Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box | 1=Info | 2= In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.
{{Box | 1=Info | 2= In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.


Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Es gibt auch Knobelaufgaben.
Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Bei jedem Abschnitt werden erst die jeweiligen Verfahren wiederholt und anschließend gibt es ein paar Aufgaben dazu. Darunter sind auch Knobelaufgaben.
Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.
Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.


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Viel Erfolg und Spaß!
Viel Erfolg und Spaß!
|3=Kurzinfo}}
|3=Kurzinfo}}


==Einstieg==
==Einstieg==


{{Box | Aufgabe 1 |
{{Box | Aufgabe 1: Sachsituationen und Rechenschritte zuordnen |
Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.
Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.


1. Zwei Kinder befinden sich im Klettergarten auf zwei verschiedenen Seilen. Wo auf ihrem Seil müssen sie sein, damit sie sich am nächsten sind? Wie nah sind sie sich dann?
Schiebe die Kästen an die richtige Stelle in der Tabelle. Du kannst die Kästen und Bilder vergrößern, indem du sie anklickst.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pcrkhojgc21}}


2. Bei einem alten Haus soll bei der Renovierung ein Stützbalken vom Boden im Dachgeschoss zur oberen Dachkante gebaut werden. Er soll senkrecht auf dem Fußboden stehen. Wie lang muss er sein?
| Arbeitsmethode}}


[[Datei:Wikipedia-dachboden.jpg||mini|height=50%|Dachboden]]
Im Folgenden werden nun die Verfahren für die verschiedenen Abstandsprobleme wiederholt.
 
Je nachdem, was du noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.
3. Luke Skywalker fliegt in seinem Raumschiff zum Auskundschaften am Todesstern vorbei. Dieser befindet sich im Verhältnis zur geradlinigen Bewegung des Raumschiffs in Ruhe. Der Sensor auf dem Todesstern hat eine Reichweite von <math>10km</math>. Wird Luke mit seinem Raumschiff entdeckt?
 
A. <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}</math> ist die zu <math>E: x_3=10</math> orthogonale Gerade durch einen Punkt von <math>g</math>. Wegen <math>15-3s=10</math>, also <math>s=\frac{5}{3}</math>, erhält man den Lotfußpunkt <math>(2|0|10)</math>.
 
B. <math>\begin{pmatrix} 25-20s \\ 38 \\ -58-31s \end{pmatrix}</math> ist der Verbindungsvektor (in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>s</math>) zwischen dem Punkt <math>P(30|22|-55)</math> und einem allgemeinen Punkt <math>L</math> auf der Geraden <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ -16 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 31 \end{pmatrix}</math>.
 
C. <math>G(4|-10|19)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>g</math> und <math>H(-2|-12|22)</math> ist der Lotfußpunkt auf <math>h</math>. Der Abstand ist dann <math>d(g;h)=d(G;H)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-10-(-12))^2+(22-19)^2}=\sqrt{36+4+9}=7</math>.
 
 
| Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
{{Lösung versteckt|1=Die richtigen Zuordnungen sind:
 
1 und C (windschiefe Geraden)
 
2 und A (Punkt-Ebene)
 
3 und B (Punkt-Gerade)
 
Wenn du hier noch Schwierigkeiten hast oder einfach üben willst, schaue dir den jeweiligen Abschnitt des Lernpfadkapitels an.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


==Abstand eines Punktes von einer Ebene==


==Abstand eines Punktes von einer Ebene==
===Das Lotfußpunktverfahren===


{{Box | Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene |  
{{Box | Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene |  
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{{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren  | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt:  
{{Box | 1=Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren  | 2= Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt:  


# Stelle die Gleichung für die zu <math>E</math> orthogonale Gerade <math>g</math> (also die Lotgerade) durch <math>P</math> auf. Dabei kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Richtungsvektor den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> von <math>E</math> nutzen: <math>g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}\cdot\vec{n}</math>.
# Stelle die Gleichung für die zu <math>E</math> orthogonale Gerade <math>g</math> (also die Lotgerade) durch <math>P</math> auf. Dabei kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Richtungsvektor den Normalenvektor <math> \vec{n} </math> von <math>E</math> nutzen: <math>g:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{n}</math>.
# Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von der Lotgeraden <math>g</math> und der Ebene <math>E</math>. <math>L</math> ist der Lotfußpunkt.
# Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von der Lotgeraden <math>g</math> und der Ebene <math>E</math>. <math>L</math> ist der Lotfußpunkt.
# Bestimme den Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>L</math>, indem du den Betrag des Vektors <math>\vec{PL} </math> berechnest. | 3=Merksatz}}
# Bestimme den Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>L</math>, indem du den Betrag des Vektors <math>\vec{PL} </math> berechnest. | 3=Merksatz}}
{{Box | Aufgabe 3: Abstände von Punkt-Ebene zuordnen |
Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen <math>E, F, G</math> zum Punkt <math>P(3|4|-2)</math>.
Ordne dann den Ebenen den jeweiligen Abstand <math>d</math> zu.


Ziehe dazu den passenden Abstand auf die jeweilige Ebene. Möchtest du eine Karte vergrößern, klicke auf die drauf.
{{Box | 1=Aufgabe 3: Lotfußpunktverfahren anwenden | 2=
Klicke am Ende auf den Haken unten rechts, um dich selbst zu überprüfen.
Berechne den Abstand von der Ebene <math>E:2x_1+6x_2-4x_3=-32 </math> und dem Punkt <math>P(3|4|-2)</math>. Verwende dafür das Lotfußpunktverfahren.


 
{{Lösung versteckt|1= Abstand von <math>E:2x_1+6x_2-4x_3=-32 </math> und <math>P(3|4|-2)</math>:
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pzdwi00m321}}
 
 
{{Lösung versteckt|1=  
Du kannst auch immer die Hesse´sche Normalenform zur Berechnung benutzten. Im Folgenden wurden die Abstände mit dem Lotfußpunktverfahren berechnet.
 
Abstand von <math>E:2x_1+6x_2-4x_3=-32 </math> und <math>P(3|4|-2)</math>:


Die Gleichung für die zu <math>E:2x_1+6x_2-4x_3=1 </math> orthogonale Gerade <math>l</math> (also die Lotgerade) durch <math>P(3|4|-2)</math> aufstellen:
Die Gleichung für die zu <math>E:2x_1+6x_2-4x_3=1 </math> orthogonale Gerade <math>l</math> (also die Lotgerade) durch <math>P(3|4|-2)</math> aufstellen:
Zeile 91: Zeile 60:
Den Lotfußpunkt <math>A</math> bestimmen:
Den Lotfußpunkt <math>A</math> bestimmen:


<math>E:2(3+2t)+6(4+6t)-4(-2-4t)=32  
<math>2(3+2t)+6(4+6t)-4(-2-4t)=-32  
\Rightarrow t=-1,25 </math>
\Rightarrow t=-1,25 </math>


<math>t</math> in  <math>l</math> einsetzten:  
<math>t</math> in  <math>l</math> einsetzten:  


<math>\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}-1,25\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -3,5 \\ 3 \end{pmatrix}</math>
<math>\vec{OA}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}-1,25\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -3,5 \\ 3 \end{pmatrix}</math>


Der Lotfußpunkt ist <math>A(0,5|-3,5|3)</math>.
Der Lotfußpunkt ist <math>A(0,5|-3,5|3)</math>.
Zeile 105: Zeile 74:


<math>\Rightarrow d\approx 9,354</math>
<math>\Rightarrow d\approx 9,354</math>
|2=Lösungsweg für E anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Abstand von <math>F:\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot(\vec{x}-\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix})=0 </math> und <math>P(3|4|-2)</math>:  
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
| 3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box | Merke: Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene mit Hilfe der Hesse´schen Normaleform (HNF)|
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, diesen mit einer Formel zu berechnen.
 
Gegeben ist eine Ebene <math>E</math> durch die Koordinatengleichung  <math>E: a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3=d </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>.
 
1. Stelle nun die Formel auf:
Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> ab.
 
Bestimme dann die Länge des Normalenvektors: <math>|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} </math> .
 
Die Formel lautet nun: <math>\frac {|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-d|}{|\vec{n}|}</math>.
 
2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> in die Formel einsetzt:
<math>d(P;E)=\frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}}
 
Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen.
{{Box | Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach |
 
Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und Biancas Drohne schwebt an der Stelle <math>B(-1|7|4)</math>.
 
Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt.
 
[[File:Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg| rechts | rahmenlos]]
 
 
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Abstandsberechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene mit der Hesse´schen Normalenform:


<math>F</math> in Koordinatenform umschreiben:


<math>F:\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot(\vec{x}-\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix})=0
\Leftrightarrow F: x_1+x_2+2x_3=10 </math> 


Wenn du hierbei noch Probleme hast, dann schau dir doch nochmal [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum]] an.
Der Normalenvektor der Ebene ist: <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math>


Zu <math>F</math> senkrechte Gerade <math>m</math> durch <math>P</math> aufstellen:
<math>m:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math>


Koordinaten der Geradengleichung <math>m</math> in <math>F</math> einsetzten:


<math>(3+s)+(4+s)+2(-2+2s)=10 \Leftrightarrow s=\frac{7}{6}</math>
Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math> bestimmen: <math>|\vec{n}|=\sqrt{8^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 </math>  


<math> \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}+\frac{7}{6}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{25}{6} \\ \frac{31}{6} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}</math>


Der Lotfußpunkt ist <math>B(\frac{25}{6}|\frac{31}{6}|\frac{1}{3})</math>.


Den Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>B</math> bestimmen:
Es folgt: <math>\frac {|8\cdot x_1-4\cdot x_2-1\cdot x_3-5|}{9}</math>.
 
 
 
Nun werden die Koordinaten von <math>A</math> eingesetzt: <math>\frac {|8\cdot3-4\cdot4-1\cdot(-1)-5|}{9}=\frac {|24-16+1-5|}{9}=\frac {4}{9}</math>
 
 
 
Die Koordinaten von <math>B</math> können in die selbe Formel eingesetzt werden: <math>\frac {|8\cdot(-1)-4\cdot7-1\cdot4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5</math>.
 
 
 
Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von <math>\frac{4}{9}</math>LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von <math>5</math>LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.
 
 
 
|2=Lösung mit Hilfe der HNF anzeigen|3=Lösung verbergen}}


<math>d(P,B)=|\vec{P,B}|=\sqrt{(\frac{25}{6}-3)^2+(\frac{31}{6}-4)^2+(\frac{1}{3}-(-2))^2}\approx 2,858 </math>


<math>\Rightarrow d\approx 2,858</math>
|2=Lösungsweg für F anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Abstand von der <math>x_1x_2-Ebene</math> zum Punkt <math>P(3|4|-2)</math>:


Sollst du den Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene bestimmen, so kannst du diesen einfach ablesen und musst ihn nicht berechnen.  
Abstand von <math>A</math> zu <math>E</math>:
Der Abstand hier beträgt <math>2</math>, da <math>-2</math> die <math>x_3</math> Koordinate von <math>P</math> ist. Setzt man diesen Wert in Betrag, erhälz man den Abstand zur <math>x_1x_2-Ebene</math>.  
 
 
 
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g_1</math> zu <math>E</math> durch <math>A</math> aufgestellt.
 
Mit dem Ortsvektor von <math>A</math> als Stützvektor und dem Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor ist <math> g_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math>.
 
 
 
Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g_1</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g_1</math> in <math>E</math> ergibt <math>8(3+8t)-4(4-4t)-(-1-t)=5</math>, also <math>t=-\frac{4}{81}</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}- \frac{4}{81} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L_1(3-\frac{32}{81}|4+\frac{16}{81}|-1+\frac{4}{81})</math>.
 
 
 
Der Abstand zwischen <math>A</math> und <math>L_1</math> beträgt <math>\frac{4}{9}</math>LE wegen <math>|\vec{AL_1}|=\sqrt{(3-\frac{32}{81}-3)^2+(4+\frac{16}{81}-4)^2+(-1+\frac{4}{81}-(-1))^2}=\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{4}{9}</math>.
 
 
 
Abstand von <math>B</math> zu <math>E</math>:




Beachte: ein Abstand ist immer positiv und da <math>|-2|=2</math> ist der Abstand <math>2</math>.
<math>\Rightarrow d=2</math>
|2=Lösungsweg für G anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g_2</math> zu <math>E</math> durch <math>B</math> aufgestellt.


{{Box | Aufgabe 4: Glaspyramide |
Mit dem Ortsvektor von <math>B</math> als Stützvektor und dem Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor ist <math> g_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math>.
 
 
 
Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g_2</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g_2</math> in <math>E</math> ergibt <math>8(-1+8s)-4(7-4s)-(4-s)=5</math>, also <math>s=\frac{5}{9}</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+\frac{5}{9} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L_2(-1+\frac{40}{9}|7-\frac{20}{9}|4-\frac{5}{9})</math>.
 
 
 
Der Abstand zwischen <math>B</math> und <math>L_2</math> beträgt <math>5</math>LE wegen <math>|\vec{BL_2}|=\sqrt{(-1+\frac{40}{9}-(-1))^2+(7-\frac{20}{9}-7)^2+(4-\frac{5}{9}-4)^2}=\sqrt{\frac{2025}{81}}=5</math>.
 
 
 
Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von <math>\frac{4}{9}</math>LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von <math>5</math>LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.
 
|2=Lösung mit dem Lotfußpunktverfahren anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
 
{{Box | Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 1|


[[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]]
[[Datei:Louvre-Bannenhaff-mat-Pyramid--w.jpg| rechts | rahmenlos | Glaspyramide des Louvre ]]


'''a)''' Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math> beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt <math> S(4,5|9|3,5) </math>. Eine Längeneinheit <math> LE </math>  im Koordinatensystem entpricht <math> 4m </math>.
Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math> beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt <math> S(4,5|9|3,5) </math>. Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht <math>4</math>m.


Welche Höhe hat die Pyramide in <math> m </math>?  
Welche Höhe hat die Pyramide in Metern?  


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben. |2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) verbergen}}
Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben. |2=Tipp|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Die Pyramide hat eine Höhe von <math> 24 </math>m.
Der Lösungsweg:
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze <math>S</math> und der Ebene <math>E</math> bestimmt.
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze <math>S</math> und der Ebene <math>E</math> bestimmt.


Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g</math> zu <math>E</math> durch <math>P</math> aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von <math>S</math> als Stützvektor und den Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor, also:
Lösung mit dem Lotfußpunktverfahren:
 
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g</math> zu <math>E</math> durch <math>S</math> aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von <math>S</math> als Stützvektor und den Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor, also:
<math> g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} </math>.
<math> g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} </math>.


Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g</math> in <math>E</math> ergibt <math>(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7</math>, also <math>t=-2</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}- 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 7 \\ -0,5 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L(0,5|7|-0,5)</math>. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.
Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g</math> in <math>E</math> ergibt <math>2(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7</math>, also <math>t=-2</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}- 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 7 \\ -0,5 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L(0,5|7|-0,5)</math>. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.


Der Abstand zwischen S und L beträgt <math>6LE</math> wegen <math>|\vec{SL}|=\sqrt{(4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2}=6 </math>. Die Pyramide hat also eine Höhe von <math>24m</math>.
Der Abstand zwischen <math>S</math> und <math>L</math> beträgt <math>6</math>LE wegen <math>|\vec{SL}|=\sqrt{(4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2}=6 </math>. Die Pyramide hat also eine Höhe von <math>24m</math>.
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Die Pyramide hat eine Höhe von <math> 24m </math>.|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}
Lösung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:
 
Ein Normalenvektor der Ebene ist <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} </math>, dieser hat die Länge <math>|\vec{n}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3 </math>.
Setzt man die Koordinaten von <math>S</math> in die Formel ein, ergibt sich der Abstand
 
<math>d(S;E)=\frac {|2\cdot s_1+1\cdot s_2+2\cdot s_3-7|}{|\vec{n}|}=\frac {|2\cdot 4,5+1\cdot 9+2\cdot 3,5-7|}{3}=6</math>, das heißt, die Pyramide hat eine Höhe von <math>24m</math>.
 
 
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}  


|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box | Aufgabe 4: Glaspyramide |
{{Box | Aufgabe 6: Glaspyramide - Teil 2 |


[[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]]
[[Datei:Louvre Museum Inverted pyramid 01.JPG| rechts | rahmenlos | ''Spitze der invertierten Glaspyramide'' ]]
'''b)''' An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils <math> 10m </math>. Die Grundfläche hat <math> 12m </math> lange Diagonalen, die sich im Punkt <math> (38 | 1 | -35) </math> schneiden. In welchem Punkt <math>S_2</math> liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?
An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene <math> E: 2x_1+x_2+2x_3=7 </math>, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils <math> 10 </math>m. Die Grundfläche hat <math> 12 </math>m lange Diagonalen, die sich im Punkt <math> (38 | 1 | -35) </math> schneiden. In welchem Punkt <math>S_2</math> liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?




Zeile 182: Zeile 234:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?|2=Tipp 1 zu b)|3=Tipp 1 zu b) verbergen}}
Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=


Diese Skizze der Pyramide kannst du mit deiner Maus drehen und vergrößern.
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramide und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:47%;"><ggb_applet id="qu6yfdp6" width="1000" height="470"/></div>|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Pythagoras Pyramide.png|mini|height=50%|Berechnung der Höhe der Pyramide]]
[[Datei:Pythagoras Pyramide.png|mini|height=50%|Berechnung der Höhe der Pyramide]]
Weiter unten findest du eine Skizze der Pyramide, die du mit deiner Maus drehen und vergrößern kannst.
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.


Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.  
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.  
|2=Tipp 2 zu b)|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}  
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}  


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Unten siehst du eine Skizze zum Lösungsweg.
Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt <math>S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})</math>.
Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 2 zu b))
 
Hier der Lösungsweg:


Es ist <math> \sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8 </math>, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide <math> 8m </math>, was  <math> 2LE </math> im Koordinatensystem entspricht.
Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 3)


Es ist <math> \sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8 </math>, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide  <math> 8 </math>m, was  <math> 2 </math>LE im Koordinatensystem entspricht.




Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von <math>2LE</math> zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.  
Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von <math>2</math>LE zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.  


Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt <math>M (38 | 1 | -35)</math> der Grundfläche aus <math>2LE</math> entlang der Geraden, die orthogonal zu <math>E</math> ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht <math>2LE</math> in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von <math>E</math>.
Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt <math>M (38 | 1 | -35)</math> der Grundfläche aus <math>2</math>LE entlang der Geraden, die orthogonal zu <math>E</math> ist, und zwar in die andere Richtung als in der Aufgabe "Glaspyramide - Teil 1". Das heißt, man geht <math>2</math>LE in die entgegengesetzte Richtung des Normalenvektors von <math>E</math>.


Es ist <math>|\vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3</math>, also ist <math>\vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} </math>.  
Es ist <math>|\vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3</math>, also ist <math>\vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} </math>.  


Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt <math>S_2</math> die Spitze liegt:
Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt <math>S_2</math> die Spitze liegt:


Es ist <math>\begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}</math>, also erhält man <math>S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})</math>
Es ist <math>\begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}</math>, also erhält man <math>S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})</math>






|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
<ggb_applet id="qu6yfdp6" width=100% height=100%/>
 
{{Lösung versteckt|1= Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt <math>S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})</math>.
 
|2=Lösung zu b) anzeigen|3=Lösung zu b) verbergen}}


| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}


===Die Hesse´sche Normalenform===
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.


{{Box | Merke: Die Hesse´sche Normalenform (HNF)|  
{{Box | 1=Aufgabe 7: Abstand paralleler Ebenen | 2= Gegeben ist die Ebene <math>E: 2x_1-3x_2+6x_3=13</math>. Bestimme zur Ebene <math>E</math> zwei parallele Ebenen, die von <math>E</math> den Abstand <math>5 LE</math> haben.


Gegeben ist eine Ebene <math>E</math> durch die Koordinatengleichung <math>a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3=d </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>.
   


1. Stelle nun die HNF der Ebene auf:
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu <math>E</math> sind |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}
Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> ab.


Bestimme dann die Länge des Normalenvektors: <math>|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} </math> .


Die HNF lautet nun: <math>\frac {|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-d|}{|\vec{n}|}</math>.
{{Lösung versteckt|1= <math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math> und


2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> in die HNF einsetzt:
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math>  
<math>\frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}}


haben beide den Abstand <math>5</math> zu <math>E</math>.


