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| ==Spurpunkte== | | ==Spurpunkte== |
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| <nowiki>{{Box | Erinnerung: Spurpunkte | </nowiki>{{Lösung versteckt|1= Merksatz}}
| | {{Box | Erinnerung: Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Koordinatenebene. Gegeben ist eine Geradengleichung in Parameterform <math>g:\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}</math>. Gesucht sind die Spurpunkte der Geraden. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (die <math>x_1-x_2-, x_1-x_3- und x_2-x_3</math>-Ebene) lassen sich drei Spurpunkte berechnen. |
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| {{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt S1 berechnet man folgendermaßen:
| | <math>'''S_1'''</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_2-x_3</math>-Ebene |
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| 1. Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.
| | <math>'''S_2'''</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_3</math>-Ebene |
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| 2. Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.
| | <math>'''S_3'''</math> ist der Schnittpunkt von Gerade und <math>x_1-x_2</math>-Ebene| Merksatz}} |
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| Für S2 und S3 geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}} | | {{Box | Berechnung der Spurpunkte | {{Lösung versteckt|1= Den Spurpunkt <math>'''S_1'''</math> berechnet man folgendermaßen: |
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| | '''1.''' Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ. |
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| | '''2.''' Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten. |
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| | Für <math>'''S_2''' und '''S_3'''</math> geht man auf gleicher Weise vor.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}} |
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| | {{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2= Gegeben ist die Geradengleichung <math> g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + λ \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math> |
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| | Zum Berechnen von Spurpunkt <math> '''S_1'''</math> setzen wir die <math> x_1</math>-Koordinate von <math>'''S_1'''</math> gleich Null: <math>'''S_1'''(0|?|?)</math>. |
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| | '''1.''' <math>x_1</math> = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um λ zu berechnen |
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| {{Box | 1= Beispiel: Spurpunkte berechnen | 2=
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| Gegeben ist die Geradengleichung <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix}+λ \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>.
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| Zum Berechnen von Spurpunkt S1 setzen wir die x1-Koordinate von S1 gleich Null: S1<math>(0|?|?)</math>.
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| 1) x1 = 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um λ zu berechnen
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| 1 + λ = 0 → λ = {-}1 | | 1 + λ = 0 → λ = {-}1 |
| 2) λ in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen | | |
| <math>g:\vec{s1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 * \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math> | | '''2.''' λ in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen |
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| | <math>g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} </math> |
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| Antwort: Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}} | | Antwort: Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten <math>(0|{-}6|5)</math>.| 3=Hervorhebung1}} |
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| {{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte S2 und S3 aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf. | | {{Box | Aufgabe 7: Spurpunkte | Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte <math>'''S_2''' und '''S_3'''</math> aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf. |
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| {{Lösung versteckt|1= 1) {-}4 + λ * 2 = 0 → λ = 2 | | {{Lösung versteckt|1= '''1.'''<math> {-}4 + λ \cdot 2 = 0 → λ = 2 |
| 2) <math>g:\vec{s2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 * \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
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| S2 hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= 1) 4 - λ = 0 → λ = 4
| | '''2.''' <math>g \cdot \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |
| 2) <math>g:\vec{s3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 * \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math> | |
| S3 hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1= <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| | <math>'''S_2'''</math> hat die Koordinaten <math>(3|0|2)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| <nowiki>{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden).</nowiki>
| | {{Lösung versteckt|1= '''1.''' 4 - λ = 0 → λ = 4 |
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| '''a)''' <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r * \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> | | '''2.''' <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} </math> |
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| '''b)''' <math>g:\vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s * \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math> | | <math>'''S_3'''</math> hat die Koordinaten <math>(5|4|0)</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= 3|2), S2 = (1{,}5|2=Lösung anzeigen|0{,}5), S3 = (2|3=Lösung verbergen|4=0)}} | | {{Lösung versteckt|1= <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| {{Lösung versteckt|1= 5|5), S2 = ({-}5|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | | {{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden). |
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| {{Lösung versteckt|1= Arbeitsmethode|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | '''a)''' <math>g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> |
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| <nowiki>{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt </nowiki><math> A({-}6713|4378|-256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt P erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?
