Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins

Info

In diesem Kapitel geht es um den Zinseszins. Der Zinseszins tritt auf, wenn du dein Geld mehrere Jahre auf deinem Konto lässt und jedes Jahr aufs neue Zinsen bekommst und diese Zinsen auch auf deinem Konto lässt. Dann erhältst du nämlich auf das Geld, dass du durch die Zinsen bekommst wieder neue Zinsen - den Zinseszins.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende

Kompetenzen wiederholen und vertiefen.

• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Beispiel

Hervorhebung1

Jahr	Startkapital	Endkapital	Zinsen
$1$	$100,00$€	$105,00$€	$5,00$€
$2$	$105,00$€	$110,25$€	$5,25$€
$3$	$110,25$€	$115,76$€	$5,51$€
$4$	$115,76$€	$121,55$€	$5,79$€
$5$	$121,55$€	$127,63$€	$6,08$€
$6$	$127,63$€	$134,01$€	$6,39$€
$7$	$134,01$€	$140,71$€	$6,70$€
$8$	$140,71$€	$147,75$€	$7,04$€

Aufgabe 1: Hier ist ein Diagramm von der Entwicklung von Claras Kontostand aus dem Beispiel für $50$ Jahre dargestellt. Wobei ein Graph die Entwicklung ohne Zinsen darstellt. Ein Graph die Entwicklung nur mit einfachen Zinsen , ohne Zinseszins darstellt. Ein Graph stellt die Entwicklung mit Zinseszins dar.

a) Ordne die Graphen den verschiedenen Entwicklungen zu.

b) Was fällt dir bei der Betrachtung der verschiedenen Verläufe der Graphen auf?

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Es gibt keine eindeutige Lösung, hier ist eine mögliche Argumentation, aber du hast möglicherweise eine andere gute Argumentation gefunden: Wenn Maja das so macht dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre $900$ € Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei $6\%$ dann $54$ € jedes Jahr bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja dann $1116$€. Das würde nicht für den Führerschein reichen.

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Aufgabe 1: Rechnen mit und ohne Zinseszins

Maja hat inzwischen $900\mathrm {\euro}$ gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank 6% Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr $1125$ €.  

a) Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen?

Du kannst die Zinsen des ersten Jahres ausrechnen und dann das Geld, dass Maja jetzt hat als neues Startkapital nehmen und so die Zinsen für das zweite Jahr ausrechnen. Dann kannst du das Widerholen bis du in dem Jahr angekommen bist, wo du hin möchtest.

Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie $954$€, nach zwei Jahren $1011,24$€, nach drei Jahren$1071,94$€ und nach vier Jahren dann $1136,23$ €.

b) Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt $6$% nur $4$% Zinsen bekommen würde?

Maja hätte nach einem Jahr $936$€, nach zwei Jahren $973{,}44$€, nach drei Jahren$1012{,}38$€ und nach vier Jahren dann $1052{,}87$ € auf ihrem Konto.

c) Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei $4$% Zinsen bezahlen könnte?

Maja hätte mit $17$ Jahren erst $1052{,}87$ € auf ihrem Konto. Mit$18$ Jahren hätte sie dann $194{,}99$€ und mit $19$ Jahren dann $1138{,}79$ € auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr $1125$ €, somit müsste Maja $6$ Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.

d) Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose wirft. Was würdest du ihr raten?

Erweiterung der Zinsformel

Die Zinsformel kann natürlich auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: $K=100$ € werden mit einem Zinssatz $Z=5$ % vier Jahre lang gespart. $K_{1}$ bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, $K_{2}$ nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist $K_{n}$ das Kapital nach $n$ Jahren.

Für das Erste Jahr gilt $K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K_{1}$. $=100$€$\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=105$€.

Für das zweite Jahr gilt dann $K_{1}\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K_{2}$. $=105$€$\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=105$€.

Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden:

Jetz setzen wir für $K_{1}$. die Formel für das erste Jahr ein: $K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K_{1}$.

$K_{1}\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K_{2}$.

Für das dritte Jahr ergibt sich dann

$=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K_{3}$.

Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit $\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})$ multiplizieren.

Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: $=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})^{2}=K_{2}$.

oder für das dritte Jahr

$=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})^{3}=K_{3}$.

