Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du Steckbriefaufgaben kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das Modellieren und Mathematisieren , indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von Gleichungssystemen mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.

Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

Definition: Ganzrationale Funktionen

Eine Ganzrationale Funktion nennt man auch Polynomfunktion oder kurz Polynom.

Beispiele sind:

$f(x)=3x^{4}-2x^{2}+7$

$f(x)=-10x^{3}-9x^{2}+x$

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man Koeffizienten. Den Wert des größten Exponenten nennt man den Grad der Funktion.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind $3$, $-2$ und $7$. Der Grad ist $4$, sodass man sagt, es handelt sich um eine Funktion $4.$ Grades.

Schnittpunkte

Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man $y$-Achsenabschnitt. Ist $y_{s}$ der $y$-Achsenabschnitt einer Funktion $f$, liegt der Punkt $P_{y}(0|y_{s})$, dessen x-Wert gleich $0$ ist, auf dem Funktionsgraphen von $f$.

Den $y$-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für $x$ 0 einsetzt: $f(0)=y_{s}$.

$f(x)=2x^{3}+3x+4$

$\Rightarrow f(0)=2\cdot 0^{3}+3\cdot 0+4=4$

$\Rightarrow P_{y}(0|4)$

Der $y$-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit $x$ multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

Scheidet eine Funktion $f(x)$ die x-Achse, so liegt ein Punkt $P_{x}(x_{s}|0)$, dessen y-Wert gleich $0$ ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als Nullstelle.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kann eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

Um die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ zu berechnen, setzt du den Funktionsterm $=0$ und löst die Gleichung nach $x$ auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

$f(x)=3x^{2}-9x-12=0$ $\mid :3$

$\Leftrightarrow x^{2}-3x-4=0$

$p=-3$ , $q=-4$

$x_{1/2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {p}{2}})^{2}-q}}$

$x_{1/2}=-{\frac {-3}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {-3}{2}})^{2}-(-4)}}$

$x_{1/2}=1,5\pm {\sqrt {6,25}}$

$x_{1/2}=1,5\pm 2,5$

$x_{1}=4$ , $x_{2}=-1$

$f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x=0$

Der Faktor $x$ kann ausgeklammert werden.

$\Leftrightarrow x\cdot (x^{2}-4x+4)=0$

$\Rightarrow x_{1}=0$ ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern $=0$ wird.

$\Rightarrow x^{2}-4x+4=0$

$\Rightarrow x_{2/3}=-{\frac {-4}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {-4}{2}})^{2}-4}}$

$\Rightarrow x_{2}=2$

Die Nullstellen sind $x_{1}=0$ und $x_{2}=2$

Monotonie

Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

Symmetrie

Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen $f(-x)=f(x)$.

Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen $f(-x)=-f(x)$.

Extrema und Wendepunkte

Mit einem Extremwert bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert $f(x)$ an einer Stelle $x$ den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um $x$ an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei $x$ der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist $f(x)$ eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion $f$ bei $x$.

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion $f(x)$ macht man sich die Eigenschaften der Ableitung $f'(x)$ zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle $x_{1}$ angelegt wird, ist parallel zur $x$-Achse. Die Steigung ist also $0$. Die Ableitung $f'(x_{1})$ an dieser Stelle ist folglich $=0$.

Für alle Extremstellen $x_{n}$ gilt:

$f'(x_{n})=0$

Das ist das Notwendige Kriterium.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)} hinzu.

Das Hinreichende Kriterium lautet:

• Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)<0 \Rightarrow} Es liegt ein Maximum vor.

• Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)>0 \Rightarrow} Es liegt ein Minimum vor.

• Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)=0 \Rightarrow} Es liegt eine Sattelstelle vor.

Mit einem Wendepunkt bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_W} maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_W)} ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} zu finden, musst du die Ableitung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'} also nach Extremstellen untersuchen.

