Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)

Hier entsteht das Lernpfadkapitel "Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)".

Info

In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben und Kapitel, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Merke:

Zwischen einer Gerade und einer Ebene gibt es drei mögliche Lagebeziehungen.

Die Geraden schneidet die Ebene.

Die Gerade und die Ebene liegen parallel.

Die Gerade liegt in der Ebene.

Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Merke: Lagebeziehung von Gerade und Ebene untersuchen mit Ebene in Parameterform.

Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Gegeben sind eine Ebene $E:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)+s\cdot \left({\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}}\right)+t\cdot \left({\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}}\right)$ und eine Gerade $g:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}2\\2\\2\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-1\\-4\\0\end{matrix}}\right)$. Untersuche die Lagebeziehung der Gerade und der Ebene und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

1. Schritt: Setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich: $\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)+s\cdot \left({\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}}\right)+t\cdot \left({\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\2\\2\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-1\\-4\\0\end{matrix}}\right)$

2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf: ${\begin{vmatrix}1-s-t=2-r\\s=2-4r\\t=2\end{vmatrix}}$

3. Schritt: Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner: $s=-1,t=2,r=1$

4. Schritt: Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems anhand der Anzahl der Lösungen. Da das Gleichungssystem nur eine Lösung hat, besitzen die Ebene $E$ und die Gerade $g$ nur einen gemeinsamen Punkt. Also schneidet die Gerade die Ebene.

5. Schritt: Da sich die Ebene $E$ und die Gerade $g$ schneiden, kannst du den Schnittpunkt der beiden berechnen. Setze dafür den Parameter $r$ in die Geradengleichung ein: $\left({\begin{matrix}2\\2\\2\end{matrix}}\right)+1\cdot \left({\begin{matrix}-1\\-4\\0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}}\right)$

Aufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Gegeben ist eine Ebene $E:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)+s\cdot \left({\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}}\right)+t\cdot \left({\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}}\right)$.

1. Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich.

2. Stelle ein LGS auf.

3. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren oder dem Taschenrechner.

4. Die Anzahl der Lösungen zeigt dir, wie viele gemeinsamen Punkte die Gerade und die Ebene haben. Daran kannst du die Lagebeziehung erkennen.

Aufgabe <Nummer>: Schatten eines Sonnensegels

Da es Frau Meier im Sommer auf ihrer Terrasse gerne schattig haben möchte, spannt sie ein dreieckiges Segeltuch auf. Die Eckpunkte des Segeltuchs sind $A=\left({\begin{matrix}9\\-5\\7\end{matrix}}\right),B=\left({\begin{matrix}6\\-5\\7\end{matrix}}\right)$ und $C=\left({\begin{matrix}7\\-10\\11\end{matrix}}\right)$. Die Terrasse wird modelliert durch die $x_{1}-x_{2}$-Ebene. Die Sonne scheint aus Richtung $S=\left({\begin{matrix}-2\\-2\\-10\end{matrix}}\right)$. In welchem Bereich hat Frau Meier nun Schatten?

Bestimme die Geraden der Lichtstrahlen durch die Eckpunkte des Sonnensegels und berechne, wo sie auf die Terrasse treffen. Vielleicht hilft dir eine Skizze.

Der Schatten liegt auf der $x_{1}-x_{2}$-Ebene und du weißt, dass jeder Punkt auf dieser Ebene von der Form: $P=\left({\begin{matrix}x\\y\\0\end{matrix}}\right)$ ist. Du musst also die Ebenengleichung nicht aufstellen.

1. Schritt: Stelle die Geradengleichungen durch die Eckpunkte des Sonnensegels in Richtung der Sonnenstrahlen auf: $f:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}9\\-5\\7\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-2\\-2\\-10\end{matrix}}\right)$, $g:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}6\\-5\\7\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-2\\-2\\10\end{matrix}}\right)$, $h:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}7\\-10\\11\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-2\\-2\\10\end{matrix}}\right)$ 2. Schritt: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der $x_{1}-x_{2}$-Ebene. Da du weißt, dass jeder Punkt in dieser Ebene von der Form $P=\left({\begin{matrix}x\\y\\0\end{matrix}}\right)$ ist, kannst du diesen Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen.