{{Box | Aufgabe 5:  |
Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und ein Falke fliegt auf der Stelle <math>B(-1|7|4)</math>. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. Du darfst hier die HNF benutzen.
[[File:Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg| rechts | rahmenlos]]


{{Lösung versteckt|1= Der Normalenvektor der Ebene ist: <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
Hier der Lösungsweg:


Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math> bestimmen:  <math>|\vec{n}|=\sqrt{8^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 </math>  
Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie <math>E</math>.


Es folgt: <math>\frac {|8\cdot x_1-4\cdot x_2-1\cdot x_3-5|}{9}</math>.


Nun werden die Koordinaten von <math>A</math> eingesetzt: <math>\frac {|8\cdot3-4\cdot4-1\cdot(-1)-5|}{9}=\frac {|24-16+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}</math>
Ansatz: <math> G:2x_1-3x_2+6x_3=h </math>


Die Koordinaten von <math>B</math> können in die selbe HNF eingesetzt werden: <math>\frac {|8\cdot(-1)-4\cdot7-1\cdot4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5</math>.


Damit hat die Drohne einen Abstand von <math>\frac{2}{3} LE</math> zum Schuldach und der Falke einen Abstand von <math>5 LE</math>. Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.
<math> P(p_1|p_2|p_3) </math> sei ein Punkt der Ebene <math>G</math>. Wir wissen also, dass für <math>P</math> die Ebenengleichung von <math>G</math> erfüllt sein muss, also dass <math> 2p_1-3p_2+6p_3=h</math> gelten muss.
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt <math>\frac{2}{3}</math> und der Abstand des Falken zum Dach beträgt <math>5</math>. Damit ist der Abstand der Drohne geriner.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


| Farbe={{Farbe|orange}} }}
Es gilt: <math>d(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}</math>.




{{Box | 1=Aufgabe 6: Abstand paralleler Ebenen | 2= Gegeben ist die Ebene <math>E: 2x_1-3x_2+6x_3=13</math>. Bestimme zur Ebene <math>E</math> zwei parallele Ebenen, die von <math>E</math> den Abstand <math>5</math> haben.
<math>d(P;E)=5 </math> nach Aufgabenstellung. Daher gilt: <math>\frac{h-13}{7}=5 </math> oder <math>\frac{h-13}{7}=-5 </math>.


{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu <math>E</math> sind |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}  
   


{{Lösung versteckt|1=
Stelle nun beide Gleichungen nach <math>h</math> um.
Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie <math>E</math>.


Ansatz: <math> G:2x_1-3x_2+6x_3=h </math>
Es folgt: <math>h_1=48</math> und <math>h_2=-22</math>.


<math> P(p_1|p_2|p_3) </math> sei ein Punkt der Ebene <math>G</math>


Es gilt: <math>d(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}</math>.
Dies wird nun in die Ebenengleichung von <math>G</math> eingesetzt:


<math>d(P;E)=5 </math> nach Aufgabenstellung. Daher gilt: <math>\frac{h-13}{7}=5 </math> oder <math>\frac{h-13}{7}=-5 </math>.


Stelle nun beide Gleichungen nach <math>h</math> um.
<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math>
Es folgt: <math>h_1=48</math> und <math>h_2=-22</math>.


Dies wird nun in die Ebenengleichung von <math>G</math> eingesetzt:
 
<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math>


<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math>
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math>


<math>G_1</math> und <math>G_2</math> haben nun beide den Abstand <math>5</math> zur Ebene <math>E</math>.


|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
<math>G_1</math> und <math>G_2</math> haben nun beide den Abstand <math>5 LE</math> zur Ebene <math>E</math>.


{{Lösung versteckt|1=
<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math> und
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math>
haben beide den Abstand <math>5</math> zu <math>E</math>.


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
| 3=Arbeitsmethode}}  




Wenn du willst, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.
| 3=Arbeitsmethode}}


==Abstand eines Punktes von einer Geraden==
==Abstand eines Punktes von einer Geraden==


{{Box | 1=Aufgabe 7: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden | 2=
{{Box | 1=Aufgabe 8: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden | 2=


Bewege den Punkt <math>Q</math> auf der Geraden <math>g</math>, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.  
Bewege den Punkt <math>Q</math> auf der Geraden <math>g</math>, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.  
Zeile 318: Zeile 354:
Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.
Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.


<ggb_applet id="Ty5XzHyg" width="1578" height="772" border="888888" />  
<ggb_applet id="fpr58eab" width="1000" height="514" />  
 
Dies ist der Link zur GeoGebra App, falls die Anzeige bei dir nicht funktioniert:https://www.geogebra.org/material/show/id/cFTUcwnd#


{{Lösung versteckt|1=Der Abstand <math>d(P;Q)</math> ist am kleinsten, wenn <math>\vec{PQ}</math> orthogonal zu <math>g</math> ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.
{{Lösung versteckt|1=Der Abstand <math>d(P;Q)</math> ist am kleinsten, wenn <math>\vec{PQ}</math> orthogonal zu <math>g</math> ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.
Zeile 332: Zeile 366:
2=Der Abstand eines Punktes <math>P</math> zu einer Geraden <math>g</math> ist der Abstand von <math>P</math> und <math>L</math>, wobei <math>L</math> der Lotfußpunkt von <math>P</math> auf <math>g</math> ist.
2=Der Abstand eines Punktes <math>P</math> zu einer Geraden <math>g</math> ist der Abstand von <math>P</math> und <math>L</math>, wobei <math>L</math> der Lotfußpunkt von <math>P</math> auf <math>g</math> ist.


Für die Bestimmung des Abstandes <math>d(P,g)=d(P,L)</math>  gibt es zwei verschiedene Verfahren:
Für die Bestimmung des Abstandes <math>d(P,g)=|\vec{PL}|</math>  gibt es zwei verschiedene Verfahren:


'''Verfahren Hilfsebene'''
'''Verfahren Hilfsebene'''
# Stelle eine Hilfsebene <math>H</math> (in Koordinatenform) auf, die den Punkt <math>P</math> enthält und orthogonal zu zu <math>g</math> ist. Dafür kannst du als Stützvektor <math>\vec{p} </math> und als Normalenvektor den Richtungsvektor von <math>g</math> nehmen.
# Stelle eine Hilfsebene <math>H</math> (in Koordinatenform) auf, die orthogonal zur Geraden <math>g</math> ist und den Punkt <math>P</math> enthält. Dafür kannst du als Normalenvektor den Richtungsvektor von <math>g</math> und als Stützvektor <math>\vec{p} </math> nehmen.
# Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math>  von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen.
# Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math>  von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen.
# Berechne den Abstand <math>d(P;g)=d(P;L)</math>.
# Berechne den Abstand <math>d(P;g)=|\vec{PL}|</math>.
 
 
{{Lösung versteckt|1=
Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} </math> und dem Punkt <math>P(1|2|-3) </math>.
 
1. Hilfsebene <math>H</math> aufstellen, die orthogonal zu <math>g</math> ist und den Punkt <math>P</math> enthält:
 
Ansatz für die Hilfsebene mit dem Richtungsvektor von <math>g</math> als Normalenvektor: <math>H: 2\cdot x_1+x_2-x_3=b</math>. Einsetzen vom Punkt <math>P</math> liefert <math>b=2\cdot 1+2-(-3)=7</math>, also <math>H: 2\cdot x_1+x_2-x_3=7</math>.
 
2. Schnittpunkt <math>L</math>  von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen bestimmen:
 
<math>7=2\cdot(2+2r)+(3+r)-(2-r)=5+6t</math>, also <math>r=\frac{1}{3}</math>.
 
Durch Einsetzen von <math>r</math> in die Geradengleichung von <math>g</math> erhält man den Schnittpunkt <math>L(\frac{8}{3}|\frac{10}{3}|\frac{5}{3})</math>.
 
3. Abstand berechnen:
 
<math>d(P;g)=|\vec{PL}|=\sqrt{(\frac{8}{3}-1)^2+(\frac{10}{3}-2)^2+(\frac{5}{3}-(-3))^2}=\frac{\sqrt{237}}{3}\approx 5,1316</math>
|2=Beispiel Verfahren Hilfsebene|3=Beispiel verbergen}}


'''Verfahren Orthogonalität'''
'''Verfahren Orthogonalität'''
# Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von <math>P</math> zu einem beliebigen Geradenpunkt <math>L</math> in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>r</math>.
# Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von <math>P</math> zu einem beliebigen Geradenpunkt <math>L</math> in Abhängigkeit vom Geradenparameter <math>r</math>.
# Wähle <math>r</math> so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden <math>g</math> ist.
# Wähle <math>r</math> so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden <math>g</math> ist.
# Berechne nun den Abstand <math>d(P;g)=d(P;L)</math>.
# Berechne nun den Abstand <math>d(P;g)=|\vec{PL}|</math>.
   
   
{{Lösung versteckt|1=
Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} </math> und dem Punkt <math>P(1|2|-3) </math>.
1. Allgemeinen Verbindungsvektor <math>\vec{PL_r}</math> bestimmen:
<math>L_r=(2+2r|3+r|2-r)</math> ist ein allgemeiner Punkt auf <math>g</math>, also ist <math>\vec{PL_r}=\begin{pmatrix} (2+2r)-1 \\ (3+r)-2 \\ (2-r)-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2r \\ 1+r \\ 5-r \end{pmatrix}</math> ein allgemeiner Verbindungsvektor.
2. Den Parameter <math>r</math> so bestimmen, dass <math>\vec{PL_r}</math> orthogonal zum Richtungsvektor von <math>g</math> ist:
Dafür muss gelten: <math>\begin{pmatrix} 1+2r \\ 1+r \\ 5-r \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=0 </math> bzw. <math> 0=(1+2r)\cdot 2+(1+r)\cdot 1 + (5-r) \cdot (-1)=-2+6r</math>. Es folgt <math>r=\frac{1}{3}</math>.
3. Abstand berechnen:
Durch Einsetzen von <math>r</math> erhält man <math>\vec{PL}=\begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{14}{3} \end{pmatrix}</math> als kürzesten Verbindungsvektor.
Also ist <math>d(P;g)=|\vec{PL}|=\sqrt{(\frac{5}{3})^2+(\frac{4}{3})^2+(\frac{14}{3})^2}=\frac{\sqrt{237}}{3}\approx 5,1316</math>.
|2=Beispiel Verfahren Orthogonalität|3=Beispiel verbergen}}
| 3=Merksatz}}
| 3=Merksatz}}




{{Box | 1=Aufgabe 8: Lichterkette | 2=
{{Box | 1=Aufgabe 9: Lichterkette | 2=
[[Datei:Crystal-ball-fairy-lights1.jpg|rechts | rahmenlos]]
[[Datei:Crystal-ball-fairy-lights1.jpg|rechts | rahmenlos]]
Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze <math>P(-2|3|10) </math> eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> eine Lichterkette gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht <math>1m</math>.
Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze <math>P(-2|3|10) </math> eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht <math>1</math> m.


Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.  
Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.  


{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1= Die Lichterkette muss mindestens <math>5,48</math> Meter lang sein.
 
Hier der Lösungsweg:
 
1. Stelle die Hilfsebene <math>H</math> in Koordinatenform auf:
1. Stelle die Hilfsebene <math>H</math> in Koordinatenform auf:


<math>-4x_1+3x_2+2x_3=37, da \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=37 </math>
<math>-4x_1+3x_2+2x_3=37, da \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=37 </math>


2. Schnittpunkt von <math>g</math> und <math>H</math> bestimmen:
2. Schnittpunkt von <math>g</math> und <math>H</math> bestimmen:
Zeile 367: Zeile 444:
3. <math>r</math> in <math>g</math> einsetzten, um <math>L</math> zu bestimmen:
3. <math>r</math> in <math>g</math> einsetzten, um <math>L</math> zu bestimmen:


<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} </math>
<math>\vec{OL}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} </math>
<math> \Rightarrow L(-3|5|5) </math>
<math> \Rightarrow L(-3|5|5) </math>


4. Abstand <math>d(P;L)</math> bestimmen:
4. Abstand zwischen <math>P</math> und <math>L</math> bestimmen:
<math>d(P;L)=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5+10)^2}=\sqrt{30}\approx 5,477</math>
<math>|\vec{PL}|=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5+10)^2}=\sqrt{30}\approx 5,477</math>


Die Lichterkette muss mindestens <math>5,48m</math> lang sein.
Die Lichterkette muss mindestens <math>5,48</math> Meter lang sein.




|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Die Lichterkette muss mindestens <math>5,48m</math> lang sein.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


  | 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}
  | 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box | 1=Aufgabe 9: Die richtige Reihenfolge | 2=
{{Box | 1=Aufgabe 10: Die richtige Reihenfolge | 2=
Im Folgenden wurde der Abstand von <math>A(3|9|-2)</math> und <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}</math> bestimmt.
Im Folgenden wurde der Abstand von <math>A(3|9|-2)</math> und <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}</math> bestimmt.
Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.
Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.
Zeile 392: Zeile 465:
| 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}
| 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box | 1=Aufgabe 10: Dreieck | 2=
{{Box | 1=Aufgabe 11: Dreieck | 2=
Es sind die Punkte  <math>B(2|8|1) </math> und <math>C(0,5|3,5|7) </math> gegeben, durch sie verläuft die Gerade <math> g </math>. Die Strecke <math> \vec{BC} </math> bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt <math>A</math>. <math>A</math> liegt auf der zu <math> g </math> parallelen Geraden <math> j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} </math>.  
Betrachte das Dreieck <math>DBC</math>. Es sind die Punkte  <math>B(2|8|1) </math> und <math>C(0,5|3,5|7) </math> gegeben, durch sie verläuft die Gerade <math> i </math>. Der Punkt <math>D</math> liegt auf der zu <math> i </math> parallelen Geraden <math> j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} </math>.  
'''a)''' Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>ABC</math> ändert sich, je nachdem wo <math>A</math> auf der Geraden <math>j</math> liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
 
'''a)''' Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>DBC</math> ändert sich, je nachdem wo <math>D</math> auf der Geraden <math>j</math> liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?


Du kannst mit der Maus den Punkt <math>A</math> verschieben.
Du kannst mit der Maus den Punkt <math>D</math> verschieben.
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<ggb_applet id="mftwqmc8" width="1000" height="470" />


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man <math>A</math> verschiebt?
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man <math>D</math> verschiebt?
|2=Tipp zu a)anzeigen|3=Tipp zu a) verbergen}}
|2=Tipp zu a)anzeigen|3=Tipp zu a) verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt <math>F</math> eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel  <math>F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h</math> berechnen, wobei <math>G</math> die Länge der Grundseite ist.  
Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt <math>A_{\text{DBC}}</math> eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel  <math>A_{\text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h</math> berechnen, wobei <math>g</math> die Länge der Grundseite ist.  


In dieser Aufgabe bleibt der Abstand <math>d(A;g)</math> immer gleich, da sich <math>A</math> auf einer zu <math>g</math> parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe <math>h</math> all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt <math>F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h</math> nicht.
In dieser Aufgabe bleibt der Abstand <math>d(D;i)</math> immer gleich, da sich <math>D</math> auf einer zu <math>i</math> parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe <math>h</math> all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt <math>A_{\text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h</math> nicht.
|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}
|2=Lösung zu a) anzeigen|3=Lösung zu a) verbergen}}


'''b)''' Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks <math>ABC</math>.
'''b)''' Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks <math>DBC</math>.


  {{Lösung versteckt|1=
  {{Lösung versteckt|1=
Zeile 415: Zeile 489:
|2=Tipp zu b)anzeigen|3=Tipp zu b) verbergen}}
|2=Tipp zu b)anzeigen|3=Tipp zu b) verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  
Wir bestimmen zunächst die Länge <math>G</math> der Grundseite:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr <math>19,12</math> Flächeneinheiten.
Es <math>d(B;C)=\sqrt{(2-0,5)^2+(8-3,5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{58,5}</math>.
 
Nun bestimmen wir die Höhe <math>h</math>, also den Abstand der parallelen Geraden <math>g</math> und <math>j</math> mithilfe des Verbindungsvektors von <math>B</math> zur Geraden <math>j</math>.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):


Der Punkt <math>L_s=(1+t|1+3t|2-4t)</math> ist ein allgemeiner Punkt auf <math>j</math>. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen <math>B</math> und <math>j</math> ist also gegeben durch <math>\vec{BL_s}=\begin{pmatrix} (1+t)-2 \\ (1+3t)-8 \\ (2-4t)-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}</math>.  
Ein möglicher Lösungsweg:
Wir bestimmen zunächst die Länge <math>g</math> der Grundseite:
Es <math>|\vec{BC}|=\sqrt{(2-0,5)^2+(8-3,5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{58,5}</math>.


Damit <math>\vec{BL_s}</math> orthogonal zum Richtungsvektor von <math>j</math> ist, muss gelten:
Nun bestimmen wir die Höhe <math>h</math>, also den Abstand der parallelen Geraden <math>i</math> und <math>j</math> mithilfe des Verbindungsvektors von <math>B</math> zur Geraden <math>j</math>.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):
<math>\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}=0 </math> bzw. <math>(t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3 + (1-4t) \cdot (-4)</math>, also <math>t=1</math>. Für <math>L=(2|4|-2)</math> ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist <math>h=d(B;j)=d(B;L)=\sqrt{(2-2)^2+(4-8)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{25}=5</math>.


Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also <math>F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt(58,5) \cdot 5\approx 19,12</math> Flächeneinheiten.
Der Punkt <math>L_t=(1+t|1+3t|2-4t)</math> ist ein allgemeiner Punkt auf <math>j</math>. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen <math>B</math> und <math>j</math> ist also gegeben durch <math>\vec{BL_t}=\begin{pmatrix} (1+t)-2 \\ (1+3t)-8 \\ (2-4t)-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}</math>.  


|2=Möglichen Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
Damit <math>\vec{BL_t}</math> orthogonal zum Richtungsvektor von <math>j</math> ist, muss gelten:
<math>\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}=0 </math> bzw. <math>(t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3 + (1-4t) \cdot (-4)=0</math>. Es folgt <math>t=1</math>, also ist der Verbindungsvektor für <math>L(2|4|-2)</math> am kürzesten. Somit ist <math>h=d(B;j)=|\vec{BL}|=\sqrt{(2-2)^2+(4-8)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{25}=5</math>.


Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also <math>A_{\text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{58,5} \cdot 5\approx 19,12</math> Flächeneinheiten.


{{Lösung versteckt|1=
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also <math>19,12</math> Flächeneinheiten.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


| 3=Arbeitsmethode}}
| 3=Arbeitsmethode}}


==Abstand zweier windschiefer Geraden==
==Abstand zweier windschiefer Geraden==


{{Box | 1=Aufgabe 12: Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen windschiefen Geraden | 2=
Verschiebe die Punkte <math>G</math> und <math>H</math> so, dass <math>\overline{GH}</math> die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist.  
Verschiebe die Punkte <math>G</math> und <math>H</math> so, dass <math>\overline{GH}</math> die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist.  
Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.
Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.


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<ggb_applet id="mhdaxa3x" width="1000" height="470" />
 
{{Lösung versteckt|1= Damit <math>\overline{GH}</math> die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist, müssen beide Winkel <math>90^{\circ}</math> groß sein.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
| 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box |1=Merke: Der Abstand windschiefer Geraden| 2=
{{Box |1=Merke: Der Abstand windschiefer Geraden| 2=
Der Abstand zweier windschiefer Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von <math>g</math> und den Punkten von <math>h</math>. Diese kürzeste Verbindungsstrecke <math>\overline{GH}</math> zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu <math>g</math> als auch orthogonal zu <math>h</math> und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math>.   
Der Abstand zweier windschiefer Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden <math>g</math> und einem Punkt der Geraden <math>h</math>. Diese kürzeste Verbindungsstrecke <math>\overline{GH}</math> zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu <math>g</math> als auch orthogonal zu <math>h</math> und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math>.   


Für die Bestimmung des Abstandes <math>d(g;h)</math> berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst:
Für die Bestimmung des Abstandes <math>d(g;h)</math> berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst:
Zeile 454: Zeile 531:
# Bestimme die Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
# Bestimme die Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
# Stelle den Verbindungsvektor  <math>\vec{G_s H_t}</math> in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
# Stelle den Verbindungsvektor  <math>\vec{G_s H_t}</math> in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
# Bestimme nun die Parameter  <math>s</math> und  <math>t</math> so, dass der Verbindungsvektor  <math>\vec{G_s H_t}</math> orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen <math>\vec{G_s H_t}\cdot \vec{u} =0</math> und <math>\vec{G_s H_t}\cdot \vec{v} =0</math>.
# Bestimme nun die Parameter  <math>s</math> und  <math>t</math> so, dass der Verbindungsvektor  <math>\vec{G_s H_t}</math> orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen <math>\vec{G_s H_t}\ast \vec{u} =0</math> und <math>\vec{G_s H_t}\ast \vec{v} =0</math>.
# Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte <math>G</math> und <math>H</math> und kannst den Abstand <math>d(g;h)=d(G;H)</math> bestimmen.
# Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte <math>G</math> und <math>H</math> und kannst den Abstand <math>d(g;h)=|\vec{GH}|</math> bestimmen.
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} </math>.
 
# Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter<br /><math>G_s(0|1+s|2+s)</math> und <math>H_t(7+4t|7-5t|2t)</math>
# Verbindungsvektor  <math>\vec{G_s H_t}</math> in Abhängigkeit von den Geradenparametern <math>t</math> und <math>s</math>:<br /> <math>\vec{G_sH_t}=\begin{pmatrix} 7+4t \\ 7-5t-(1+s) \\ 2t-(2+s) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7+4t \\ 6-5t-s \\ 2t-2-s \end{pmatrix}</math>
# <math>s</math> und <math>t</math> so bestimmen, dass <math>\vec{G_s H_t}</math> orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> ist, also das lineare Gleichungssystem <math>\vec{G_s H_t}\ast \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0</math> und <math>\vec{G_s H_t}\ast\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} =0</math> lösen:<br /> <math>0=(6-5t-s)\cdot 1+(2t-2-s) \cdot 1=4-3t-2s</math> und <math>0=(7+4t)\cdot 4+(6-5t-s)\cdot (-5)+(2t-2-s)\cdot 2=-6+45t+3t</math> liefert <math>s=2</math> und <math>t=0</math>.
# Damit erhält man die Lotfußpunkte <math>G(0|3|4)</math> und <math>H(7|7|0)</math>.
Also ist <math>d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(7-0)^2+(7-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{81}=9</math>.
|2=Beispiel zum Verfahren Gemeinsames Lot|3=Beispiel verbergen}}


'''Verfahren Hilfsebene'''
'''Verfahren Hilfsebene'''


Es gibt eine Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist. Für diese Ebene <math>E</math> ist dann der Abstand zwischen den Geraden <math>d(g,h)</math> gleich dem Abstand zwischen <math>E</math> und einem beliebigen Punkt <math>H</math> auf <math>h</math>. Jeder Normalenvektor von dieser Ebene <math>E</math> ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math>.  
Es gibt eine Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist. Für diese Ebene <math>E</math> ist dann der Abstand zwischen den Geraden <math>d(g,h)</math> gleich dem Abstand zwischen <math>E</math> und einem beliebigen Punkt <math>H</math> auf <math>h</math>.


# Bestimme aus den Gleichungen <math>\vec{u}\cdot\vec{n}=0</math> und <math>\vec{v}\cdot\vec{n}=0</math> einen Normalenvektor.
# Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene <math>E</math>  auf, sodass die Gerade <math>g</math> in <math>E</math> liegt und die Gerade <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist: Jeder Normalenvektor von dieser Ebene <math>E</math> ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von den Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Bestimme also aus den Gleichungen <math>\vec{u}\ast\vec{n}=0</math> und <math>\vec{v}\ast\vec{n}=0</math> einen Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}</math>.<br /> Die Ebenengleichung in Koordinatenform ist dann <math>E:n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3=b </math>.<br /> Die Gerade <math>g</math> soll in <math>E</math> liegen. Bestimme also <math>b</math>, indem du einen Punkt der Geraden <math>g</math> in die Ebenengleichung einsetzt.
# Stelle die Normalengleichung <math>(\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0</math> der Ebene <math>E</math> auf.  
# Wähle einen beliebigen Punkt <math>H</math> auf der Geraden <math>h</math>. (Da <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist, haben alle Punkte von <math>h</math> den gleichen Abstand zu <math>E</math>.)
# Bestimme mit der Hesse´schen Normalenform oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand <math>d(E;H)=d(g;h)</math>.
# Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand <math>d(E;H)</math>. So, wie wir die Ebene <math>E</math> konstruiert haben, ist nun der Abstand zwischen den windeschiefen Geraden <math>d(g;h)=d(E;H)</math>.




|3=Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1=
Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} </math>.
 
Mit dem Verfahren Hilfsebene:
 
# Ebenengleichung der Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist, aufstellen:<br /> Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math>, also gilt:<br /> <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} =0</math><br /> bzw. <math>0=n_2+n_3</math> und <math>0=4n_1-5n_2+2n_3</math>.<br /> Dieses Gleichungssystem ergibt <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -\frac{7}{4} \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> als möglichen Normalenvektor.<br /> Also ist <math>E:-\frac{7}{4}\cdot x_1- x_2 + x_3=b </math>.<br /> Einen Punkt der Geraden <math>g</math> einsetzen, um <math>b</math> zu erhalten (denn die Gerade <math>g</math> soll in der Ebene <math>E</math> liegen):<br /> Wir nehmen den Punkt <math>(0|1|2)</math> auf <math>g</math>. Also ist <math>b=-\frac{7}{4}\cdot 0- 1 + 2=1</math> und insgesamt <math> E: -\frac{7}{4}\cdot x_1- x_2 + x_3=1</math>.
# Einen beliebigen Punkt <math>H</math> auf der Geraden <math>h</math> wählen: Wir nehmen <math>H(7|7|0)</math>.
# Abstand mit der Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen:<br /> <math>d(g;h)=d(E;H)=\frac {|-\frac{7}{4}\cdot 7 + (-1)\cdot 7 + 1\cdot 0-1|}{\sqrt{(-\frac{7}{4}^2+(-1)^2+1^2}}=9</math>
|2=Beispiel zum Verfahren Hilfsebene|3=Beispiel verbergen}}


|3=Merksatz}}


{{Box | 1=Aufgabe 11: Maulwurfstunnel | 2=
 
{{Box | 1=Aufgabe 13: Maulwurfstunnel | 2=


[[Datei:Mr Mole.jpg| links| rahmenlos|Maulwurf]]
[[Datei:Mr Mole.jpg| links| rahmenlos|Maulwurf]]


Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils <math>5cm</math>.  
Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils <math>5</math>cm.  


Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> und der zweite entlang der Geraden <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 18 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math> wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.  
Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> und der zweite entlang der Geraden <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 18 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math> wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.  


Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn sie überall mindestens <math>15cm</math> Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht <math>1cm</math>. Wird das Tunnelsystem halten?
Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn überall mindestens <math>15</math>cm Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht <math>1</math>cm. Wird das Tunnelsystem halten?




Zeile 485: Zeile 583:


{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  
Da die Tunnel einen Radius von <math>2,5cm</math> haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von <math>2,5+15+2,5=20</math> haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.  
Da die Tunnel jeweils einen Radius von <math>2,5</math>cm haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von <math>2,5+15+2,5=20</math>cm haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.  


Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene <math>E</math>, die parallel zur Geraden <math>h</math> ist und in der die Gerade <math>g</math> liegt.
Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene <math>E</math>, die parallel zur Geraden <math>h</math> ist und in der die Gerade <math>g</math> liegt.
Für den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss gelten:
Für den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> muss gelten:
<math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec{n}=0</math>
<math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0</math>
und <math>\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \vec{n}=0</math>. Es folgt  <math>n_1=\frac{2}{3} n_3</math> und <math>n_2=\frac{3}{4} n_3</math>. Also ist <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von <math>E</math>.
und <math>\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0</math>. Es folgt  <math>n_1=\frac{2}{3} n_3</math> und <math>n_2=\frac{3}{4} n_3</math>. Also ist <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von <math>E</math>.
Die Normalenform von <math>E</math> lautet nun <math>E:[\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}]\cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix} =0</math>.  
Somit ist <math>E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=b</math>. Einsetzen vom Punkt <math>(1|1|1)</math> auf der Geraden <math>g</math> in diese Gleichung ergibt <math>b=\frac{2}{3}\cdot 1+ \frac{3}{4}\cdot 1 + 1 = \frac{29}{12}</math>.
Nenne <math>H=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 18 \end{pmatrix}</math>.
Die Koordinatenform von <math>E</math> lautet also <math>E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=\frac{29}{12}</math>.
Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene <math>E</math> und einem beliebigen Punkt auf der zu <math>E</math> parallelen Geraden <math>h</math> ist, erhält man nun mit der Hesse'schen Normalenform <math>d(g;h)=d(E;H)=\frac{|\frac{2}{3}\cdot 6+\frac{3}{4}\cdot 6+18-(\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{3}{4}\cdot 1+1)|}{\sqrt{(\frac{2}{3}^2+(\frac{3}{4})^2+1^2}}=17.</math>
Nehme den Punkt <math>H(6|6|18)</math> auf der Geraden <math>h</math>.
Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene <math>E</math> und einem beliebigen Punkt auf der zu <math>E</math> parallelen Geraden <math>h</math> ist, erhält man nun mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene <math>d(g;h)=d(E;H)=\frac {|\frac{2}{3}\cdot 6+ \frac{3}{4}\cdot 6 + 1\cdot 18-\frac{29}{12}|}{\sqrt{(\frac{2}{3}^2+(\frac{3}{4})^2+1^2}}=17</math>.


Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als <math>20LE</math>. Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens <math>15cm</math> voneinander entfernt und sie werden einstürzen.  
Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als <math>20</math>cm. Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens <math>15</math>cm voneinander entfernt (sondern an einer Stelle nur <math>17</math>cm-<math>2\cdot 2,5</math>cm<math>=12</math>cm) und sie werden einstürzen.  


Die einzige Lösung für die Maulwürfe ist es, an der kritischen Stelle eine gemeinsame Höhle zu bauen. :)
Die einzige Lösung für die Maulwürfe ist es, an der kritischen Stelle eine gemeinsame Höhle zu bauen. :)
Zeile 503: Zeile 603:


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Die Geraden haben einen Abstand von <math>17LE</math>. Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur <math>12cm</math> Erde und sie werden einstürzen.  
Die Geraden haben einen Abstand von <math>17</math>cm. Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur <math>12</math>cm Erde und sie werden einstürzen.  


