegt der Punkt in der Ebene?

b) Liegt der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B (7|1|8)} in der Ebene?


Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ {-}3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} }

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\ 5 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\ {-}3 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s \end{alignat}\right\vert}

Dieses LGS hat keine Lösung (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).

Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} liegt also nicht in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ {-}1 \\ 1 \end{pmatrix} }

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 7 &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 1r &&\; + \;&& 2s \\ 1 &&\; = \;&& 0 &&\; + \;&& 3r &&\; - \;&& 1s\\ 8 &&\; = \;&& 1 &&\; + \;&& 5r &&\; + \;&& s \end{alignat}\right\vert}

Dieses LGS hat die Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=2} (Hinweis: dies könnt ihr handschriftlich oder mit dem Taschenrechner feststellen).

Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} liegt also in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .


Aufgabe 5: Kirchturm


Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12} m. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(0|0|0)} sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die diagonal gegenüberliegende Ecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} der Grundfläche hat die Koordinaten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(6|6|0)} .

a) Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} , sowie der Dachspitze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} . Stelle die Ebenengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} auf, in der die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} liegen.

Die Punkte haben die folgenden Koordinaten: Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B (6|0|0)} , Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D (0|6|0)} und Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S (3|3|12)} . Die Koordinaten des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} kannst du bestimmen, da die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide steht. Die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Koordinate kann somit durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}} berechnet werden und die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Koordinate durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}} . Alternativ könntest du auch die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} - und die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Koordinate mithilfe der Diagonalen, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}} berechnen. Die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Koordinate ergibt sich aus der Höhe des Kirchturms.

Eine mögliche Parameterform der Ebene wäre: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}}
Falls du noch weiter üben willst, kannst du auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche bestimmen.


b) Der Naturschutzbund NABU hat bei verschiedenen Störchen Peilsender am Fuß angebracht, die dauerhaft den Standort der Tiere übermitteln. Sie haben für einen der Störche die Koordinaten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (4{,}5| 4{,}5| 6)} übermittelt. Befindet sich der Storch in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ? Beurteile, ob der Storch auf dem Dach sitzt.

Um herauszufinden, ob die übermittelten Koordinaten in der Ebene liegen, kannst du eine Punktprobe durchführen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} {-}3 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} }

Für das zugehörige Gleichungssystem ergibt sich:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 6 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& ({-}3)t &&\; = \;&& 4{,}5 \\ 0 &&\; + \;&& 6s &&\; + \;&& 3t &&\; = \;&& 4{,}5\\ 0 &&\; + \;&& 0s &&\; + \;&& 12t &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert}

Aus der ersten und dritten Gleichung folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0{,}5} . Aus der zweiten Gleichung folgt dann durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0{,}5} : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=0{,}5} . Das Gleichungssystem ist daher eindeutig lösbar und der Storch befindet sich in der Ebene.

Da es sich bei dem Dach um einen begrenzten Teil der Ebene handelt, muss zunächst betrachtet werden, für welche Werte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s,t} der Storch sich auf dem Dach befände. Da die Spannvektoren bereits jeweils die Strecke zu den äußersten Punkten der Ebene beschreiben und diese durch eine Gerade, in dem Fall der Dachkante, verbunden sind, muss gelten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s+t\le1} . In dem Fall also: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}5+0{,}5=1} . Der Punkt liegt also genau auf der Kante und somit sitzt der Storch auf dem Dach.

Alternativ könnte man es sich geometrisch veranschaulichen, beispielsweise mithilfe von GeoGebra:

100%


Aufgabe 6: Wiederholung zur Parameterform

Wenn du deine bisher gesammelten Kenntnisse noch einmal wiederholen möchtest, kannst du das hiermit machen: Betrachte diese Aufgabe allerdings als Zusatzaufgabe.


Aufgabe 7: Ein U-Boot taucht auf


In einem Koordinatensystem mit der Einheit m befindet sich ein U-Boot im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A({-}6713 | 4378 | {-}256) } und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} } nach oben auf. In welchem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?