| | '''b)''' <math>g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math> |
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| {{Lösung versteckt|1= Arbeitsmethode|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen }} | | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' <math>'''S_1''' = (0|3|2), '''S_2''' = (1{,}5|0|0{,}5), '''S_3''' = (2|{-}1|0)</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| | {{Lösung versteckt|1= '''b)''' <math>'''S_1''' = (0|5|5), '''S_2''' = ({-}5|0|5), |
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| | '''S_3'''</math> kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| | {{Lösung versteckt|1= Unsere Gerade aus Aufgabe '''b)''' schneidet die <math>x_1-x_2</math>-Ebene nicht.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| | {{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im Punkt<math> A({-}6713|4378|-256) </math> und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors <math>\vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} </math> nach oben auf. In welchem Punkt P erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält? |
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| | {{Lösung versteckt|1= <math>g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} {-}6713 \\ 4378 \\ {-}256 \end{pmatrix} + 32 \cdot \begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-}4697 \\ 2106 \\ 0 \end{pmatrix} </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen | Arbeitsmethode}} |
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| ==⭐ Normalenvektor== | | ==⭐ Normalenvektor== |
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| Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. | | Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben <math> \vec{n} </math> bezeichnet. |
| </div> | | </div> |
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| Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}} | | Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.| 2=Infobox | 3=Einklappen}} | Merksatz}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} | | {{Lösung versteckt|1= Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.|2=Tipp |3=Tipp verbergen}} |
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| {{Box | Aufgabe 10⭐: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>. Berechne den Normalenvektor der Ebene. | | {{Box | Aufgabe 10⭐: Normalenvektor berechnen | Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform <math>E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} </math>. |
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| | Berechne den Normalenvektor der Ebene. |
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| {{Lösung versteckt|1= I <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und II <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math> | | {{Lösung versteckt|1= '''I''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 </math> und '''II''' <math>\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 </math> |
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| Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar! | | Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar! |
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| \text{I}\quad & 1n1 & + & 2n2 & + & 1n3 & = & 0\\ | | \text{I}\quad & 1n1 & + & 2n2 & + & 1n3 & = & 0\\ |
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| \text{II}\quad & 2n1 & + & 2n2 & - & 1n3 & = & 0 | | \text{II}\quad & 2n1 & + & 2n2 & - & 1n3 & = & 0\\ |
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| \end{array}</math> | | \end{array}</math> |
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| Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit n3 wegfällt. Wir erhalten mit | | Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung '''I''' und '''II''' zu addieren, damit <math>n_3</math> wegfällt. Wir erhalten mit |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| \Leftrightarrow & & 3n1 &= -4n2 & &\mid :(-4)\\ | | \Leftrightarrow & & 3n1 &= -4n2 & &\mid :(-4)\\ |
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| \Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n2 | | \Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n2\\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von n1: | | den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von <math>n_1</math>: |
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| | <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math> |
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| <math> /vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} </math>. | | Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für <math>'''n_1'''</math> eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn <math>'''n_1 = 4'''</math> ist, dann folgt für <math>'''n_2 = 3'''</math> und für <math>'''n_3 = 2'''</math> . |
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| Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für '''n1''' eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn '''n1 = 4''' ist, dann folgt für '''n2 = 3''' und für '''n3 = 2'''. Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> /vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| | Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor <math> \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| ==Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen== | | ==Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen== |
Info
In diesem Lernpfadkapitel werden Ebenen im Raum eingeführt. Neben Punkten, Vektoren und Geraden sind auch Ebenen wichtige Objekte der analytischen Geometrie.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
Die Parameterform und die Punktprobe
Merksatz: Die Parameterform
Beispiel: Ebenengleichung aus drei Punkten bestimmen
Gegeben sind die Punkte 
, 
, 
, die nicht auf einer Geraden liegen.
Zum Aufspannen der Ebene wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt 
und berechnen von dort aus die zwei Spannvektoren 
, 
zu den anderen Punkten.
Aus unseren Punkten ergibt sich beispielhaft folgende Ebenengleichung 
.
Die Wahl des Aufpunkts und die daraus resultierende Bestimmung der Spannvektoren ist beliebig. Die Parameterform ist daher nicht eindeutig.
Aufgabe 1: Aufstellen der Parameterform aus der Punkten
Stelle aus den gegebenen Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf:
a) 
und 
.
b) 
und 
.
