Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. März 2023, 13:05 Uhr

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Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag

Geometrie

Einstiegstest: Geometrie

Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend

Winkel Nr. 1
Flächen Nr. 2-4
Pythoagoras Nr. 5
Trigonometrie Nr. 6
Körper Nr. 7-12

Winkel

1. Winkel zeichnen und messen

2. Winkel im Schnittpunkt von Geraden:

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 126, P1

Dreiecke

Ist das Dreieck rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie!
Das Video gibt dir einen Überblick über Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken, danach kannst du die einzelnen Themen noch einmal intensiv wiederholen.

Satz den Pythagoras (in rechtwinkligen Dreiecken)

Hefteintrag: Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel γ (γ=90°) heißt der Satz des Pythagoras
a² + b² = c².

Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Beispiel 1: Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Katheten: a = 4cm; b = 6cm
ges: Hypotenuse c

c² = a² + b²   |Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \surd}
c = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\text{a² + b²}}}   |Werte einsetzen
c = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\text{4² + 6²}}}   |berechnen
(c = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{52}}   diesen Schritt musst du nicht notieren)
c Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \approx} 7,2 [cm]

Beispiel 2: Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm

ges: Kathete b

a² + b² = c²   |-a²
b² = c² - a²   |Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \surd}
b = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\text{c² - a²}}}   |Werte einsetzen
b = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\text{17,5² - 14²}}}   |berechnen
(b = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{110,25}}   diesen Schritt musst du nicht notieren)

b = 10,5 [cm]

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 126, P4
S. 127, P5-P6
S. 130, P24
S. 160, Nr. 1-5

Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)

Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma$ =90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 131, P29

Ebene Figuren

Orientiere dich in der Formelsammlung!

Ist das Dreieck rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie!

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 121, P41 und P42
S. 127, P7 - P9
S. 128, P10
S. 131, P27

Strahlensätze

Die Strahlensätze

Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei parallelen Geraden geschnitten, entstehen zwei zueinander ähnliche Dreiecke SAB und SA'B'. Die Seitenlängen einander entsprechender Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander.

Längen mit den Strahlensätzen zu berechnen, gehen wir schrittweise vor.

Körperberechnungen

Orientiere dich in der Formelsammlung!

Lösungsansätze zu Körperberechnungen

Um die Formeln zur Berechnung von Längen, Flächen und Volumina von Körpern anzuwenden, sind oft auch der Satz des Pythagoras, trigonometrische Berechnungen und die Strahlensätze nötig, um fehlende Größen zu berechnen.
Um fehlende Größen zu berechnen, ist es oft nötig, eine Formel nach der entsprechenden Größe umzustellen.

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 128, P11 - P17
S. 129, P19 - P21
S. 130, P25
S. 131, P28 und P30

Prisma

Oberfläche: O = 2·G + M
Volumen: V = G·h_K

Um die Grundfläche G eines Prismas zu berechnen, nutze die Flächeninhaltsformeln (s. oben)

Applet von Hegius

Zylinder

Oberfläche: O = 2·G + M
Volumen: V = G·h_K

Um die Grundfläche G eines Zyinders zu berechnen, nutze die Flächeninhaltsformel des Kreises.

Applet von Jakob PechmannOriginallink: https://www.geogebra.org/m/y3gcvcfu

Oberfläche eines Zylinders

Die Oberfläche eines Zylinders wird mit folgender Formel berechnet:
O = 2·G + M
= 2·π·r² + u·h_K
= 2πr² + 2πr·h_K

Volumen eines Zylinders

Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet

V = G · h_K

= π·r²·h_K

Entscheide, ob die Mantelfläche, die Oberfläche oder das Volumen des Zylinders gesucht ist.

(Quadratische) Pyramide

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit der Grundfläche G und der Mantelfläche M wird berechnet mit

O = G + M
=a² + 4·Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} ·a·h_S
= a² + 2·a·h_S
Das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h_K wird berechnet mit
V = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{3}} ∙ G ∙h_K
Für eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a gilt

V = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{3}} ∙ a² ∙h_K

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Ergänze auf dem AB die Maße der Teildreiecke und formuliere jeweils den Satz des Pythagoras.

Applet von Buß-Haskert

Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{a}{2}} und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h_S.

(Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{a}{2}} )² + h_K² =h_S².

Hilfsdreieck 2: halbe Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{a}{2}} und die Höhe der Seitenfläche h_S. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{a}{2}} )² + h_S² =s².

Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{d}{2}} und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{d}{2}} )² + h_K² =s².

Oberfläche eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.
O = G + M

= 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s

Wende zur Berechnungen der Längen r, h_K oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h_K und der Hypotenuse s an.

Beispiel:

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h_K wird berechnet mit
V = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{3}} ∙ G ∙h_K

= Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{3}} ∙𝞹∙r²∙h_K

Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit

V = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{4}{3}} ·𝞹 · r³

Oberfläche einer Kugel

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:

O = 4𝞹r²

@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
 - Würfel mit a = 5 cm
 - Quader mit a = 4cm, b = 5 cm und c = 6 cm
-+ Zylinder mit r = 2,5 und h = 6cm
+- Zylinder mit r = 2,5 und h = 6cm
-- Kugel mit r = 3 cm
++ Kugel mit r = 3 cm
 {Der Radius einer Kugel wird verdoppelt. Dann ist das Volumen...}

	γ = 75°
	γ = 95°
	γ = 105°
	γ = 85°

	a = 3 cm
	A = 10cm²
	a = 2 cm
	A = 6 cm²

	u = 6π cm
	u = 3π cm
	A = 9π cm²
	A = 6π cm²

	O = 25cm²
	O = 150 cm²
	V = 125 cm³
	V = 75 cm³

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Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)

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ZUM

Hilfen

	Die Leiter reicht 4,50 m hoch.
	Die Leiter reicht 4,0 m hoch.
	Die Leiter reicht 3,50 m hoch.

	Zylinder mit d = 5cm und h = 5cm
	quadratische Pyramide mit a = 5cm und h_K = 5cm
	Kegel mit r = 5cm und h = 5cm
	Kugel mit d = 5cm

	Würfel mit a = 5 cm
	Quader mit a = 4cm, b = 5 cm und c = 6 cm
	Zylinder mit r = 2,5 und h = 6cm
	Kugel mit r = 3 cm

	a = 38,5 cm
	a = 13 cm

	α = 12°
	α = 6°
	α = 6,8°

	V = 150 cm³
	V = 30cm³
	V = 50cm³

	doppelt so groß.
	viermal so groß.
	achtmal so groß.

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