Funktionsgleichung aufstellen

Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c} mit den drei unbekannten Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} . Eine Funktion 3. Grades hätte die Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d} . Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} .

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} - und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}

1. Ableitung des Rahmens: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=3ax^2+2bx+c}

2. Ableitung des Rahmens: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=6ax+2b}

Funktionsgraphen zeichnen

Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.

Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.

Quiz

Quiz zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

1 Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

	1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.
	2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.
	3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.
	4 Das Hinreichende Kriterium für Extremstellen unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.
	5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.
	6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.
	7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.
	8 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=5x^2+10x} geht nicht durch den Ursprung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0|0)} .
	9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.
	10 An einem Wendepunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} hat die Ableitung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'} ein Extremum oder dieser Wendepunkt ist ein Sattelpunkt.

2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)} ist nur auf dem Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [1,3]} positiv.

	1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} steigt im Bereich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [3,\infty[} .
	2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} hat mindestens zwei Extremstellen.
	3 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)} hat mindestens Grad 3.
	4 Im Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [1,3]} hat Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} einen Wendepunkt.

3 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+3x+4}

	1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)} ist streng monoton steigend.
	2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)} schneidet die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0|3)} .
	3 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} ist eine Funktion 4. Grades.
	4  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)} ist punktsymmetrisch.

4 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=3x^4+2x^2-10}

	1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)} hat den Grad 2.
	2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} ist punktsymmetrisch.
	3 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} scheidet die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse beim Wert 10.
	4 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)} ist punktsymmetrisch.

5 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} hat einen Hochpunkt an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}

	1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_1)=0}
	2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_1)>0}
	3 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_1)<0}
	4 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_1)<0}

6 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7}

	1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21} .
	2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10}
	3 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4}
	4 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} hat einen höheren Grad als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} .

Einführung: lineare Gleichungen

Auf dieser Seite lernst Du, wie Du Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes Beispiel zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.

Beispiel

Löse folgende Gleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x-5=37}

Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=7}

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\ &II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\ \end{array} }

Die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} ist bereits nach der Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} aufgelöst. Diese fügen wir nun statt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} in die die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ein. Das sieht folgendermaßen aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + 5 \cdot (x + 2) = 58}

1. Wir vereinfachen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x + 5x + 10 = 58}

2. Und stellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} um

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x = 48}

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 6}

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} umstellen. Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} eignet sich dafür natürlich am besten. Es gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\ &&&\Rightarrow& y &=& 8 \\ \end{array} }

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 Variablen. Dabei stellst du die eine Gleichung nach einer Variable um und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.

Aufgaben zum Einsetzungsverfahren

Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\ &II\quad& && &18y& &=& &6& \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=7} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=1/3}

b)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\ &II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\ \end{array} }

Eliminiere die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Variable in der unteren Zeile.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3/2 } ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=1/4}

Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang

Elternsprechtag

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} in Stunden, wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0} 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form $f(t)=at^{2}+bt+c$ beschreiben. Löse zunächst den unteren Lückentext.

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von $f$ auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

$f(t)=-5t^{2}+30t$

${\begin{array}{rlll}f(t)&=&at^{2}+bt+c\\\end{array}}$



${\begin{array}{rlll}&&f(0)&=&0\\&\Leftrightarrow &a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c&=&0\\&\Leftrightarrow &c&=&0\\\end{array}}$



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(t) = at^2 + bt }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(1) &=& 25 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\ &\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(6) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\ \end{array} }





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& a + b &=& 25 \\ &II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\ \end{array} }

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Einsetzungsverfahren:

Als erstes stellen wir Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} um und erhalten

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& a = 25 - b \\ \end{array} }

Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} ein, erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\ &&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\ &&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\ &&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\ &&&\Rightarrow& b &=& 30 \\ \end{array} }

Setzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = 30} in die (umgeformte) Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ein, erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\ &&&\Rightarrow& a &=& -5 \\ \end{array} }

und damit insgesamt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = -5t^2 + 30t}

c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen maximal 50 Parkplätze zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen Hochpunkt mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\ \end{array} }

