Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit und
• Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Geraden und ihre Darstellungsformen

Parameterdarstellung einer Geraden

Definition

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form $g\colon {\vec {x}}={\vec {OA}}+k\cdot {\vec {v}}$ mit $k\in \mathbb {R}$ beschreiben.

• Diese Vektorgleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung oder Parametergleichung der Geraden $g$ mit dem Parameter $k$.
• Setzt man für $k$ irgendeine Zahl in die Parameterdarstellung der Geraden $g$ ein, so ergibt sich der Ortsvektor ${\vec {x}}$ (auch ${\vec {OX}}$ genannt) eines Punktes $X$ der Geraden $g$.
• Der Vektor ${\vec {OA}}$ heißt Stützvektor. Er ist der Ortsvektor zu einem Punkt $A$ (auch Aufpunkt genannt), der auf der Geraden $g$ liegt.
• Der Vektor ${\vec {v}}\neq {\vec {o}}$ heißt Richtungsvekor.

Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, kannst du hier noch einmal nachvollziehen.

Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte)

Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt $A$, Richtungsvektor ${\vec {v}}$ und Parameter $t$ abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt $P$, wenn du $t<0$, $t=0$ und $t>0$ wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade $g$ anzeigen lassen.

• Für $t<0$ liegt der Punkt $P$ hinter dem Punkt $A$, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen rückwärts.
• Für $t=0$ liegt der Punkt $P$ genau auf dem Punkt $A$, d.h. sie sind identisch, man befindet sich also genau auf dem Stützpunkt.
• Für $t>0$ liegt der Punkt $P$ vor dem Punkt $A$, d.h. man geht auf der Gerade vom Stützpunkt aus gesehen vorwärts.

Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II):

(I) Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A$ und $B$. Gib zwei Gleichungen für $g$ an.

a) $A(1|2|2),B(5|{-}4|7)$

b) $A(-3|{-}2|9),B(0|0|3)$

Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben!

Zwei mögliche Geraden sind $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$ und $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\-4\\7\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$.

Zwei mögliche Geraden sind $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-3\\-2\\9\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$ und $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-3\\-2\\6\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$.

(II) Ordne jeweils die zwei Punkte A und B der Parametergleichung der Geraden durch A und B zu.

Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt $P$ verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist.

Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen auf Punkt und Richtungsvektor

Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.

a) Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $P(1|{-}1|2)$ und hat den Richtungsvektor ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$.

Überlege dir wie der Stützvektor der Geraden lauten muss und stelle dann die passende Geradengleichung mit dem Richtungsvektor auf.

b) Stelle eine Geradengleichung für die $x_{1}$-Achse auf.

Überlege dir einen geschickten Aufpunkt; wie muss dann der Richtungsvektor aussehen?

c) Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $P(2|{-}2|4)$ und verläuft parallel zur Geraden $h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$.

Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden.

d) Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $P(1|{-}1|{-}2)$ und verläuft parallel zur $x_{1}$-Achse.

e) Die Gerade $g$ geht durch den einen beliebigen Punkt $P(p_{1}|p_{2}|p_{3})$ und verläuft parallel zur $x_{3}$-Achse.

Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu d).

Eine mögliche Gerade ist $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$.

Eine mögliche Gerade ist $x_{1}\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$ oder noch einfacher $x_{1}\colon {\vec {x}}=s\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$

Eine mögliche Gerade ist $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$.

Eine mögliche Gerade ist $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$.

Eine mögliche Gerade ist $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$.

Punktprobe

Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade oder daneben liegt, kannst du hier noch einmal nachschauen.

