Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, wie sich der Graph verändert, wenn Wasser zu- bzw. abfließt |2=Tipp 1 |3=Schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, wie sich der Graph verändert, wenn Wasser zu- bzw. abfließt |2=Tipp 1 |3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Graph steigt monton, wenn Wasser dazufließt und fällt monoton, wenn Wasser abfließt. Also musst du die Monotonie der Funktion <math>g(x)</math> berechnen! |2=Tipp | {{Lösung versteckt|1=Der Graph steigt monton, wenn Wasser dazufließt und fällt monoton, wenn Wasser abfließt. Also musst du die Monotonie der Funktion <math>g(x)</math> berechnen! |2=Tipp 2 |3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Monotonie zeigt uns an, wo der Graph steigt und fällt. In dem Sachzusammenhang somit wann der Wasserspiegel zu und auch abnimmt. | {{Lösung versteckt|1= Die Monotonie zeigt uns an, wo der Graph steigt und fällt. In dem Sachzusammenhang somit wann der Wasserspiegel zu und auch abnimmt. | ||
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[[File:Flummi gelb.jpg|thumb|SuperBounce-Ball]] | [[File:Flummi gelb.jpg|thumb|SuperBounce-Ball]] | ||
Die Firma "SuperBounce" hat einen speziellen Ball erfunden, der eine einzigartige Sprungbewegung beim Wurf auf dem Boden erzeugt. Die Funktion <math>f(x)=\frac{5}{6}x^{4}-a^{2}x^{2}</math> beschreibt annähernd die Flugbahn des Balles, wobei <math>a\in[-3,3]</math> die Härte des Wurfes durch den Werfer beschreibt (<math>x=</math>horizontaler Verlauf des Balles in cm, <math>f(x)=</math>Höhe des Balles in cm). Bestimme wann der Ball in Abhängikeit von <math>a</math> nach oben springt und wann er fällt. | Die Firma "SuperBounce" hat einen speziellen Ball erfunden, der eine einzigartige Sprungbewegung beim Wurf auf dem Boden erzeugt. Die Funktion <math>f(x)=\frac{5}{6}x^{4}-a^{2}x^{2}</math> beschreibt annähernd die Flugbahn des Balles, wobei <math>a\in[-3,3]</math> die Härte des Wurfes durch den Werfer beschreibt (<math>x=</math>horizontaler Verlauf des Balles in cm, <math>f(x)=</math>Höhe des Balles in cm). Bestimme wann der Ball in Abhängikeit von <math>a</math> nach oben springt und wann er fällt. | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege, wie sich das sprunghafte Verhalten des Balles im Graphen erkennen lässt. |2=Tipp 1 |3=Schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Version vom 13. Mai 2020, 08:10 Uhr
Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Monotonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.
Sei eine Funktion und
- Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton steigend
- Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton steigend
- Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton fallend
- Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton fallend
Wie die einzelnen Eigenschaften am Graphen aussehen, kannst du hier nochmal in der Abbildung sehen!
1. Erste Ableitung berechnen
2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
3. Intervalle benennen
4. Monotonietabelle aufstellen
5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
6. Ergebnis interpretieren
Beispiel: Monotonieverhalten für bestimmen
Zuerst berechnen wir die Ableitung . Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g'(x)=0}
) und erhalten durch Umformungen als Nullstelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0}
.
Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\infty,0)}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,+\infty)}
. Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle:
Nach einem starken Regenschauer in Münster steigt der Wasserspiegel im Aasee an. Die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}x^{3} -\frac{25}{2}x^{2} +144x} beschreibt die Zuflussgeschwindigkeit in den ersten 48 Stunden (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=} Zeit in Stunden, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=} Zuflussgeschwindigkeit in Liter pro Stunde). Wann fließt innerhalb dieser Zeit Wasser zu und wann Wasser ab?
Die Monotonie zeigt uns an, wo der Graph steigt und fällt. In dem Sachzusammenhang somit wann der Wasserspiegel zu und auch abnimmt.
Wir berechnen zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}x^{3} -\frac{25}{2}x^{2} +144x}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g'(x)=\frac{3}{4}x^{2} -25x +144x}
- Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;x^{2}-\frac{100}{3}x+192 = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|} PQ-Formel anwenden
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-100}{3}\pm \sqrt{\Big(\frac{-100}{3}\Big)^{2}-\Big(192\Big)}}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = 25,92}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{2} = 7,40}
Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen:
Die Firma "SuperBounce" hat einen speziellen Ball erfunden, der eine einzigartige Sprungbewegung beim Wurf auf dem Boden erzeugt. Die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{5}{6}x^{4}-a^{2}x^{2}}
beschreibt annähernd die Flugbahn des Balles, wobei die Härte des Wurfes durch den Werfer beschreibt (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=}
horizontaler Verlauf des Balles in cm, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=}
Höhe des Balles in cm). Bestimme wann der Ball in Abhängikeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a}
nach oben springt und wann er fällt.
Um zu berechnen, wann der Ball springt und wann er fällt, berechnen wir das Monotonieverhalten der Funktion.
Wir berechnen zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{5}{6}x^{4}-a^{2}x^{2} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=\frac{20}{6}x^{3}-2a^{2}x}
- Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\frac{20}{6}x^{3}-2a^{2}x =0\;\;\;\;\;\;\;|} Ausklammern
Satz vom Nullprodukt
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_{1} = 0}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee.\;\;\;\;\;\; \frac{20}{6}x^{2} - 2a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+2a^{2}}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{20}{6}x^{2}= 2a^{2}\;\;\;\;|:\frac{20}{6}}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{3}{5}a^{2}\;|\sqrt{(...)}}
.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{5}a, } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{3} =-\frac{\sqrt{15}}{5}a }
Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen:
a) Auf dem Bild siehst du den Graphen einer Ableitungsfunktion . Welche Aussagen kannst du über das Monotonieverhalten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)}
machen?
Die Nullstellen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(x)} sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=-3, x_2=-2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=-1} .
Damit sind die zu betrachtenden Intervalle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\infty, -3)}
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3, -2)}
, und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1, +\infty)}
. Nun kannst du auf den verschiedenen Intervallen anhand des Graphen ablesen, ob Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(x)}
an diesen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle <0}
oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle >0}
ist.
Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\infty, -3)} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(x)<0} , somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} auf diesem Intervall streng monoton fallend.
Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3, -2)} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(x)>0} , somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} auf diesem Intervall streng monoton steigend.
Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-2, -1)} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(x)<0} , somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} auf diesem Intervall streng monoton fallend.
Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1, +\infty)} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h'(x)>0} , somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} auf diesem Intervall streng monoton steigend.
b) Zeichne nun mithilfe deiner Ergebnisse aus a) den Funktionsgraphen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)}
mithilfe deiner Kenntnisse über sein Monotonieverhalten in dein Heft.