$\left({\begin{matrix}x\\y\\0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}9\\-5\\7\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-2\\-2\\-10\end{matrix}}\right)\Rightarrow {\begin{vmatrix}x=9-2r\\y=-5-2r\\0=7-10r\end{vmatrix}}\Rightarrow$.

⭐Merke: Lagebeziehung von Gerade und Ebene untersuchen mit Ebene in Koordinatenform.

Beispiel: Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene in Koordinatenform

Gegeben sind eine Ebene $E:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=5$ und eine Gerade $g:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}3\\0\\2\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}-3\\5\\-1\end{matrix}}\right)$. Bestimme die Lagebeziehung von Gerade und Ebene.

1. Prüfe, ob der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor der Ebene liegt: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \vec{n} \circ \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ -1 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} -3\\ 5\\ -1 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 -1 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow  \vec{n} \perp \vec{u}}

2. Prüfe durch eine Punktprobe, ob der Stützvektor der Gerade in der Ebene liegt: $2\cdot 3-2=5\Rightarrow 4=5\Rightarrow$ Der Stützvektor liegt nicht in der Ebene. Daher verlaufen die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel zueinander.

Aufgabe: Bestimme den Parameter

Gegeben ist eine Ebene $E:{\vec {x}}=-2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=3$. Bestimme $l$ und $m$ in den folgenden Geraden so, dass die entsprechende Lagebeziehung erfüllt ist.

a) Die Gerade $g:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}5\\3\\0\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}0,5\\3\\m\end{matrix}}\right)$ soll parallel zur Ebene $E$ verlaufen.

Damit die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel zueinander sind, müssen der Richtungsvektor von $g$ und der Normalenvektor von $E$ orthogonal zueinander sein.

${\vec {u}}\circ {\vec {n}}=\left({\begin{matrix}0,5\\3\\m\end{matrix}}\right)\circ \left({\begin{matrix}-2\\3\\-1\end{matrix}}\right)=8-m$.

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt $0$ sein: $8-m=0\Rightarrow m=8$.

b) Die Gerade $h:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}l\\5,1\\0,4\end{matrix}}\right)+s\cdot \left({\begin{matrix}3\\m\\3,6\end{matrix}}\right)$ soll in der Ebene $E$ liegen.

Damit die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt, muss der Richtungsvektor von $g$ und der Normalenvektor von $E$ orthogonal zueinander sein.

Wenn die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt, liegt jeder Punkt auf der Gerade $g$ auch in der Ebene $E$. Prüfe mit der Punktprobe, ob der Stützvektor von $g$ in der Ebene $E$ liegt.

Finde zuerst m: ${\vec {u}}\circ {\vec {n}}=\left({\begin{matrix}3\\m\\3,6\end{matrix}}\right)\circ \left({\begin{matrix}-2\\3\\-1\end{matrix}}\right)=3m-9,6$. Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt $0$ sein: $3m-9,6=0\Rightarrow m=3,2$.

Finde danach $l$ durch eine Punktprobe: Setze ${\vec {(}}a)=\left({\begin{matrix}l\\5,1\\0,4\end{matrix}}\right)$ in die Ebenengleichung ein und löse nach l auf: $-2l+3\cdot 5,1-0,4=3\Leftrightarrow l=5,95$.

c) Die Gerade $i:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}3\\0\\2\end{matrix}}\right)+t\cdot \left({\begin{matrix}-3\\5\\-1\end{matrix}}\right)$ soll die Ebene $E$ schneiden.

Es gibt keine eindeutige Lösung! Der Richtungsvektor ${\vec {u}}$ von $g$ darf nur nicht orthogonal zum Normalenvektor von $E$ liegen.

Für $m=3$ ist der Richtungsvektor von $g$ orthogonal zum Normalenvektor von $E$ und die Gerade $g$ liegt parallel zur Ebene $E$. Jeder andere Wert für $m$ ist eine richtige Lösung.