Kannst du hierzu auch jeweils zweite Ebenengleichung aufstellen, die die gleiche Ebene beschreibt?
weitere mögliche Parameterform zu a) 
weitere mögliche Parameterform zu b)
Aufgabe 2: Fehlersuche
Furkan und Diego haben versucht zu drei gegebenen Punkten 
eine Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen. Beurteile inwiefern ihnen das gelungen ist.
Mögliche Begründungen: Furkans Rechnung ist nicht richtig. Er hat statt der Spannvektoren und die Ortsvektoren zu den Punkten 
und 
angegeben.
Diegos Rechnung ist richtig. Er hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt
gewählt und als Spannvektoren die Vektoren
und
. Er hätte noch, wie Furkan es gemacht hat, dazuschreiben können, dass es nur eine der möglichen Parameterformen ist.
Aufgabe 3: Lückentext zur Parameterform
Bearbeite das folgende Applet. Du kannst damit dein Wissen zur Parameterform einer Ebene überprüfen.
Die Punktprobe
Beispiel: Punktprobe
Liegt der Punkt 
in der Ebene 
?
Wenn ja, dann müsste der zu 
gehörende Ortsvektor 
die Ebenengleichung erfüllen, d.h. es müsste ein Paar reeller Zahlen 
geben, für die gilt:
Die Vektorgleichung ist gleichbedeutend mit dem System der Koordinatengleichungen
Aus der ersten Gleichung folgt 
, die zweite Gleichung ergibt 
.
Die dritte Gleichung ist für diese Werte ebenfalls erfüllt, das heißt der Punkt
liegt in der Ebene
.
Aufgabe 4: Die Parameterform im Sachzusammenhang
Das Dach einer Kirche hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Höhe von 
m.
sind die Koordinaten einer Ecke der Grundfläche des Daches. Die gegenüberliegende Ecke der Grundfläche hat die Koordinaten 
.
a) Bestimme die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und 
, sowie der Dachspitze 
. Stelle die Ebenengleichung der Ebene auf, in der die Punkte , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S}
liegen.
Tipp: Falls du noch weiter üben möchtest, bestimme auch die Ebenengleichungen der übrigen Dachseiten und der Grundfläche.
b) Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.
c) Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
die Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b}
ungleich Null, aber Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=0}
ist, haben eine Gemeinsamkeit.
Spurpunkte
{{Box | Erinnerung: Spurpunkte |
Merksatz
Berechnung der Spurpunkte
Den Spurpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_1'''}
berechnet man folgendermaßen:
1. Setze die erste Koordinate der Geradegleichung gleich Null und berechne den den dazugehörigen Parameter λ.
2. Setze λ in die Geradegleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.
Für
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_2''' und '''S_3'''}
geht man auf gleicher Weise vor.
Beispiel: Spurpunkte berechnen
Gegeben ist die Geradengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + λ \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} }
Zum Berechnen von Spurpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_1'''}
setzen wir die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Koordinate von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_1'''}
gleich Null: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_1'''(0|?|?)}
.
1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
= 0 in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um λ zu berechnen
1 + λ = 0 → λ = {-}1
2. λ in die Geradengleichung einsetzt, um den Spurpunkt zu berechnen
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \colon \vec{s_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + {-}1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix} }
Antwort: Der Spurpunkt S1 hat die Koordinaten
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0|{-}6|5)}
.
Aufgabe 7: Spurpunkte
Berechne nun die übrigen beiden Spurpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_2''' und '''S_3'''}
aus dem vorherigen Beispiel und stelle die Ebenengleichung dazu auf.
1.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {-}4 + λ \cdot 2 = 0 → λ = 2 '''2.''' <math>g \cdot \vec{s_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_2'''}
hat die Koordinaten
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3|0|2)}
.
1. 4 - λ = 0 → λ = 4
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \colon \vec{s_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ {-}4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_3'''}
hat die Koordinaten
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5|4|0)}
.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ {-}6 \\ 5 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ {-}3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ {-}5 \end{pmatrix} }
{{Box | Aufgabe 8: Spurpunkte berechnen | Gib die Schnittpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen an (Spurpunkte der Geraden).