Merksatz: Punktprobe

Liegt ein Punkt $P$ auf der Geraden g definiert durch $g:{\vec {x}}={\vec {a}}+k\cdot {\vec {v}}$ mit $k\in \mathbb {R}$, so gibt es genau ein $k$, welches die Gleichung ${\vec {p}}={\vec {a}}+k\cdot {\vec {v}},r\in \mathbb {R}$ erfüllt. Erfüllt kein $k$ diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Aufgabe 3: Punktprobe mit einer Geraden I

Überprüfe, ob der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ liegt.

a) $P(2|3|{-}1),g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}7\\0\\4\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}5\\-3\\5\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

b) $P(2|{-}1|{-}1),g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

Die Punktprobe ist erfüllt, denn:

${\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\0\\4\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}5\\-3\\5\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}2&&\;=\;&&7&&\;+\;&&5r\\3&&\;=\;&&0&&\;-\;&&3r\\-1&&\;=\;&&4&&\;+\;&&5r\end{alignedat}}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}r&&\;=\;&&-1\\r&&\;=\;&&-1\\r&&\;=\;&&-1\end{alignedat}}\right\vert$

Somit liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$.

Die Punktprobe ist nicht erfüllt, denn:

${\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}2&&\;=\;&&1&&\;+\;&&r\\-1&&\;=\;&&0&&\;+\;&&3r\\-1&&\;=\;&&1&&\;+\;&&3r\end{alignedat}}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}r&&\;=\;&&1\\r&&\;=\;&&-{\frac {1}{3}}\\r&&\;=\;&&-{\frac {2}{3}}\end{alignedat}}\right\vert$

Es ergibt sich ein Widerspruch. Somit liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$.

Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden II

Für welche Werte $s,r\in \mathbb {R}$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}9\\-s\\2s\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}$?

a) $P(13|3|0)$

b) $P(5|{-}2|0)$

Berechne zunächst mithilfe der ersten Gleichung einen Wert für $r$. Was könnte man nun machen?

Setze nun den ausgerechneten Wert für $r$ in die beiden anderen Gleichungen ein und berechne $s$.

Die Punktprobe ist erfüllt, denn:

${\begin{pmatrix}13\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\-s\\2s\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}13&&\;=\;&&9&&\;+\;&&2r\\3&&\;=\;&&-s&&\;+\;&&r\\0&&\;=\;&&2s&&\;+\;&&r\end{alignedat}}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}r&&\;=\;&&2\\3&&\;=\;&&-s&&\;+\;&&2\\0&&\;=\;&&2s&&\;+\;&&2\end{alignedat}}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}r&&\;=\;&&2\\s&&\;=\;&&-1\\s&&\;=\;&&-1\end{alignedat}}\right\vert$

Somit liegt der Punkt $P$ für $r=2$ und $s=-1$ auf der Geraden $g$.

Es gibt keine Lösung, denn:

${\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\-s\\2s\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}5&&\;=\;&&9&&\;+\;&&2r\\-2&&\;=\;&&-s&&\;+\;&&r\\0&&\;=\;&&2s&&\;+\;&&r\end{alignedat}}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}r&&\;=\;&&-2\\-2&&\;=\;&&-s&&\;+\;&&-2\\0&&\;=\;&&2s&&\;+\;&&-2\end{alignedat}}\right\vert \Leftrightarrow \left\vert {\begin{alignedat}{7}r&&\;=\;&&2\\s&&\;=\;&&0\\s&&\;=\;&&1\end{alignedat}}\right\vert$

Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb keine Werte für Punkt $s,r$ gibt, sodass der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ liegt.

Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem:

Aufgabe 5: Besondere Geraden im Raum

Kreuze alle(!) richtigen Antworten an!

Spurpunkte einer Geraden

Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du hier noch einmal nachvollziehen.

Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen:

Die $x_{1}x_{2}$-Ebene ist die Ebene, die von der $x_{1}$- und $x_{2}$-Achse aufgespannt wird (im Bild $E_{12}$ genannt). Entsprechendes gilt für die $x_{1}x_{3}$- (im Bild $E_{13}$) und $x_{2}x_{3}$-Ebene (im Bild $E_{23}$).

Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte $A$ und $B$ anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:

Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden

Berechne die Spurpunkte der Geraden $g$.

a) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}7\\0\\7\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

b) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

c) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\-4\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

1. Für den Schnittpunkt $S_{12}$ der Geraden $g$ mit der $x_{1}x_{2}$-Ebene setze die $x_{3}$-Koordinate $=0$ und forme nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7} . Setze nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = -7} in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{12}} zu erhalten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}} .
2. Für den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{13}} der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_3} -Ebene setze die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 0} und forme nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = r} . Setze nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = 0} in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{13}} zu erhalten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}}
3. Für den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{23}} der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2x_3} -Ebene setze die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 0} und forme nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = 7 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -7} . Setze nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = -7} in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{12}} zu erhalten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + (-7) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}} . Hinweis (war nicht in der Aufgabe gefordert): Man erkennt, dass es sich um den selben Schnittpunkt der Gerade mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene handelt, also: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{12} = S_{23}} .

1. Für den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{12}} der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1x_2} -Ebene setze die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} -Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 0} und forme nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -2} . Setze nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = -2} in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{12}} zu erhalten: ${\vec {S_{12}}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}}+(-2)\cdot {\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-8\\0\end{pmatrix}}$.
2. Für den Schnittpunkt $S_{13}$ der Geraden $g$ mit der $x_{1}x_{3}$-Ebene setze die $x_{2}$-Koordinate $=0$ und forme nach $r$ um: $0=-4+r\cdot 2\Leftrightarrow r=2$. Setze nun $r=2$ in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt $S_{13}$ zu erhalten: ${\vec {S_{13}}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}$
3. Für den Schnittpunkt $S_{23}$ der Geraden $g$ mit der $x_{2}x_{3}$-Ebene setze die $x_{1}$-Koordinate $=0$ und forme nach $r$ um: $0=1+r\cdot 0\Leftrightarrow 0=1$. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt $S_{23}$ der Geraden $g$ mit der $x_{2}x_{3}$-Ebene gibt. Somit verläuft $g$ parallel zur $x_{2}x_{3}$-Ebene.

1. Für den Schnittpunkt $S_{12}$ der Geraden $g$ mit der $x_{1}x_{2}$-Ebene setze die $x_{3}$-Koordinate $=0$ und forme nach $r$ um: $0=4+r\cdot (-4)\Leftrightarrow r=1$. Setze nun $r=1$ in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt $S_{12}$ zu erhalten: ${\vec {S_{12}}}={\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}$.
2. Für den Schnittpunkt $S_{13}$ der Geraden $g$ mit der $x_{1}x_{3}$-Ebene setze die $x_{2}$-Koordinate $=0$ und forme nach $r$ um: $0=0+r\cdot 0\Leftrightarrow 0=0$. Man erhält keine Lösung für den Parameter $r$, aber auch keinen Widerspruch. Somit hat die Gerade unendlich viele Spurpunkte mit er $x_{1}x_{2}$-Ebene, da sie innerhalb dieser Ebene verläuft.
3. Für den Schnittpunkt $S_{23}$ der Geraden $g$ mit der $x_{2}x_{3}$-Ebene setze die $x_{3}$-Koordinate $=0$ und forme nach $r$ um: $0=1+r\cdot 2\Leftrightarrow r=-{\frac {1}{2}}$. Setze nun $r=-{\frac {1}{2}}$ in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt $S_{23}$ zu erhalten: ${\vec {S_{23}}}={\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}+(-{\frac {1}{2}})\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}$.

Lagebeziehungen von Geraden

Parallele und identische Geraden

Infobox zur Lagebeziehung zweier Geraden Teil 1

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, sich schneidend und windschief zueinander.

Zwei identische Geraden

Zwei parallele Geraden

Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden parallel zueinander.

Zwei Geraden schneiden sich

Zwei windschiefe Geraden

Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander verlaufen. Unter sich schneidene Geraden verstehen wir Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Windschiefe Geraden hingegen sind Geraden, die sich wie die parallelen Geraden zwar nicht schneiden, ihre Richtungsvektoren sind jedoch nicht kollinear.