Dann bauen die beiden Maulwürfe an der kritischen Stelle einfach eine gemeinsame Höhle. :)
Dann bauen die beiden Maulwürfe an der kritischen Stelle einfach eine gemeinsame Höhle. :)
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| 3=Arbeitsmethode}}
| 3=Arbeitsmethode}}


{{Box | 1=Aufgabe 12 | 2=
{{Box | Aufgabe 14: U-Boote |
Die Routen zweier U-Boote können durch die Geraden <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 140 \\ -70 \\ -1120 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 23 \\ 0 \\ 47 \end{pmatrix}</math> und <math>h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1130 \\ -270 \\ 450 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 0 \\ 37 \end{pmatrix}</math> beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Das Radar der U-Boote hat eine Reichweite von <math>500</math> Metern.
Können die U-Boote das jeweils andere U-Boot auf dem Radar erkennen?
 
{{Lösung versteckt|1=
Die Geraden haben einen Abstand von <math>200</math>LE, das heißt, die Routen der U-Boote sind einer Stelle nur  <math>200</math> Meter voneinander entfernt.  Es könnte also passieren, dass die U-Boote sich gegenseitig auf dem Radar erkennen können. Allerdings weiß man natürlich nicht, wann sich die U-Boote an welcher Stelle der Route befinden. Je nachdem, wann und wo sie starten und mit welcher Geschwindigkeit sie fahren, könnte es auch sein, dass sie die ganze Zeit mehr als <math>500</math> Meter voneinander entfernt sind.
 
Der Lösungsweg zur Abstandsbestimmung der Geraden, hier mit dem Verfahren Gemeinsames Lot:
 
Die Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter sind
<math>G_s(140+23s|-70|-1120+47s)</math> und <math>H_t(-1130+17t|-270|450+37t)</math>.
 
Der Verbindungsvektor  <math>\vec{G_s H_t}</math> in Abhängigkeit von den Geradenparametern <math>t</math> und <math>s</math> ist dann gegeben durch
<math>\vec{g_sH_t}=\begin{pmatrix} -1270+17t-23s \\ -200 \\ 1570+37t-47s \end{pmatrix}</math>
 
Wenn der Verbindungsvektor <math>\vec{G_s H_t}</math> orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> ist, ist er am kürzesten. Es muss also <math>\vec{G_s H_t}\ast \begin{pmatrix} 23 \\ 0 \\ 47 \end{pmatrix} =0</math> und <math>\vec{G_s H_t}\ast \begin{pmatrix} 17 \\ 0 \\ 37 \end{pmatrix} =0</math> gelten. Daraus ergibt sich das lineare Gleichungssystem <math>44580+2130t-2738s=0</math> und <math>36500+1658t-2130s</math>.
 
Es folgt <math>t=-\frac{23950}{13}</math> und <math>s=-\frac{18420}{13}</math>.
 
Damit erhält man die Lotfußpunkte <math>G(-\frac{421840}{13}|-70|-\frac{880300}{13})</math> und <math>H(-\frac{421840}{13}|-270|-\frac{880300}{13})</math>.
Also ist <math>d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(-\frac{421840}{13}-(-\frac{421840}{13}))^2+(-70-(-270))^2+(-\frac{880300}{13}-(-\frac{880300}{13}))^2}=\sqrt{0^2+200^2+0^2}=200</math>.
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
| Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
{{Box | 1=Aufgabe 15: Windschiefe Geraden, Lotfußpunkte, Abstände zuordnen | 2=
Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare <math>g</math> und <math>h</math>, die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer.
Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare <math>g</math> und <math>h</math>, die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer.
Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte <math>G</math> und <math>H</math> sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu.  
Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte <math>G</math> und <math>H</math> sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu.  
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{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  
Du kannst natürlich auch mit dem Verfahren die beiden Lotfußpunkte bestimmen. Hier kannst du dir aber "rückwärts" schneller überlegen, was die Lotfußpunkte sind: Durch Einsetzen erkennt man, dass <math>G(0|2|0)</math> und <math>H(-1|0|-2)</math> auf der jeweiligen Gerade liegen. Der Verbindungsvektor <math>\vec{GH}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}</math>  ist wegen <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0</math> orthogonal zu <math>g</math> und <math>h</math>. Also sind <math>G(0|2|0)</math> und <math>H(-1|0|-2)</math> die Lotfußpunkte und es ist <math>d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}=3</math>.
Du kannst natürlich auch mit dem Verfahren die beiden Lotfußpunkte bestimmen. Hier kannst du dir aber "rückwärts" schneller überlegen, was die Lotfußpunkte sind: Durch Einsetzen erkennt man, dass <math>G(0|2|0)</math> und <math>H(-1|0|-2)</math> auf der jeweiligen Gerade liegen. Der Verbindungsvektor <math>\vec{GH}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}</math>  ist wegen <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0</math> orthogonal zu <math>g</math> und <math>h</math>. Also sind <math>G(0|2|0)</math> und <math>H(-1|0|-2)</math> die Lotfußpunkte und es ist <math>d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}=3</math>.
|2=Möglichen Lösungsweg für 1. anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
|2=Möglichen Lösungsweg für 1. anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  
Da <math>g</math> entlang der <math>x_1</math>-Achse verläuft, liegt diese Gerade auch in der <math>x_1</math>-<math>x_2</math>-Ebene. Da <math>h</math> parallel zur <math>x_2</math>-Achse verläuft und nicht in der <math>x_1</math>-<math>x_2</math>-Ebene liegt (denn der Eintrag des Stützvektors in der Koordinate <math>x_3</math> ist nicht <math>0</math>), ist <math>h</math> parallel zur <math>x_1</math>-<math>x_2</math>-Ebene.
Da <math>g</math> entlang der <math>x_1</math>-Achse verläuft, liegt diese Gerade auch in der <math>x_1</math><math>x_2</math>-Ebene.  
Deshalb haben alle Punkte auf der Geraden <math>h</math> die <math>x_3</math>-Koordinate <math>1</math>.
 
Der Vektor <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ist ein möglicher Stützvektor für eine Geradengleichung von <math>h</math>, denn <math>h</math> veräuft durch den Punkt <math>(0|2|1)</math>. Da die Gerade <math>h</math> parallel zur <math>x_2</math>-Achse ist und der Eintrag des Stützvektors <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> in der <math>x_3</math>-Koordinate <math>1</math> ist, ist <math>h</math> parallel zur <math>x_1</math><math>x_2</math>-Ebene und alle Punkte auf der Geraden <math>h</math> haben die <math>x_3</math>-Koordinate <math>1</math>.
 
Also kann man den Abstand der Geraden direkt an der <math>x_3</math>-Koordinate des Stützvektors der Geraden <math>h</math> ablesen: <math>d(g;h)=|1|=1</math>.  
Also kann man den Abstand der Geraden direkt an der <math>x_3</math>-Koordinate des Stützvektors der Geraden <math>h</math> ablesen: <math>d(g;h)=|1|=1</math>.  


Außerdem liegt <math>G(0|0|0)</math> auf <math>g</math> und <math>H(0|0|1)</math> auf <math>h</math> und der Verbindungsvektor <math>\vec{GH}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ist ortoghonal zu den Richtungsvektoren <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> beider Geraden. Also sind diese beiden Punkte die Lotfußpunkte. Das gemeinsame Lot liegt außerdem auf der <math>x_3</math>-Achse.
Außerdem liegt <math>G(0|0|0)</math> auf <math>g</math> und <math>H(0|0|1)</math> auf <math>h</math> und der Verbindungsvektor <math>\vec{GH}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ist orthogonal zu den Richtungsvektoren <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> beider Geraden. Also sind diese beiden Punkte die Lotfußpunkte, weshalb das gemeinsame Lot insbesondere auf der <math>x_3</math>-Achse liegt.
 
(Letzteres kann man auch daran erkennen, dass <math>g</math> entlang der <math>x_1</math>-Achse verläuft und <math>h</math> parallel zur <math>x_2</math>-Achse und nicht in <math>x_1</math>-Richtung verschoben ist (der Stützvektor von <math>h</math> hat die <math>x_1</math>-Koordinate <math>0</math>). Beide Geraden schneiden also die <math>x_3</math>-Achse und sind parallel zur <math>x_1</math><math>x_2</math>-Ebene bzw. liegen in dieser Ebene.)
 


|2=Möglichen Lösungsweg für 2. anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
|2=Möglichen Lösungsweg für 2. anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=  
{{Lösung versteckt|1=  
Da der Richtungsvektor von <math>h</math> im Eintrag der <math>x_2</math>-Koordinate <math>0</math> ist, ist <math>h</math> parallel zur <math>x_1</math>-<math>x_3</math>-Ebene. <math>g</math> liegt in der <math>x_1</math>-<math>x_3</math>-Ebene. (Da die Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> linear unabhängig sind, sind die Geraden nicht parallel zueinander, was aber ja auch schon in der Aufgabenstellung gesagt wurde.) Also kann man den Abstand der Geraden direkt am Unterschied der <math>x_2</math>-Koordinaten der Stützvektoren der beiden Geraden ablesen: <math>d(g;h)=|2-0|=2</math>. Da man aber nicht genau weiß, wo <math>g</math> liegt (man kennt nur den Richtungsvektor), kann man auch nicht sagen, wo genau die Lotfußpunkte liegen.
Da der Richtungsvektor von <math>h</math> im Eintrag der <math>x_2</math>-Koordinate <math>0</math> ist, ist <math>h</math> parallel zur <math>x_1</math><math>x_3</math>-Ebene. <math>g</math> liegt in der <math>x_1</math><math>x_3</math>-Ebene. (Da die Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math> keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden nicht parallel zueinander, was aber ja auch schon in der Aufgabenstellung gesagt wurde.) Also kann man den Abstand der Geraden direkt am Unterschied der <math>x_2</math>-Koordinaten der Stützvektoren der beiden Geraden ablesen: <math>d(g;h)=|2-0|=2</math>. Da man aber nicht genau weiß, wo <math>g</math> liegt (man kennt nur den Richtungsvektor), kann man auch nicht sagen, wo genau die Lotfußpunkte liegen.


|2=Möglichen Lösungsweg für 3. anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
|2=Möglichen Lösungsweg für 3. anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}
 
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 23. Juni 2021, 18:11 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.

Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Bei jedem Abschnitt werden erst die jeweiligen Verfahren wiederholt und anschließend gibt es ein paar Aufgaben dazu. Darunter sind auch Knobelaufgaben. Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.

Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg und Spaß!