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} {-}1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} }
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vec{x}=\begin{pmatrix} {-}2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_1''' = (0|3|2), '''S_2''' = (1{,}5|0|0{,}5), '''S_3''' = (2|{-}1|0)}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''S_1''' = (0|5|5), '''S_2''' = ({-}5|0|5), '''S_3'''}
kann in diesem Fall nicht berechnet werden. Was heißt dies für unsere Gerade?
Arbeitsmethode
{{Box | Aufgabe 9: Spurpunkte berechnen (Textaufgabe) | In einem Koordinatensystem mit der Einheit m (Meter) befindet sich ein U-Boot im PunktFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A({-}6713|4378|-256) }
und taucht auf einem Kurs in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}=\begin{pmatrix} 63 \\ {-}71 \\ 8 \end{pmatrix} }
nach oben auf. In welchem Punkt P erreicht das U-Boot die Meeresoberfläche, wenn es seinen Kurs beibehält?
Arbeitsmethode
⭐ Normalenvektor
Erinnerung: Normalenvektor
Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, das heißt, dass er orthogonal zu allen Spannvektoren der Ebene ist.
Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} }
bezeichnet.
Alle Normalenvektoren einer Ebene sind Vielfache voneinander.
Berechnung des Normalenvektors
Du benötigst für die Berechnung zwei Gleichungen. Die erste Gleichung erhältst du durch das Vektorprodukt des ersten Spannvektors mit dem Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} }
, das du gleich Null setzt.
Um die zweite Gleichung zu erhalten führst du diesen Schritt nun mit dem zweiten Spannvektor durch.
Diese beiden Gleichungen bilden im Folgenden ein Gleichungssystem.
Löse das Gleichungssystem, indem du eine der drei Unbekannten beliebig wählst und die anderen beiden Unbekannten berechnest.
Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am Besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze sie gleich eins.
Aufgabe 10⭐: Normalenvektor berechnen
Gegeben sei die Ebenengleichung in Parameterform Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E \colon \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} }
.
Berechne den Normalenvektor der Ebene.
I Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 }
und II Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ {-}1 \end{pmatrix} = 0 }
Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar!
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 1n1 & + & 2n2 & + & 1n3 & = & 0\\ \text{II}\quad & 2n1 & + & 2n2 & - & 1n3 & = & 0\\ \end{array}}
Es gibt hier zwei Berechnungsmöglichkeiten - per Hand oder per Taschenrechner. Wollte ihr das Gleichungssystem per Hand lösen, würde es sich in diesem Fall anbieten Gleichung I und II zu addieren, damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3}
wegfällt. Wir erhalten mit
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 3n1 + 4n2 &= 0 & &\mid -4n2\\ \Leftrightarrow & & 3n1 &= -4n2 & &\mid :(-4)\\ \Leftrightarrow & & -tfrac{3}{4} &= n2\\ \end{align}}
den allgemeinen Normalenvektor in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1}
:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} n1 \\ tfrac{3}{4} n1 \\ tfrac{1}{2} n1 \end{pmatrix} }
Für einen speziellen Normalenvektor wählen wir für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''n_1'''}
eine beliebige Zahl aus. Die wählen wir so, dass insgesamt schöne Zahlen raus kommen. Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''n_1 = 4'''}
ist, dann folgt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''n_2 = 3'''}
und für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle '''n_3 = 2'''}
.
Daraus folgt für den speziellen Normalenvektor
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} }
Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen
Merksatz: Normalen- und Koordinatenform
Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}}
beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
zu beschreiben. Damit erhält man die Normalengleichung der Ebene. Sie hat die Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\vec{x}=(\vec{x}-A) \cdot \vec{n}=0}
.
Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine Koordinatengleichung der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
. Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein.
Ist
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}
ein Normalenvektor dieser Ebene.
Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform
Eine Ebene durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|1|3)}
hat den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}}
a) Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=0}
.
b) Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene
Mit dem Normalenvektor 
ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ansatz: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:2x_1+x_2+5x_3=d}
mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{OA} \cdot \vec{v}}
.
Den Wert für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d}
berechnet man indem man die Koordinaten des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|1|3)}
einsetzt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, x_2, x_3}
einsetzt.
Lösung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:2x_1+x_2+5x_3=22}
c) Liegt der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(1|1|1)}
in der Ebene?