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief zueinander sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt, so schneiden sich die Geraden im Punkt. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.

Aufgabe 7: Lage erkennen

Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel.

Aufgabe 8: Lage zweier Geraden

Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel.

Aufgabe 9: Lage erkennen

Betrachte die folgenden Geraden $g$ und $h$. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR.

a) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $h\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

b) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $h\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

c) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $h\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}4\\5\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an.

d) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und $h\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$

e) $g\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} }

Die erste Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} } ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2|2|5)} auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden identisch sind.

Die zweite Antwort lautet parallel. Die beiden Geraden sind parallel. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2|2|2)} von der Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} nicht auf der Geraden von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}} , mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2 &&\; = \;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot1\\ 2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot2\\ 2 &&\; =\;&& 1 &&\; +\;&& r\cdot3 \end{alignat}\right\vert}

Formen wir dies um zu r erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 1 &&\; = \;&& r\cdot1\\ 1 &&\; =\;&& r\cdot2\\ 1 &&\; =\;&& r\cdot3 \end{alignat}\right\vert}

Formen wir weiter zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} um, erhalten wir

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}} und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Die dritte Antwort lautet schneiden. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit schneiden sich die beiden Geraden sich im Aufpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1|2|3)} selbst.

Die vierte Antwort lautet windschief. Die beiden Geraden sind windschief zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 2 &&\; +\;&& t\cdot1\\ 1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\ 1 &&\; +\;&& r\cdot3 &&\; =\;&& 4 &&\; +\;&& t\cdot3 \end{alignat}\right\vert}

Dies formen wir um: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 1 \\ r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\ r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

Wenn die erste Zeile mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} multipliziert wird

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 2 \\ r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\ r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

und dann von der ersten Zeile die zweite Zeile subtrahiert wird,

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} t\cdot2 &&\; =\;&& 2 \\ r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; =\;&& 2 \\ r\cdot3 &&\; -\;&& t\cdot3 &&\; =\;&& 3 \end{alignat}\right\vert}

erhälst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=1} . Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=3} . Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6=3} , eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander.

Die fünfte Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}} ) und der Aufpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2|3|4)} der Geraden h auf der Geraden g liegt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}} .

Aufgabe 11: Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}} und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}} . Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} . Pro Sekunde legt es eine Strecke von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 175{,}49} m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}} .

Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Nutze deinen GTR und hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:

a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?

Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.

Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektoren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} .

b) Wie schnell (in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} ) fliegen die einzelnen Flugzeuge?

Geschwindigkeit kann in verschiedene Einheiten angegeben werden, z.B.: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{m}{s}} etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{m}{s}} zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} umwandeln.

Die Batterien deines GTRs haben den Geist aufgegeben. Es ist immer noch kein Strom vorhanden und der Fluglotse stellt dir die alles entscheidene Frage:

c) Können alle Flugzeuge weiterfliegen, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.

Flugzeug Aer: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_3\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} } Wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du, indem du folgendes berechnest: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} } . Dies musst du in ein Gleichugssystem umformen und dies dann zu $x$,$y$ und $z$ auflösen:

$\left\vert {\begin{alignedat}{7}510&&\;=\;&&10&&\;+\;&&5\cdot x\\410&&\;=\;&&10&&\;+\;&&5\cdot y\\350&&\;=\;&&0&&\;+\;&&5\cdot z\end{alignedat}}\right\vert$

Zunächst bringst du die Zahlen auf die andere Seite: $\left\vert {\begin{alignedat}{7}500&&\;=\;&&5\cdot x\\400&&\;=\;&&5\cdot y\\350&&\;=\;&&5\cdot z\end{alignedat}}\right\vert$

und formst dann zu $x$,$y$, und $z$ um: $\left\vert {\begin{alignedat}{7}100&&\;=\;&&x\\80&&\;=\;&&y\\70&&\;=\;&&z\end{alignedat}}\right\vert$

Und erhälst damit direkt den Richtungsvektor.

Flugzeug Amadeus: $f_{1}\colon {\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}120{,}2\\96{,}4\\84\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$ Wobei $t$ für die Zeit in Sekunden steht.

Dies erhälst du wie folgt: Du kennst den Richtungsvektor: ${\begin{pmatrix}120{,}2\\96{,}4\\84\end{pmatrix}}$. Nun musst du $z$ berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von $175{,}49$ m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von $175{,}49$ besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:

$175{,}49={\sqrt[{}]{120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}}}$

Indem du beide Seiten zum quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt:

$175{,}49^{2}=120{,}2^{2}+96{,}4^{2}+z^{2}$

Du formst zu $z^{2}$ um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet $84$.

Du berechnest die Geschwindigkeit, indem du die Länge des Richtungsvektors berechnest. Dies erfolgt mit der Formel:$L={\sqrt[{}]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Fugzeug Aer:

$L={\sqrt[{}]{100^{2}+80^{2}+70^{2}}}$.

$L=145{,}95$.

Du erhälst also eine Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 145{,}95} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{m}{s}} . Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}6} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} =1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{m}{s}} . Umgerechnet in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} sind das also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 145{,}95 \cdot3{,}6= 525{,}42}

also eine Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 525{,}42} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} .

Flugzeug Amadeus: Das Flugzeug Amadeus legt in einer Sekunde eine Strecke von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 175{,}49} m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 175{,}49} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{m}{s}} . Umgerechnet in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} sind das also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 175{,}49\cdot3{,}6= 631{,}76}

also eine Geschwindigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 631{,}76} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{km}{h}} .

Flugzeug Aer und Amadeus: Sie schneiden sich für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ 84\end{pmatrix}} . Dies erhälst du, wenn du mit dem GTR die beiden Geraden geleichsetzt. Alternativ wollen wir dir hier noch einmal Lösung ohne GTR zeigen. Du erhälst die Lösung, indem dubeide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 10 &&\; +\;&& t\cdot100 &&\; =\;&& 5 &&\; +\;&& s\cdot120{,}2\\ 10 &&\; +\;&& t\cdot80 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot96{,}4\\ 0 &&\; +\;&& t\cdot70 &&\; =\;&& 0 &&\; +\;&& s\cdot84 \end{alignat}\right\vert}

Dann formst du dieses so um, dass alle Zahlen auf einer Seite sind:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 5 &&\; =\;&& s\cdot120{,}2 &&\; -\;&& t\cdot100 \\ 10 &&\; =\;&& s\cdot96{,}4 &&\; -\;&& t\cdot80\\ 0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70 \end{alignat}\right\vert}

und du multiplizierst die erste Zeile mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4} , die zweite Zeile mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 20 &&\; = \;&& s\cdot480{,}8 &&\; -\;&& t\cdot400 \\ 50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\ 0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70 \end{alignat}\right\vert}

Nun subtrahiere die zweite Zeile von der ersten Zeile:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} {-}30 &&\; = \;&& s\cdot{-}1{,}2 \\ 50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\ 0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70 \end{alignat}\right\vert}

also folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 25 &&\; = \;&& s \\ 50 &&\; =\;&& s\cdot482 &&\; -\;&& t\cdot400\\ 0 &&\; =\;&& s\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70 \end{alignat}\right\vert}

Du erhälst also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=25 } . Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt und umformst, erhälst du: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 25 &&\; = \;&& s \\ 30 &&\; =\;&& t \\ 0 &&\; =\;&& 25\cdot84 &&\; -\;&& t\cdot70 \end{alignat}\right\vert}

Setzen wir nun in die letzte Zeile Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=30} ein, so erhalten wir dort Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=0} und wissen damit, dass sich die Geraden schneiden.

Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.