Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen
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Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>. | Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>. | ||
Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>. | Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. | ||
Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt. | Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt. | ||
Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>. | Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>. | ||
Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte. | Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte. | ||
<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>. | <math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>. | ||
Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>. | Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>. | ||
Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math> | Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math> | ||
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Version vom 19. Mai 2020, 13:19 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.
Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } um und erhalte: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}}
Setze nun deine Formel für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b} Für diese Funktion kann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} nur zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200} liegen, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<b<200}
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b }
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A''(b) = - \pi}
Mit der notwendigen Bedingung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(b)=0} erhälst du dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=\frac{200}{pi} = 63,66 } . Mit der hinreichenden Bedingung folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A''(b)=-\pi \neq 0 } , somit erfüllt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b } alle Bedingungen.
Berechne nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } und den Flächeninhalt:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 } und
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m }
a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 63,66m} und eine Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100m} maximal.
b) Der Flächeninhalt wird auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6366 m } maximiert.
Globales Extremum und Randextremum
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen
