Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 23. März 2021, 16:24 Uhr
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst.
Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen.
Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
Die Scheitelpunktform
Die Parameter der Scheitelpunktform
Fülle den folgenden Lückentext aus.

Scheitelpunktformen und ihre Graphen
Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:
Funktionsgleichungen aufstellen
Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:
P einsetzen und nach a auflösen:
a einsetzen:
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
-4) einsetzen, nach a auflösen:
a einsetzen:
Scheitelpunktform und Normalform
Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
Von der Normalform zur Scheitelpunktform
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.
Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:
1. Binomische Formel:
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
Wichtig: Wenn for dem x2 ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.
| Faktor 3 ausklammern
| Faktor 2 "herausziehen"
| quadratische Ergänzung
| 2. Binomische Formel
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3((x-4)^2-4^2+20) }
| zusammenfassen
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3((x-4)^2+4) }
| ausmultiplizieren
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3(x-4)^2+12 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x):} [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x):}
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Anwendungsaufgabe "Rakete"
Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=-0.2x^2+8x+18}
aufgestellt. Dabei entspricht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}
der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)}
der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.
a) Berechne und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.
Die p-q-Formel:Für eine Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=x^2+px+q}
liefert die p-q-Formel die Lösungen
Denke daran, dass dabei vor dem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2} kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.
c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?
d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.
b)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2}
den Vorfaktor eliminieren.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\ &=& x^2-40x-90 \end{array} }
Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -(-90)} \\ &=& 20 \pm 22.14 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 }
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-22.14+20=-2.14 }
c) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Umwandeln in die Scheitelpunktform:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 &\mid -0.2 \, vorklammern \\ &=& -0.2(x^2-40x-90) &\mid quadratische \, Erg\ddot{a} nzung +20^2-20^2 \\ &=& -0.2(x^2-2 \cdot 20x+20^2-20^2-90) & \mid 2. Binomische \, Formel \\ &=& -0.2[(x-20)^2-490] & \mid ausmultiplizieren \\ &=& -0.2 (x-20)^2+98 \end{array} }
d) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Scheitelpunkt einsetzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=a(x-10)^2+120}
Schnittpunkt mit der y-Achse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0\mid18)}
einsetzen, nach a auflösen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(0)&=&18 \\ a(0-10)^2+120&=&18 \\ 100a+120&=&18 &\mid -120 \\ a&=&-1.02 \end{array} }
a einsetzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120}
Zusatzaufgabe: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=30}
berechnen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x-12 & \mid :(-0.2) \\ &=& x^2-40x+60 \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow p=-40, q=60}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -60} \\ &=& 20 \pm 18.44 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 }
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-18.44+20=1.56}
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.