Betrachte vereinfachend die Meeresoberfläche als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene.

Betrachtet man, wie im Tipp angegeben, die Meeresoberfläche als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene, so ist also der Schnittpunkt mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene gesucht. Um die Lösung zu erhalten kann also für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}} den Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}} einsetzen. Berechnet man mithilfe der dritten Zeile den Parameter, ergibt sich aus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = {-}256+r \cdot 8} das Ergebnis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=32} . Damit lassen sich im Anschluss die fehlenden Koordinaten berechnen. Es ergibt sich insgesamt als Lösung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OP} \colon =\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} }

Also taucht das U-Boot im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P ({-}4697 | 2106 | 0)} auf.

⭐ Geradlinig begrenzte Flächen

Merksatz: Geradlinig begrenzte Flächen

Nicht immer ist es ausreichend zu wissen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Betrachtet man Sachaufgaben, so ist häufig eine begrenzte Fläche gegeben, die als Ebene modelliert wird. Die Ebene ist also in der Realität beschränkt. Dabei muss dann zunächst untersucht werden, durch welche Werte der Parameter die Fläche begrenzt wird. Es bietet sich häufig an, dafür die Eckpunkte zu betrachten. Stellt man fest, dass ein zu untersuchender Punkt in der Ebene liegt, muss im zweiten Schritt daher untersucht werden, ob die berechneten Parameter im „erlaubten Bereich“ liegen.


Aufgabe 8: Dachfläche

In der Skizze ist das Dach eines Hauses zu sehen. Die im Bild sichtbare Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (0|9|4)} und die Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}} gehören (Angaben in m). Die Dachfläche misst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9} m mal Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7} m.

a)    Bestimmen Sie eine Parametergleichung für die Ebene, in der die Dachfläche liegt.

b)   Man kann alle Punkte der Dachfläche beschreiben, indem man die Parameter für die Ebene einschränkt. Führen Sie dies durch.

c)    Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte der Dachfläche an. Bestimmen Sie außerdem drei Punkte, die außerhalb der Dachfläche, aber in derselben Ebene wie die Dachfläche liegen.  

Eine Parametergleichung für die Ebene lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}| = 2}  ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}| = \sqrt{8}}

Für die Parameter gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \le r \le 4{,}5} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}}

Die Punkte der Dachfläche können beschrieben werden durch die Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ; 0 \le r \le 4{,}5 ; 0 \le s \le \frac{7}{\sqrt{8}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}} also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B ({-}4{,}95|9|8{,}95)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{7}{\sqrt{8}}\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}} also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C ({-}4{,}95|0|8{,}95)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix}+4{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ {-}2 \\ 0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} {-}2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}} also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D (0|0|4)}

Punkte, die außerhalb der Dachfläche liegen: z.B.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=5, s=4 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1({-}8|{-}1|12)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r={-}1, s={-}1}  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_2(2|11|2)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r={-}1, s=0 }   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_3(0|11|4)}

⭐ Normalenvektor

Merksatz: Normalenvektor

Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist. Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } bezeichnet.

Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander. Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png


Verfahren: Berechnung des Normalenvektors

Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Skalarprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} } , das du gleich Null setzt. Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch. Diese zwei Gleichungen können auf diese Weise aufgestellt werden, da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } orthogonal auf der Ebene steht. Daher wissen wir, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } orthogonal auf den beiden Spannvektoren steht. Außerdem ist bekannt, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren gleich Null ist. Im Folgenden bilden diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem.

Für das Gleichungssystem gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. Löse es, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.

Wichtig: Das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , das du frei wählst, muss in beiden Gleichungen enthalten sein.


⭐Aufgabe 9: Normalenvektor berechnen


Gegeben seien die Ebenengleichung in Parameterform

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_2 \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ {-}4 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ {-}2 \end{pmatrix} }

Berechne einen Normalenvektor der Ebene.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 }

Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen, ist das LGS nicht eindeutig lösbar!