Aufgabe <Nummer>: Beamer

Luca hält einen Vortrag vor seiner Klasse. Mit einem Laserpointer möchte er auf einer Karte an der Wand etwas zeigen. Die Wand des Klassenraums wird durch die Ebene $E:x_{2}+3x_{3}=2$ dargestellt. Der Strahl des Laserpointes wird durch die Gerade $j:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}7\\-5\\1,5\end{matrix}}\right)+s\cdot \left({\begin{matrix}1\\2\\0,5\end{matrix}}\right)$ modelliert. Berechne ohne Taschenrechner, wo der Strahl aus Lucas Laserpointer auf die Karte an der Wand trifft.

Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem die die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.

$-5+2s+3(1,5+0,5s)=2\Leftrightarrow s\approx 0,71$

Berechne den Schnittpunkt, indem du s in die Geradengleichung einsetzt: $\left({\begin{matrix}7\\-5\\1,5\end{matrix}}\right)+0,71\cdot \left({\begin{matrix}1\\2\\0,5\end{matrix}}\right)\approx \left({\begin{matrix}7,71\\-3,58\\1,86\end{matrix}}\right)$

⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene

Abbildung: Winkel zwischen Gerade und Ebene

Erläuterung: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene

Wenn eine Gerade g eine Eben E schneidet, kannst du nicht nur den Schnittpunkt berechnen, sondern auch den Schnittwinkel. Dafür benötigen wir den Normalenvektor. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man diesen abliest oder berechnet, schau noch einmal in Kapitel...

Merksatz: Winkel berechnen zwischen Gerade und Ebene

Sei $E$ eine Ebene mit dem Normalenvektor $n$ und $g$ eine Gerade mit dem Richtungsvektor $u$. Der Schnittwinkel $\beta$ zwischen $E$ und $g$ kann mit folgender Formel berechnet werden: $sin(\beta )={\frac {n\ast u}{|n|\cdot |u|}}$

Wenn du wissen möchtest, warum du nicht wie beim Winkel zwischen zwei Geraden den Kosinus benutzt, kannst du das hier nachlesen:

Der Normalenvektor ${\vec {n}}$ einer Ebene steht in einem 90 Winkel zur Ebene $E$. Wenn wir den Winkel zwischen einer Gerade $g$ und einer $E$ berechnen wollen, können wir wie beim Winkel zwischen zwei Geraden mit der Kosinusfunktion den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von $g$ und dem Normalenvektor von $E$ berechnen. In Abbildung ... ist dieser Winkel mit $\beta$ bezeichnet. Um nun den Winkel $\alpha$ zwischen $g$ und $E$ zu erhalten, müssen wir $\beta$ von $90^{\circ }$ abziehen. Dies entspricht der obigen Formel mit der Sinusfunktion.

Beispiel: Berechnen des Winkels zwischen Gerade und Ebene

Gegeben sind die Gerade $g:{\vec {x}}=\left({\begin{matrix}-1\\3\\6\end{matrix}}\right)+r\cdot \left({\begin{matrix}8\\2\\0\end{matrix}}\right)$ und die Ebene $E:2x_{1}+x_{2}+4x_{3}=-27$. Bestimme den Winkel unter dem sich die Gerade $g$ und die Ebene $E$ schneiden.

1. Schritt: Notiere den Richtungvektor ${\vec {u}}$ der Gerade und den Normalenvektor ${\vec {n}}$ der Ebene.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}= \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right) } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right) } .

2. Schritt: Setze die Vektoren in die Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle sin(\beta)=\frac{ \vec{n} \ast \vec{u}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}} ein. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle sin(\beta)=\frac{ | \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)|}{|\left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 4 \end{matrix} \right)| \cdot | \left( \begin{matrix} 8\\ 2\\ 0 \end{matrix} \right)|} \Leftrightarrow sin(\beta)=\frac{18}{\sqrt{60} \cdot \sqrt{21}} \Leftrightarrow sin(\beta)=\frac{18}{\sqrt{1260}} }

3. Schritt: Umformen der Gleichung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = sin^{-1}(\frac{18}{\sqrt{1260}}) \Leftrightarrow \beta \approx 28,45 ^\circ }

Aufgabe <Nummer>: <Name>

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Gerade gesucht

Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} soll die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1-x_2-Ebene } in einem Winkel von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 45 ^\circ} schneiden. Über die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist nur bekannt, dass sie im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P (1|2|3) } beginnt und sie in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}} verläuft. Stelle die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf.

