Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

Info

worum es hier geht

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Motivation?

• ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Das Lotfußpunktverfahren

Aufgabe 1⭐: Überblick: Abstand Punkt Ebene

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.

Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt:

1. Die Gleichung für die zu E orthogonale Gerade g (also die Lotgerade) durch P aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor ${\vec {p}}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor ${\vec {n}}$ von E nutzen: $g:{\vec {x}}={\vec {p}}+{\vec {t}}*{\vec {n}}$.
2. Den Schnittpunkt L von der Lotgeraden g und der Ebene E bestimmen. L ist der Lotfußpunkt.
3. Den Abstand zwischen den Punkten P und L bestimmen, indem man den Betrag des Vektors ${\vec {PL}}$ berechnet.

Aufgabe 1: xyz

Arbeitsmethode

Weitere Aufgaben:

• stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
• Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
• Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)

Aufgabe 2: Glaspyramide

a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung $E:2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=7$ beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt $S(4,5|9|3,5)$. Eine Längeneinheit $LE$ im Koordinatensystem entpricht $4m$.

Welche Höhe hat die Pyramide in $m$?

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze $S$ und der Ebene $E$ bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden $g$ zu $E$ durch $P$ aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von $S$ als Stützvektor und den Normalenvektor von $E$ als Richtungsvektor, also: $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}4,5\\9\\3,5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$.

Wir bestimmen den Schnittpunkt von $g$ mit $E$. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von $g$ in $E$ ergibt $(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7$, also $t=-2$. Durch Einsetzen in die Geradengleichung ${\begin{pmatrix}4,5\\9\\3,5\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5\\7\\-0,5\end{pmatrix}}$ erhalten wir den Lotfußpunkt $L(0,5|7|-0,5)$. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen S und L beträgt $6LE$ wegen $|{\vec {SL}}|={\sqrt {(}}(4,5-0,5)^{2}+(9-7)^{2}+(3,5-(-0,5))^{2})=6$. Die Pyramide hat also eine Höhe von $24m$.

Die Pyramide hat eine Höhe von $24m$.

Spitze der invertierten Glaspyramide

b) Es befindet sich auch eine invertierte Glaspyramide im Innenhof das Louvre. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils $10m$. Die Grundfläche hat $12m$ lange Diagonalen, die sich im Punkt $(38|1|-35)$ schneiden. In welchem Punkt $S_{2}$ liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (Zeichnung einfügen) Es ist ${\sqrt {10^{2}-6^{2}}}={\sqrt {(}}64)=8$, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8m } , was Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2LE } im Koordinatensystem entspricht.

Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2LE} zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide. Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M (38 | 1 | -35)} der Grundfläche aus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2LE} entlang der Geraden, die orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht $2LE$ in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} . Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3, also ist vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} } . Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} die Spitze liegt: Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 39 \frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ -33 \frac{2}{3} \end{pmatrix}} , also erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2=(39 \frac{1}{3}|\frac{5}{3}|-33 \frac{2}{3})} .

 isch den Mittelpunkt der Ebene geht, damit die Spitze der Pyramide mittig "über" bzw. "unter" der Grundfläche liegt. 

Diese Gerade entspricht der Lotgeraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_2} zu $E$ durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} . Der bereits bekante Mittelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (38 | 1 | -35) } ist der Lotfußpunkt auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Die Lotgerade g2 ist gegeben durch ...

Normalenvektor...

Die Hesse´sche Normalenform

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.

Merke: Die Hesse´sche Normalenform

Den Abstand von einem Punkt E zu einer Ebene E kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene E durch die Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a*x_1+b*x_2+c*x_3=d } bzw. durch die Normalenform Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}*\vec{OX}} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} } und ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3)} .

Stelle nun die HNF der Ebene auf:

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ${\vec {n}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} }

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}} .

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3)} in die HNF ein und berechne den Abstand:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}}

Aufgabe 1:

Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(3|4|-1)} und ein Falke schwebt auf der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(1|7|4)} . Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 8x_1-4x_2-x_3=5} .

Der Normalenvektor der Ebene ist: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} }

Länge des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 }

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8*x_1-4*x_2-1*x_3-5|}{9}} .

Nun werden die Koordinaten von A eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8*3-4*4-1*(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}}

Die Koordinaten von B können in die selbe HNF eingesetzt werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8*(-1)-4*7-1*4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5} .

Damit hat die Drohne einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} zum Schuldach und der Falke einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} . Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.

Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} und der Abstand des Falken zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} . Damit ist der Abstand der Drohne geriner.

Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1-3x_2+6x_3=13} . Bestimme zur Ebene E zwei parallele Ebenen, die von E den Abstand 5 haben.

Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu E sind

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie E.

Ansatz: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G:2x_1-3x_2+6x_3=h }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3) } sei ein Punkt der Ebene G

Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2-3^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(P;E)=5 } nach Aufgabenstellung. Daher gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h-13}{7}=5 } oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h-13}{7}=-5 }

Stelle nun beide Gleichungen nach h um. Es folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_1=48} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_2=-22} .

Dies wird nun in die Ebenengleichung von G eingesetzt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2} haben nun beide den Abstand 5 zur Ebene E.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22}

haben beide den Abstand 5 zu E

Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen

Abstand eines Punktes von einer Geraden

• Verfahren wiederholen (evtl.)
• Merksatz
• Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Abstand zweier windschiefer Geraden

• Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
• Janne: Merksatz
• Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Gemischte Aufgaben

• auf Anfangsaufgabe zurückkommen
• 3 Aufgaben

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!