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 1n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0 \\ 2n_1 &&\; + \;&& 2n_2 &&\; + \;&& 1n_3 &&\; = \;&& 0\\ \end{alignat}\right\vert}

Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung I und II zu addieren, damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3} wegfällt. Wir erhalten mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 3n_1 + 4n_2 &= 0 & &\mid -4n_2\\ \Leftrightarrow & & 3n_1 &= -4n_2 & &\mid :(-4)\\ \Leftrightarrow & & -\tfrac{3}{4}n_1 &= n_2 \end{align}}

den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von :

Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn ist, dann folgt für und für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3 = 2} .

Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} }

Mit demselben Verfahren wie bei Teilaufgabe a) ergibt sich für diese Ebene folgender Normalenvektor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 4n_3 \\ 2n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} }
und mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3=1} der spezielle Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} }

⭐ Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen

Merksatz: Normalen- und Koordinatenform

Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und zwei Spannvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und einen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} zu beschreiben. Damit erhält man die Normalenform der Ebene. Sie hat die Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon (\vec{x}-\vec{OA}) \ast \vec{n}=0} .

Alternativ lässt sich jede Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ebenfalls beschreiben durch eine Koordinatenform der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d} . Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c} ungleich null sein. Die Koordinatenform erhält man aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren und Berechnen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d = \vec{OA} \ast \vec{n}}

Ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d} eine Koordinatenform der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} , so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}} ein Normalenvektor dieser Ebene.


⭐Aufgabe 10: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform

Eine Ebene durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|1|3)} hat den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}}

a) Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0} .

b) Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene.

Mit dem Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}} ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon 2x_1-x_2+5x_3=d} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{OP} \ast \vec{n}} . Das heißt um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} zu bestimmen, berechnet man das Skalarprodukt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}} . Man erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=22} .

Lösung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon 2x_1-x_2+5x_3=22}

c) Liegt der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(1|1|1)} in der Ebene?

Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, x_2, x_3} in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22} . Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} liegt nicht in der Ebene.


⭐Aufgabe 11: Aufstellen der Normalenform- und Koordinatenform


Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.

Ebene E

Zusatz: Bestimme auch die Koordinatengleichung der Ebene.

mögliche Lösung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(2|1|3)} ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P({-}1|2|{-}3)} . Damit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\vec{QP}} , d.h. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}} . Normalengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon =\Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0}

Die Koeffizienten der Koordinatengleichung können wir dem Normalenvektor entnehmen. Ansatz der Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3=d} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{OQ} \cdot \vec{n}} . Um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} zu bestimmen, berechnet man also das Skalarprodukt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}} und erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {-}3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + ({-}6) \cdot 3 = {-}23} .

Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon {-}3x_1+x_2-6x_3={-}23}


⭐Überführung der Parameterform in die Koordinatenform

Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung

Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}} .

Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} muss zu den Spannvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}} orthogonal (senkrecht) sein, also ist

Hieraus folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} n_1 &&\; - \;&& n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\ n_1 &&\; - \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0\\ \end{alignat}\right\vert}

Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Willst du das Gleichungssystem per Hand lösen kannst du in der ersten Gleichung auf beiden Seite Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +n_2} rechnen und erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 = n_2} . Das Ergebnis für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} setzt du in die zweite Gleichung ein und berechnest so Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3} in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} und erhälst:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & {-}2n_2 + 4n_3 &= 0 & &\mid +2n_2\\ \Leftrightarrow & & 4n_3 &= 2n_2 & &\mid :4\\ \Leftrightarrow & & n_3 &= \tfrac{1}{2} n_2 \end{align}}

Durch Einsetzen der berechneten, von n_2 abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch n_3 und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} n_2 \\ n_2 \\ \tfrac{1}{2} n_2 \end{pmatrix} }

Wählt man z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=2} , so erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3=1} und damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}} .

Ansatz für die Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:2x_1+2x_2+x_3=d} .

Das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{n} \ast \vec{OA}} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=12} .

Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:2x_1+2x_2+x_3=12}


⭐Aufgabe 12: Koordinatengleichung aus Parametergleichung

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}} .

Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.

Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0} .