Notiere dir alle Informationen aus dem Text. Was weißt du über die Berechnung des Winkels zwischen einer Gerade und einer Ebene?

Der Normalenvektor der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1-x_2} -Ebene verläuft nur in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Richtung.

Um Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen, kannst du die nSolve-Funktion deines Taschenrechners nutzen.

Bisher wurde mit der Formel zu Winkelberechnung nur der Winkel berechnet. Die Formel kann jedoch auch genutzt werden, um bei einem vorgegebenen Winkel die Lage der Gerade oder Ebene zu bestimmen.

Dafür muss zuerst der Normalenvektor der Ebene bestimmt werden. Da es sich um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1-x_2} -Ebene handelt, lautet der Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}} .

Nun können der Normalenvektor der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade und der vorgegebene Winkel in die Formel zur Berechnung eingesetzt werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle sin(45)=\frac{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ z \end{pmatrix}} \Leftrightarrow sin(45)=\frac{z}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{9+36 + z^{2}}} \Leftrightarrow sin(45)=\frac{z}{\sqrt{45+z^{2}}} }

Löst man die Gleichung mithilfe des Taschenrechners, erhält man das Ergebnis: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=3 \sqrt{5} \approx 6,71} .

Somit kann im letzten Schritt die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} aufgestellt werden. Man erhält Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g: \vec{x} = \left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 6\\ {3 \sqrt{5}} \end{matrix} \right) } .

Lagebeziehung Ebene-Ebene

Aufgabe: Lückentext zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene

Beispielaufgabe: Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ -1\\ 1 \end{matrix} \right) } und eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F: \vec{x}=\left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right) } . Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen.

1. Schritt: Setze die beiden Ebenengleichungen gleich. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 2 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} -3\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\ -1\\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2 \end{matrix} \right) + r \cdot \left( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right)+ u \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right) }

2. Schritt: Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 2-3s+t=2-r-2u \\ 3+s-t=2+r+u \\ 2+s+t=2+r+3u \end{vmatrix} }

Aufgabe: Ergebnisse interpretieren

Interpretiere die jeweilige Situation geometrisch.

a)  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & -0,5 & 0,5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 1,5 & 1 \end{vmatrix}}

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da sich in jeder Zeile der Diagonalform Einträge befinden, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden.

b)  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}}

Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Die Ebenen liegen also parallel zueinander.

c)  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}}

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Da die letzte Zeile der Diagonalform nur aus Nullen besteht, sind die Ebenen identisch.

Aufgabe: Lagebeziehungen berechnen

Untersuche die Lagebeziehung der jeweiligen Ebenen.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} }

c)  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} }

Aufgabe: Schnitt von zwei Zeltflächen

Die beiden Seitenflächen eines Zeltes liegen in den Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}, t,u \in \mathbb{R} } . Berechne die Geradengleichung der oberen Zeltkante.

⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene

Merke: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, kann der Schnittwinkel bestimmt werden, den sie einschließen. Wie in Abbildung ... zu sehen ist, kannst du dazu die Normalenvektoren betrachten. Sie schließen denselben Winkel ein, wie die beiden Ebenen. Betrachten wir die Normalenvektoren, so können wir ähnlich vorgehen, wie beim Berechnen des Winkels zwischen zwei Geraden.

Um den Schnittwinkel zu berechnen, musst du zunächst die Normalenvektoren der Ebenen bestimmen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue nochmal in Kapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum

Merksatz: <Name>

Seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} zwei sich schneidende Ebenen mit den Normalenvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} . Der Schnittwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} kann mit folgender Formel berechnet werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cos(\alpha)=\frac{ \vec{n} \ast \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}}

Beispiel: Winkel berechnen zwischen zwei Ebenen

Gegeben sind zwei Ebenen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F: 7x_1+x_2-3x_3 } . Berechne den Schnittpunkt zwischen den Ebenen.

1. Schritt: Bestimmte die Normalenvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} .

Der Normalenvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} kann mithilfe des ... bestimmt werden als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} } . Der Normalenvektor von $F$ lautet ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}7\\1\\-3\end{pmatrix}}$.