Einstieg

Aufgabe 1: Sachsituationen und Rechenschritte zuordnen

Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.

Schiebe die Kästen an die richtige Stelle in der Tabelle. Du kannst die Kästen und Bilder vergrößern, indem du sie anklickst.


Im Folgenden werden nun die Verfahren für die verschiedenen Abstandsprobleme wiederholt. Je nachdem, was du noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.


Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 2 hier nochmal detalliert erklärt:

  1. Stelle die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch auf. Dabei kannst du als Stützvektor und als Richtungsvektor den Normalenvektor von nutzen: .
  2. Bestimme den Schnittpunkt von der Lotgeraden und der Ebene . ist der Lotfußpunkt.
  3. Bestimme den Abstand zwischen den Punkten und , indem du den Betrag des Vektors berechnest.


Aufgabe 3: Lotfußpunktverfahren anwenden

Berechne den Abstand von der Ebene und dem Punkt . Verwende dafür das Lotfußpunktverfahren.

Abstand von und :

Die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch aufstellen:

.

Den Lotfußpunkt bestimmen:

in einsetzten:

Der Lotfußpunkt ist .

Den Abstand zwischen den Punkten und bestimmen:


Merke: Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene mit Hilfe der Hesse´schen Normaleform (HNF)

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, diesen mit einer Formel zu berechnen.

Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung und ein Punkt .

1. Stelle nun die Formel auf: Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors: .

Die Formel lautet nun: .

2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes in die Formel einsetzt:

Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen.

Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach


Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle und Biancas Drohne schwebt an der Stelle .

Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: . Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt.

Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg


Abstandsberechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene mit der Hesse´schen Normalenform:


Der Normalenvektor der Ebene ist:


Länge des Normalenvektors bestimmen:


Es folgt: .


Nun werden die Koordinaten von eingesetzt:


Die Koordinaten von können in die selbe Formel eingesetzt werden: .


Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.


Abstand von zu :


Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt.

Mit dem Ortsvektor von als Stützvektor und dem Normalenvektor von als Richtungsvektor ist .


Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt .


Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen .


Abstand von zu :


Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt.

Mit dem Ortsvektor von als Stützvektor und dem Normalenvektor von als Richtungsvektor ist .


Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt .


Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen .


Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.


Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 1


Glaspyramide des Louvre

Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt . Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht m.

Welche Höhe hat die Pyramide in Metern?

Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben.

Die Pyramide hat eine Höhe von m.

Der Lösungsweg:

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze und der Ebene bestimmt.

Lösung mit dem Lotfußpunktverfahren:

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von als Stützvektor und den Normalenvektor von als Richtungsvektor, also: .

Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt . Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen und beträgt LE wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{SL}|=\sqrt{(4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2}=6 } . Die Pyramide hat also eine Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 24m} .

Lösung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:

Ein Normalenvektor der Ebene ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} } , dieser hat die Länge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3 } . Setzt man die Koordinaten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} in die Formel ein, ergibt sich der Abstand

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(S;E)=\frac {|2\cdot s_1+1\cdot s_2+2\cdot s_3-7|}{|\vec{n}|}=\frac {|2\cdot 4,5+1\cdot 9+2\cdot 3,5-7|}{3}=6} , das heißt, die Pyramide hat eine Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 24m} .


Aufgabe 6: Glaspyramide - Teil 2


Spitze der invertierten Glaspyramide

An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1+x_2+2x_3=7 } , ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 } m. Die Grundfläche hat Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12 } m lange Diagonalen, die sich im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (38 | 1 | -35) } schneiden. In welchem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?


Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?

Diese Skizze der Pyramide kannst du mit deiner Maus drehen und vergrößern.

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramide und kannst entlang des Normalenvektors von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} zur Spitze gelangen.

GeoGebra
Berechnung der Höhe der Pyramide
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})} .

Hier der Lösungsweg:

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 3)

Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8 } , also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8 } m, was Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } LE im Koordinatensystem entspricht.


Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} LE zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M (38 | 1 | -35)} der Grundfläche aus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} LE entlang der Geraden, die orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist, und zwar in die andere Richtung als in der Aufgabe "Glaspyramide - Teil 1". Das heißt, man geht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} LE in die entgegengesetzte Richtung des Normalenvektors von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3} , also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} } .

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} die Spitze liegt:

Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}} , also erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})}


Aufgabe 7: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1-3x_2+6x_3=13} . Bestimme zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} zwei parallele Ebenen, die von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} den Abstand haben.


Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu sind


und

haben beide den Abstand zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .


Hier der Lösungsweg:

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .


Ansatz: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G:2x_1-3x_2+6x_3=h }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3) } sei ein Punkt der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} . Wir wissen also, dass für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} die Ebenengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} erfüllt sein muss, also dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2p_1-3p_2+6p_3=h} gelten muss.


Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}} .


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;E)=5 } nach Aufgabenstellung. Daher gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h-13}{7}=5 } oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h-13}{7}=-5 } .


Stelle nun beide Gleichungen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} um.

Es folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_1=48} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_2=-22} .


Dies wird nun in die Ebenengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eingesetzt:


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 }


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22}


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2} haben nun beide den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 LE} zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 8: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und der Geraden durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} ? Wie nennt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

GeoGebra

Der Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;Q)} ist am kleinsten, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{PQ}} orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} den Lotfußpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} .


Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zu einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist der Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} , wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} der Lotfußpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist.

Für die Bestimmung des Abstandes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,g)=|\vec{PL}|} gibt es zwei verschiedene Verfahren:

Verfahren Hilfsebene

  1. Stelle eine Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} (in Koordinatenform) auf, die orthogonal zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist und den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} enthält. Dafür kannst du als Normalenvektor den Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und als Stützvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{p} } nehmen.
  2. Bestimme den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} durch Einsetzen.
  3. Berechne den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;g)=|\vec{PL}|} .


Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} } und dem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(1|2|-3) } .

1. Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} aufstellen, die orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist und den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} enthält:

Ansatz für die Hilfsebene mit dem Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} als Normalenvektor: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H: 2\cdot x_1+x_2-x_3=b} . Einsetzen vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} liefert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=2\cdot 1+2-(-3)=7} , also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H: 2\cdot x_1+x_2-x_3=7} .

2. Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} durch Einsetzen bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7=2\cdot(2+2r)+(3+r)-(2-r)=5+6t} , also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{1}{3}} .

Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} in die Geradengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} erhält man den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(\frac{8}{3}|\frac{10}{3}|\frac{5}{3})} .

3. Abstand berechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;g)=|\vec{PL}|=\sqrt{(\frac{8}{3}-1)^2+(\frac{10}{3}-2)^2+(\frac{5}{3}-(-3))^2}=\frac{\sqrt{237}}{3}\approx 5,1316}

Verfahren Orthogonalität

  1. Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zu einem beliebigen Geradenpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} in Abhängigkeit vom Geradenparameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} .
  2. Wähle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist.
  3. Berechne nun den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;g)=|\vec{PL}|} .

Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} } und dem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(1|2|-3) } .

1. Allgemeinen Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{PL_r}} bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_r=(2+2r|3+r|2-r)} ist ein allgemeiner Punkt auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{PL_r}=\begin{pmatrix} (2+2r)-1 \\ (3+r)-2 \\ (2-r)-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2r \\ 1+r \\ 5-r \end{pmatrix}} ein allgemeiner Verbindungsvektor.

2. Den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} so bestimmen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{PL_r}} orthogonal zum Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist:

Dafür muss gelten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1+2r \\ 1+r \\ 5-r \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=0 } bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=(1+2r)\cdot 2+(1+r)\cdot 1 + (5-r) \cdot (-1)=-2+6r} . Es folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{1}{3}} .

3. Abstand berechnen:

Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{PL}=\begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{14}{3} \end{pmatrix}} als kürzesten Verbindungsvektor.

Also ist .


Aufgabe 9: Lichterkette
Crystal-ball-fairy-lights1.jpg

Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht m.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

Die Lichterkette muss mindestens Meter lang sein.

Hier der Lösungsweg:

1. Stelle die Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} in Koordinatenform auf:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4x_1+3x_2+2x_3=37, da \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=37 }

2. Schnittpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4\cdot(1-4r)+3\cdot(2+3r)+2\cdot(3+2r)=37 \Leftrightarrow -4+16r+6+9r+6+4r=37 \Leftrightarrow 8+29r=37 \Leftrightarrow 29r=29 \Leftrightarrow r=1 }

3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} einsetzten, um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} zu bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{OL}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow L(-3|5|5) }

4. Abstand zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{PL}|=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5+10)^2}=\sqrt{30}\approx 5,477}

Die Lichterkette muss mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5,48} Meter lang sein.


Aufgabe 10: Die richtige Reihenfolge

Im Folgenden wurde der Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(3|9|-2)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}} bestimmt. Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.



Aufgabe 11: Dreieck

Betrachte das Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DBC} . Es sind die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(2|8|1) } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(0,5|3,5|7) } gegeben, durch sie verläuft die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i } . Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} liegt auf der zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i } parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} } .

a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DBC} ändert sich, je nachdem wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} verschieben.

GeoGebra
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\text{DBC}}} eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h} berechnen, wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(D;i)} immer gleich, da sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} auf einer zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h} nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DBC} .

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 19,12} Flächeneinheiten.

Ein möglicher Lösungsweg: Wir bestimmen zunächst die Länge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} der Grundseite: Es Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{BC}|=\sqrt{(2-0,5)^2+(8-3,5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{58,5}} .

Nun bestimmen wir die Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , also den Abstand der parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} mithilfe des Verbindungsvektors von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} .(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_t=(1+t|1+3t|2-4t)} ist ein allgemeiner Punkt auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} . Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} ist also gegeben durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{BL_t}=\begin{pmatrix} (1+t)-2 \\ (1+3t)-8 \\ (2-4t)-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}} .

Damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{BL_t}} orthogonal zum Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} ist, muss gelten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}=0 } bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3 + (1-4t) \cdot (-4)=0} . Es folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=1} , also ist der Verbindungsvektor für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(2|4|-2)} am kürzesten. Somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=d(B;j)=|\vec{BL}|=\sqrt{(2-2)^2+(4-8)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{25}=5} .

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{58,5} \cdot 5\approx 19,12} Flächeneinheiten.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Aufgabe 12: Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen windschiefen Geraden

Verschiebe die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} so, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}} die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist. Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.