Eine Punktprobe mithilfe der Koordinatenform einer Ebenengleichung führt man durch, indem man die Koordinaten für die Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, x_2, x_3}
in die Gleichung einsetzt und kontrolliert, ob die Aussage wahr ist.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1=6 \neq 22}
. Der Punkt A liegt nicht in der Ebene.
Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung in der Normalenform.
mögliche Lösung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(2|1|3)}
ist der Aufpunkt. Den Normalenvektor berechnen wir mithilfe des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P({-}1|2|{-}3)}
. Damit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\vec{QP}}
, d.h. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} -1-2 \\ 2-1 \\ -3-3 \end{pmatrix}}
.
Normalengleichung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}=0}
Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform)
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|5|0)}
des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T(4|5|8)}
ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{TP}}
.
Normalengleichung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\vec{x}=[\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}=0}
Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform)
Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Achse nach Süden, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Achse nach Osten und die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Achse senkrecht zum Himmel zeigt.
Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 42 \\ 20 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}}
beschrieben werden.
a) Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.
Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.
Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 24 \\ 0 \end{pmatrix}=0}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 10 \\ 0,5 \end{pmatrix}=0}
.
Hieraus folgt das Gleichungssystem
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 28n_1+24n_2=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -21n_1+10n_2+0,5n_3=0}
.
Wählt man z.B.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=6}
folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=-7}
und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3=392}
. Normalenvektor:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 392 \end{pmatrix}}
b) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:6x_1-7x_2+392x_3=0}
.
Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(-30|20|z)}
. Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der 
-Ebene errichtet.
c) Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow z=0,8163}
.
Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform)
Ein Baum mit dem Fußpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F({-}2|1|0)}
und der Spitze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S({-}2|1|15)}
wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}}
verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:x_1+2x_2+x_3={-}6}
beschrieben wird.
Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes?
Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.
Geradengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 15 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}}
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2+4r+2(1+5r)+(15+7r)=-6.}
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=-1}
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=-1}
in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T({-}6|{-}4|8)}
.
Schattenlänge des Baumes:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vert{\vec{FT}}\vert= \vert{\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix}}\vert =\sqrt{16+25+64}=\sqrt{105}}
LE.
Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform
a) Warum muss bei einer Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c}
ungleich null sein?
Angenommen alle Koeffizienten sind gleich Null: Dann fallen alle Variablen weg und die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=d}
beschreibt keine Ebene mehr.
b) Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.
Wenn sich die beiden Ebenengleichungen nur in d unterscheiden haben sie den gleichen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
, der orthogonal zur Ebene liegt. Damit müssen die Ebenen parallel sein.
c) Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d}
die Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b}
ungleich Null, aber Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=0}
ist, haben eine Gemeinsamkeit.
Die Aussage ist wahr, da all diese Ebenen parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Achse liegen.
Überführung der Parameterform in die Koordinatenform
Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung
Wir suchen die Koordinatengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}}
. Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}}
muss zu den Spannvektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}}
orthogonal (senkrecht) sein, also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=0}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0}
. Hieraus folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1-n_2=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1-3n_2+4n_3 =0}
. Wählt man z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=2}
, so erhält man durch Einsetzen in die Gleichungen des Gleichungssystems und Umformen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=2}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3=1}
und damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}
. Ansatz für die Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:2x_1+2x_2+x_3=d}
. Man berechnet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d}
indem man für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, x_2}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
die Koordinaten des Stützvektors von E einsetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5=11}
. Koordinatengleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:2x_1+2x_2+x_3=11}
Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}}
.
Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.
Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0}
.
Hieraus folgt das Gleichungssystem
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1+3n_2=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2n_1+n_2+3n_3=0}
.
Wählt man z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=9}
folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=-3}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_3=7}
.
Normalenvektor: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}}
.
Das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d}
berechnen wir durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\vec{n} \cdot \vec{OA}}
:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot 9 - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2=29}
Koordinatenform der Ebenengleichung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9x_1 - 3x_2 + 7x_3=29}
Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung
Die Ebene E ist durch die drei Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(7|2|{-}1)}
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(4|1|3)}
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(1|3|2)}
festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:\vec{x}=(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -15 \\ -9 \end{pmatrix}=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -7x_1-15x_2-9x_3=70}