Hieraus folgt das Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 1n_1 &&\; + \;&& 3n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\ {-}2n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\ \end{alignat}\right\vert}

Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in den vorherigen Aufgaben. Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 1n_1 + 3n_2 &= 0 & &\mid -3n_2\\ \Leftrightarrow & & n_1 &= -3n_2 \end{align}}

Durch Einsetzen der berechneten, von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} abhängigen Werte in die zweite Gleichung erhalten wir auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3} und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} {-}3n_2 \\ n_2 \\ -\tfrac{7}{3} n_2 \end{pmatrix} }

Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2 = {-}3} ist, dann folgt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 = 9} und für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3 = 7} .

Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} }

Das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{n} \ast \vec{OA}} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29}

Koordinatenform der Ebenengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29}


⭐Aufgabe 13: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung

Die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist durch die drei Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(7|2|{-}1)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(4|1|3)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(1|3|2)} festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Zum Aufstellen einer möglichen Parametergleichung wählen wir beispielsweise den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} als Aufpukt. Die Richtungsvektoren können beispielsweise berechnet werden durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{AB}} als ersten Richtungsvektor und als zweiten. Somit setzt sich die Ebenengleichung wie folgt zusammen:

.

Damit ergibt sich:

Da ein Normalenvektor zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein muss gilt und .

Hieraus folgt das Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} {-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\ {-}6n_1 &&\; + \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 3n_3 &&\; = \;&& 0\\ \end{alignat}\right\vert}

Um das Gleichungssystem per Hand zu lösen, behalten wir die erste Gleichung bei und ersetzen die zweite durch die Summe der beiden Gleichungen wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} {-}3n_1 &&\; - \;&& 1n_2 &&\; + \;&& 4n_3 &&\; = \;&& 0 \\ {-}9n_1 &&\; + \;&& 0n_2 &&\; + \;&& 7n_3 &&\; = \;&& 0\\ \end{alignat}\right\vert}

Zur Berechnung eines allgemeinen Normalenvektors formen wir die zweite Gleichung um und erhalten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & {-}9n_1 + 7n_2 &= 0 & &\mid -7n_2\\ \Leftrightarrow & & {-}9n_1 &= {-}7n_3 & &\mid :{-}7\\ \Leftrightarrow & & \tfrac{9}{7}n_1 &= n_3 \end{align}}

Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3=\tfrac{9}{7}n_1} in die erste Gleichung erhalten wir auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} als von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} abhängigen Wert mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=\tfrac{15}{7}} . Damit ergibt sich der allgemeine Normalenvektor:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{15}{7} n_1 \\ \tfrac{9}{7} n_1 \end{pmatrix} }

Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 = {-}7} ist, dann folgt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2 = {-}15} und für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3 = {-}9} .

Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix} } .

Außerdem nutzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} als Aufpunkt und erhalten somit:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\Biggr] \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0}

Wir nutzen den eben berechneten Normalenvektor auch zum Aufstellen der Koordinatenform.

Das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} berechnen wir mithilfe des Skalarprodukts des Normalenvektors mit dem Orstvektor des Aufpunktes, d.h. es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{n} \ast \vec{OA}} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-7 \cdot 7) + ((-15) \cdot 2) + ((-9) \cdot (-1)) =-70}

Damit ergibt sich folgende Koordinatengleichung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:-7x_1-15x_2-9x_3=-70}

⭐Arbeiten mit den unterschiedlichen Ebenengleichungen

⭐Aufgabe 14: Modellierung eines Tisches (Koordinaten- und Normalenform)

Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|5|0)} des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8} Längeneinheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.

Zusatz: Gebe auch die Normalenform an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T(4|5|8)} ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und könnte beim Aufstellen der Normalen- oder Parametergleichung der Ebene als Aufpunkt genutzt werden. Den Normalenvektor, dessen Einträge wir als Koeffizienten der Koordinatengleichung der Ebene nutzen, berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{TP}} . Das heißt, wir erhalten für den Normalenvektor: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}}

Das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} berechnen wir mithilfe des Normalenvektors und dem Ortsvektor des Aufpunktes, d.h. es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{n} \ast \vec{OT}} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + ({-}8) \cdot 8={-}64} .

Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:{-}8x_3={-}64}

Normalengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \Biggl[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\Biggr] \ast \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0}


⭐Aufgabe 15: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform)

Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden.

Abbildung des Marktplatzes

Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Achse nach Süden, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Achse nach Osten und die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Achse senkrecht in den Himmel zeigt. Vor dem Rathaus nimmt die Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}} beschrieben werden.

a) Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.

Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.

Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}=0} .

Hieraus folgt das Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 28n_1 &&\; + \;&& 24n_2 &&\; + \;&& 0n_3 &&\; = \;&& 0 \\ {-}21n_1 &&\; + \;&& 10n_2 &&\; + \;&& 0{,}5n_3 &&\; = \;&& 0\\ \end{alignat}\right\vert}

Es gibt auch hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollt ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, geht ihr vor wie schon in Aufgabe 9 "Normalenvektor berechnen". Dazu formt ihr die erste Gleichung um und erhaltet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 28n_1 + 24n_2 &= 0 & &\mid -24n_2\\ \Leftrightarrow & & 28n_1 &= -24n_2 & &\mid :(-24)\\ \Leftrightarrow & & -\tfrac{28}{24}n_1 &= n_2\\ \Leftrightarrow & & -\tfrac{7}{6}n_1 &= n_2 \end{align}}

Durch Einsetzen der berechneten, von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} abhängigen Werte, in die zweite Gleichung erhalten wir auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3} und damit den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ \tfrac{{-}7}{6} n_1 \\ -\tfrac{196}{3} n_1 \end{pmatrix} }

Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt ganzzahlige Zahlen raus kommen. Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 = 6} ist, dann folgt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2 = {-}7} und für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3 = 392} .

Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix} }

b) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon 6x_1-7x_2+392x_3=504} .

Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(-30|20|z)} . Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene errichtet.

c) Bestimme Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} derart, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} in der Ebene liegt.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 6 \cdot ({-}30) - 7 \cdot 20+392z &= 504 & & \\ \Leftrightarrow & & {-}320+392z &= 504 & &\mid +320\\ \Leftrightarrow & & 392z &= 824. & &\mid :392\\ \Leftrightarrow & & z &\approx 2{,}1020 \end{align}}


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⭐Aufgabe 16: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform)

Ein Baum mit dem Fußpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F({-}2|1|0)} und der Spitze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S({-}2|1|15)} wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}} verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon x_1+2x_2+x_3={-}6} beschrieben wird. Wo liegt der Schattenpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} der Baumspitze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes? (Das Ergebnis kann in Metern angegeben werden.)

Der Schattenpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} entspricht dem Schnitt der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} mit der Geraden, die durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.

Geradengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}}

Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-2+4s)+2(1+5s)+(15+7s)=-6.}

Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=-1}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=-1} in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T({-}6|{-}4|8)} .

Schattenlänge des Baumes: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}} .

Damit hat der Schatten des Baumes eine Länge von ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10{,}25m} .


⭐Aufgabe 17: Reflexion zur Koordinatenform

a) Warum muss bei einer Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d} einer Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} mindestens einer der Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c} ungleich null sein?

Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c} Null wären, dann wäre der Nullvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{o}} ein Normalenvektor der Ebene. Der Nullvektor kann aber kein Normalenvektor sein. Das liegt daran, dass er die Länge 0 hat und damit nicht orthogonal zu einer Ebene sein kann.

b) Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d} von zwei Ebenen nur in der Konstanten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} , dann sind die Ebenen zueinander parallel.

Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} unterscheiden, ist der Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}} ein Normalenvektor von beiden Ebenen, das heißt er liegt orthogonal zu beiden Ebenen. Damit müssen die Ebenen parallel sein.

c) Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\colon ax_1+bx_2+cx_3=d} die Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} ungleich Null, aber Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=0} ist, haben eine Gemeinsamkeit bezüglich ihrer Lage.

Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Achse liegen.


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