2. Schritt: Einsetzen der Normalenvektoren in die Formel.

$cos(\alpha )={\frac {{\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}\ast {\begin{pmatrix}7\\1\\-3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7\\1\\-3\end{pmatrix}}}}\Leftrightarrow cos(\alpha )={\frac {59}{{\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {59}}}}\Leftrightarrow cos(\alpha )={\frac {16}{3\cdot {\sqrt {59}}}}$

3. Schritt: Auflösen der Gleichung.

$\alpha =cos^{-1}({\frac {16}{3\cdot {\sqrt {59}}}})\Leftrightarrow \alpha \approx 46{,}03^{\circ }$ Der Winkel zwischen den Ebenen $E$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} beträgt ca. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 46{,}03 ^{\circ} } .

Aufgabe <Nummer>: Fehlerbeschreibung

Inhalt

Aufgabe <Nummer>: Bank am Wanderweg

An einem Wanderweg soll eine Holzbank aufgestellt werden. Die Bank wird so ausgerichtet, dass die Sitzfläche durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}4 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R} } und die Rückenlehne durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1: -x_2 + 0{,}4 x_3 = -0{,}2 } beschrieben werden kann.

Skizze: Bank am Wanderweg

a) Um eine bequeme Sitzposition zu ermöglichen, sollte der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche zwischen 100 und 110 liegen. Überprüfe, ob die auf die neue Bank zutrifft.

Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S-1 } aus den Richtungsvektoren der Ebene. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schaue in Kapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum. 

Überlege genau, welchen Winkel du berechnet hast. Vielleicht kann dir eine Skizze helfen.

Als Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1} erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}8 \end{pmatrix} } und als Normalenvektor der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} } .

Einsetzen in die Formel liefert: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cos(\gamma) = \frac{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}8 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0{,}8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}} \Leftrightarrow cos(\gamma) = \frac{\frac{8}{25}}{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} }

Umstellen der Formel ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma=cos^{-1} \left( \frac{\frac{8}{25}}{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \right) \Leftrightarrow \gamma \approx 68{,}2 ^\circ }

Skizze: Winkel zwischen der Rückenlehne und der Sitzfläche der Bank

Wie in Abbildung ... zu sehen wurde der Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma } berechnet. Der Winkel zwischen der Sitzfläche und der Rückenlehne wird aber durch den Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha } beschrieben. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} erhält man, indem man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 180 ^\circ - \gamma } berechnet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 180 ^\circ - 68{,}2 ^\circ = 111{,}8 ^\circ } . Mit einem Wert von  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 111{,}8 ^\circ } liegt der Winkel zwischen Rückenlehne und Sitzfläche etwas über dem optimalen Winkel.

b) Da der Wanderweg sehr beliebt ist, soll noch eine zweite Bank aufgestellt werden. Sie wird so ausgerichtet, dass beide Bänke mit den Rückenlehnen aneinander stehen. Auch bei der zweiten Bank können die Sitzfläche und die Rückenlehne durch Ebenen beschrieben werden. Die Sitzfläche entspricht der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0,8 \\ 0,5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0,4 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, r,s \in \mathbb{R}} und die Rückenlehne der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_2: -x_2 - 0{,}4 x_3 = -1 } Berechne den Winkel, unter dem die beiden Rückenlehnen der Bänke aufeinander treffen.

Skizze: Bänke am Wanderweg

Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1} und der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_2} . Nutze zur Berechnung die Normalenvektoren der Ebenen.

Es soll der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_2} berechnet werden.

Skizze: Winkel zwischen den beiden Bänken am Wanderweg

Die Normalenvektoren der Ebenen lauten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{l}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -0{,}4 \end{pmatrix} } .

Einsetzen in die Formel liefert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cos(\beta)=\frac{ \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -0{,}4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0{,}4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -0{,}4 \end{pmatrix}} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{29}{25}}} \Leftrightarrow cos(\beta)=\frac{\frac{21}{25}}{\frac{29}{25}} \Leftrightarrow cos(\beta)=\frac{21}{29}}

Umstellen der Formel ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=cos^{-1} \left( \frac{21}{29} \right) \Leftrightarrow \beta \approx 43{,}6 ^{\circ} } . Der Winkel zwischen den beiden Rückenlehnen beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 43{,}6 ^{\circ} } .