Der Graph der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} hat den Hochpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3 | 45)} . Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(t) &=& -5t^2 + 30t \\ f'(t) &=& -10t + 30 \\ f''(t) &=& -10 \\ \end{array} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige Bedingung:} && f'(t) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\ &\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\ &\Leftrightarrow& t &=& 3 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende Bedingung:} &&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f''(3) &=& -10 &<& 0 \end{array} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45}

d) Skizziere nun den Graphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

Da die Funktionswerte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t < 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t > 6} negativ sind, ist der Graph nur für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \leq t \leq 6} als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\ &III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\ \end{array} }

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}}

1. Um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Variable in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} zu eliminieren rechnen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II + (-2) \cdot III} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\ \end{array} }

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}}

2. Um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Variable in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} zu eliminieren rechnen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III \cdot (-3) + I} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\ \end{array} }

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}}

3. Nun soll auch die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Variable in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} eliminiert werden. Dazu rechnen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III \cdot (-3) + II}

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ &II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ &III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\ \end{array} }

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}}

Wir können Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} nun nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} auflösen. Dann setzen wir den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Wert in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} ein und lösen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} - und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Wert in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ein und lösen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=2} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=-1} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=1}

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als obere Dreiecksmatrix. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.

Aufgaben zum Gauß-Verfahren

Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\ &II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\ &III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\ \end{array} }

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Variable in der zweiten Zeile.

Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=-9 } ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=7} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=1/6 }

b) ⭐

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\ &II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\ &III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\ &IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5& \end{array} }

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Wert in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} .

Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3,5 } ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=-7} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=1 } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v=2,5 }

Kubische Funktionen im Sachzusammenhang

Virusinfektion

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

• Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
• Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d} beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\ f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& d &=& 0 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(4) &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f(8) &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &&f'(8) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array} }





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array} }

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II - 8 \cdot I}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III - 3 \cdot I}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\ \end{array} }



Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III - \frac{1}{2} \cdot II}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\ &II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\ &III\quad& && && &21c& &=& &0& \\ \end{array} }



Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle III} liefert uns nun

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\ &&&\Rightarrow& c &=& 0 \\ \end{array} }

Setzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 0} in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle II} ein, erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\ &&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\ &&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\ &&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\ \end{array} }

Setzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \frac{3}{16}} in Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ein, erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} &I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\ &&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\ &&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\ &&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\ &&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\ \end{array} }



und damit insgesamt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) }

c) Wissenschaftler behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

${\begin{array}{rlll}&{\textrm {notwendige}}\,{\textrm {Bedingung:}}&f''(t)&=&0\\&{\textrm {hinreichende}}\,{\textrm {Bedingung:}}&f'''(t)&\neq &0\\\end{array}}$

Der Graph der Funktion $f$ hat einen Wendepunkt bei $t=4$. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

${\begin{array}{rlll}f(t)&=&-{\frac {1}{64}}t^{3}+{\frac {3}{16}}t^{2}\\f'(t)&=&-{\frac {3}{64}}t^{2}+{\frac {3}{8}}t\\f''(t)&=&-{\frac {3}{32}}t+{\frac {3}{8}}\\f'''(t)&=&-{\frac {3}{32}}\\\end{array}}$

${\begin{array}{rlll}{\textrm {Notwendige}}\,{\textrm {Bedingung:}}&&f''(t)&=&0\\&\Leftrightarrow &-{\frac {3}{32}}t+{\frac {3}{8}}&=&0&\mid +{\frac {3}{32}}t\\&\Leftrightarrow &{\frac {3}{32}}t&=&{\frac {3}{8}}&\mid :{\frac {3}{32}}\\&\Leftrightarrow &t&=&4\\\end{array}}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:} &&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 \end{array} }

d) Skizziere nun den Graphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

Da die Funktionswerte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t > 12} negativ sind, ist der Graph nur für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \leq t \leq 12} als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.

Alles klar?

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