GeoGebra
Damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}} die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist, müssen beide Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^{\circ}} groß sein.


Merke: Der Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und einem Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} . Diese kürzeste Verbindungsstrecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}} zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} als auch orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} .

Für die Bestimmung des Abstandes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)} berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst: Seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g: \vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{u}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h: \vec{x}=\vec{q}+t\cdot \vec{v}} die windschiefen Geraden.

Verfahren Gemeinsames Lot

  1. Bestimme die Geradenpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
  2. Stelle den Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
  3. Bestimme nun die Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} so, dass der Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} orthogonal zu den Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast \vec{u} =0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast \vec{v} =0} .
  4. Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} und kannst den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|\vec{GH}|} bestimmen.

Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} } .

  1. Geradenpunkte und in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter
    und
  2. Verbindungsvektor in Abhängigkeit von den Geradenparametern Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} :
    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_sH_t}=\begin{pmatrix} 7+4t \\ 7-5t-(1+s) \\ 2t-(2+s) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7+4t \\ 6-5t-s \\ 2t-2-s \end{pmatrix}}
  3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} so bestimmen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} orthogonal zu den Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist, also das lineare Gleichungssystem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} =0} lösen:
    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=(6-5t-s)\cdot 1+(2t-2-s) \cdot 1=4-3t-2s} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=(7+4t)\cdot 4+(6-5t-s)\cdot (-5)+(2t-2-s)\cdot 2=-6+45t+3t} liefert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} .
  4. Damit erhält man die Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|3|4)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(7|7|0)} .
Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(7-0)^2+(7-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{81}=9} .

Verfahren Hilfsebene

Es gibt eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} , sodass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} liegt und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist. Für diese Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist dann der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und einem beliebigen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} .

  1. Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} auf, sodass die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} liegt und die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist: Jeder Normalenvektor von dieser Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von den Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} . Bestimme also aus den Gleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}\ast\vec{n}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}\ast\vec{n}=0} einen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}} .
    Die Ebenengleichung in Koordinatenform ist dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3=b } .
    Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} soll in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} liegen. Bestimme also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} , indem du einen Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} in die Ebenengleichung einsetzt.
  2. Wähle einen beliebigen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} . (Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist, haben alle Punkte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} den gleichen Abstand zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .)
  3. Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(E;H)} . So, wie wir die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} konstruiert haben, ist nun der Abstand zwischen den windeschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=d(E;H)} .


Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} } .

Mit dem Verfahren Hilfsebene:

  1. Ebenengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} , sodass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} liegt und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist, aufstellen:
    Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , also gilt:
    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} =0}
    bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=n_2+n_3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=4n_1-5n_2+2n_3} .
    Dieses Gleichungssystem ergibt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} -\frac{7}{4} \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}} als möglichen Normalenvektor.
    Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:-\frac{7}{4}\cdot x_1- x_2 + x_3=b } .
    Einen Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} einsetzen, um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} zu erhalten (denn die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} soll in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} liegen):
    Wir nehmen den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0|1|2)} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} . Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=-\frac{7}{4}\cdot 0- 1 + 2=1} und insgesamt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: -\frac{7}{4}\cdot x_1- x_2 + x_3=1} .
  2. Einen beliebigen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} wählen: Wir nehmen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(7|7|0)} .
  3. Abstand mit der Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen:
    Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=d(E;H)=\frac {|-\frac{7}{4}\cdot 7 + (-1)\cdot 7 + 1\cdot 0-1|}{\sqrt{(-\frac{7}{4}^2+(-1)^2+1^2}}=9}


Aufgabe 13: Maulwurfstunnel
Maulwurf

Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} cm.

Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}} und der zweite entlang der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 18 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}} wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.

Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn überall mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15} cm Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} cm. Wird das Tunnelsystem halten?


Wenn die kleinste Entfernung, also der Abstand zwischen den Geraden groß genug ist, ist auch an allen anderen Stellen genug Erde zwischen den Tunneln. Überlege dir, welchen Abstand die Geraden voneinander haben müssten, damit die Tunnel nicht einstürzen. Berechne dann den Abstand zwischen den Geraden mit einem Verfahren deiner Wahl.

Da die Tunnel jeweils einen Radius von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,5} cm haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,5+15+2,5=20} cm haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.

Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} , die parallel zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist und in der die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegt. Für den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} muss gelten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0} . Es folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=\frac{2}{3} n_3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=\frac{3}{4} n_3} . Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix}} ein Normalenvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} . Somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=b} . Einsetzen vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1|1|1)} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} in diese Gleichung ergibt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=\frac{2}{3}\cdot 1+ \frac{3}{4}\cdot 1 + 1 = \frac{29}{12}} . Die Koordinatenform von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} lautet also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=\frac{29}{12}} .

Nehme den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(6|6|18)} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} . Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und einem beliebigen Punkt auf der zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist, erhält man nun mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=d(E;H)=\frac {|\frac{2}{3}\cdot 6+ \frac{3}{4}\cdot 6 + 1\cdot 18-\frac{29}{12}|}{\sqrt{(\frac{2}{3}^2+(\frac{3}{4})^2+1^2}}=17} .

Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20} cm. Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15} cm voneinander entfernt (sondern an einer Stelle nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17} cm-Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\cdot 2,5} cmFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =12} cm) und sie werden einstürzen.

Die einzige Lösung für die Maulwürfe ist es, an der kritischen Stelle eine gemeinsame Höhle zu bauen. :)


Die Geraden haben einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17} cm. Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12} cm Erde und sie werden einstürzen.

Dann bauen die beiden Maulwürfe an der kritischen Stelle einfach eine gemeinsame Höhle. :)


Aufgabe 14: U-Boote

Die Routen zweier U-Boote können durch die Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 140 \\ -70 \\ -1120 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 23 \\ 0 \\ 47 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1130 \\ -270 \\ 450 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 0 \\ 37 \end{pmatrix}} beschrieben werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Das Radar der U-Boote hat eine Reichweite von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 500} Metern. Können die U-Boote das jeweils andere U-Boot auf dem Radar erkennen?

Die Geraden haben einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200} LE, das heißt, die Routen der U-Boote sind einer Stelle nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200} Meter voneinander entfernt. Es könnte also passieren, dass die U-Boote sich gegenseitig auf dem Radar erkennen können. Allerdings weiß man natürlich nicht, wann sich die U-Boote an welcher Stelle der Route befinden. Je nachdem, wann und wo sie starten und mit welcher Geschwindigkeit sie fahren, könnte es auch sein, dass sie die ganze Zeit mehr als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 500} Meter voneinander entfernt sind.

Der Lösungsweg zur Abstandsbestimmung der Geraden, hier mit dem Verfahren Gemeinsames Lot:

Die Geradenpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_s(140+23s|-70|-1120+47s)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_t(-1130+17t|-270|450+37t)} .

Der Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} in Abhängigkeit von den Geradenparametern Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} ist dann gegeben durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g_sH_t}=\begin{pmatrix} -1270+17t-23s \\ -200 \\ 1570+37t-47s \end{pmatrix}}

Wenn der Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} orthogonal zu den Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist, ist er am kürzesten. Es muss also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast \begin{pmatrix} 23 \\ 0 \\ 47 \end{pmatrix} =0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast \begin{pmatrix} 17 \\ 0 \\ 37 \end{pmatrix} =0} gelten. Daraus ergibt sich das lineare Gleichungssystem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 44580+2130t-2738s=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 36500+1658t-2130s} .

Es folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=-\frac{23950}{13}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=-\frac{18420}{13}} .

Damit erhält man die Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(-\frac{421840}{13}|-70|-\frac{880300}{13})} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(-\frac{421840}{13}|-270|-\frac{880300}{13})} .

Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(-\frac{421840}{13}-(-\frac{421840}{13}))^2+(-70-(-270))^2+(-\frac{880300}{13}-(-\frac{880300}{13}))^2}=\sqrt{0^2+200^2+0^2}=200} .


Aufgabe 15: Windschiefe Geraden, Lotfußpunkte, Abstände zuordnen

Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer. Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu. Ein paar Zettel bleiben übrig, diese schiebst du auf das letzte Feld. Du kannst die Zettel vergrößern, indem du sie anklickst.

Tipp: Durch genaue Überlegungen, Rückwärtsrechnen und mithilfe von Skizzen kann man manchmal schnell erkennen, was zusammengehört, ohne alle Schritte des Verfahrens durchzugehen!

Wenn du auf den Haken klickst, kannst du überprüfen, ob du richtig zugeordnet hast.


Du kannst natürlich auch mit dem Verfahren die beiden Lotfußpunkte bestimmen. Hier kannst du dir aber "rückwärts" schneller überlegen, was die Lotfußpunkte sind: Durch Einsetzen erkennt man, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|2|0)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(-1|0|-2)} auf der jeweiligen Gerade liegen. Der Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{GH}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}} ist wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0} orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} . Also sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|2|0)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(-1|0|-2)} die Lotfußpunkte und es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}=3} .

Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} entlang der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Achse verläuft, liegt diese Gerade auch in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Ebene.

Der Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}} ist ein möglicher Stützvektor für eine Geradengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , denn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} veräuft durch den Punkt . Da die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Achse ist und der Eintrag des Stützvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}} in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} ist, ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Ebene und alle Punkte auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} haben die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} .

Also kann man den Abstand der Geraden direkt an der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Koordinate des Stützvektors der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ablesen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|1|=1} .

Außerdem liegt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|0|0)} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(0|0|1)} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} und der Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{GH}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} ist orthogonal zu den Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} beider Geraden. Also sind diese beiden Punkte die Lotfußpunkte, weshalb das gemeinsame Lot insbesondere auf der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Achse liegt.

(Letzteres kann man auch daran erkennen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} entlang der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Achse verläuft und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Achse und nicht in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Richtung verschoben ist (der Stützvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} hat die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ). Beide Geraden schneiden also die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Achse und sind parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Ebene bzw. liegen in dieser Ebene.)
Da der Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} im Eintrag der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ist, ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Ebene. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegt in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Ebene. (Da die Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden nicht parallel zueinander, was aber ja auch schon in der Aufgabenstellung gesagt wurde.) Also kann man den Abstand der Geraden direkt am Unterschied der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Koordinaten der Stützvektoren der beiden Geraden ablesen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|2-0|=2} . Da man aber nicht genau weiß, wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegt (man kennt nur den Richtungsvektor), kann man auch nicht sagen, wo genau die Lotfußpunkte liegen.
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