Für das $n$-te Jahr gilt dann

$=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})\cdot$ ...$n$- mal ...$\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})=K\cdot (1+1\cdot {\frac {z}{100}})^{n}=K_{n}$.

Aufgabe 2: Formel für den Zinseszins Anwenden

Murat gewinnt ein Mathematikwettbewerb. Das Preisgeld beträgt $600$ €. Das Geld möchte er sparen, er bekommt von seiner Bank vier Prozent Zinsen im Jahr. Er hat schon begonnen eine Tabelle anzulegen. Hilf ihm die Tabelle mit hilfe der Formel für den Zinseszins zu vervollständigen.

Jahr	Startkapital	Endkapital	Zinsen
$1$	$600{,}00$€	$624{,}00$€	$24{,}00$€
$2$	${\displaystyle }$€	${\displaystyle }$€	$24{,}97$€
$3$	${\displaystyle }$€	$674{,}92$€	${\displaystyle }$€
$4$	$674{,}92$€	${\displaystyle }$€	${\displaystyle }$€
$5$	${\displaystyle }$€	${\displaystyle }$€	${\displaystyle }$€
$6$	$729{,}99$€	${\displaystyle }$€	$29{,}20$€
$7$	${\displaystyle }$€	${\displaystyle }$€	${\displaystyle }$€
${\displaystyle }$	$888,15$€	$923{,}67$€	$35{,}52$€

Murats Sparplan

Jahr	Startkapital	Endkapital	Zinsen
$1$	$600{,}00$€	$624{,}00$€	$24{,}00$€
$2$	$624{,}00$€	$648{,}97$€	$24{,}97$€
$3$	$648{,}97$€	$674{,}92$€	$25{,}95$€
$4$	$674{,}92$€	$701{,}92$€	$27{,}00$€
$5$	$701{,}92$€	$729{,}99$€	$28{,}07$€
$6$	$729{,}99$€	$759{,}19$€	$29{,}20$€
$7$	$759{,}19$€	$789{,}56$€	$30{,}37$€
$11$	$888,15$€	$923{,}67$€	$35{,}52$€

Jahr	Startkapital	Endkapital	Zinsen
$1$	$600{,}00$€	$624{,}00$€	$24{,}00$€
$2$	$624{,}00$€	$648{,}97$€	$24{,}97$€
$3$	$648{,}97$€	$674{,}92$€	$25{,}95$€
$4$	$674{,}92$€	$701{,}92$€	$27{,}00$€
$5$	$701{,}92$€	$729{,}99$€	$28{,}07$€
$6$	$729{,}99$€	$759{,}19$€	$29{,}20$€
$7$	$759{,}19$€	$789{,}56$€	$30{,}37$€
$11$	$888,15$€	$923{,}67$€	$35{,}52$€

Aufgabe 3: Coronabonus

Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von $1000\mathrm {\euro}$ erhalten. Seine Frau Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert, darum  möchte er von dem Corona-Bonus $800\mathrm {\euro}$ sparen. 

a) Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank?

mögliche Rechnung: $800\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})^{4}=935{,}89$

Detlef erhällt vier Prozent Zinsen pro Jahr.

b) Detlef erhällt durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr $1170\mathrm {\euro}$ hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung?

Mögliche Rechnung: $(800+x)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})^{4}=1170$ umstellen nach $x$: $(800+x)=1170:(1+1\cdot {\frac {4}{100}})^{4}$ $x=1170:(1+1\cdot {\frac {4}{100}})^{4}-800=200{,}121$

Der zweite Bonus beträgt ungefähr $200$€.

c) Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot:" Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten Auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot bei den Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten anbieten. Alternativ können sie das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren $22$ Prozent Zinsen erhalten." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot oder das langsparer Angebot der Grünbank?

Es gibt nicht die eine richtige Lösung. Hier sind einige mögliche Argumente, aber du hast vielleicht auch andere gute Argumente gefunden:

Bei zwei Prozent Zinsen alle halbe Jahr ist Detlef am flexibelsten, da er nicht ein ganzes bzw. fünf Jahre warten muss um die Zinsen zu bekommen.

Bei zwei Prozenz Zinsen alle halbe Jahr bekommt er mehr Geld als bei vier Prozent Zinsen jährlich, weil er dann jedes Jahr zwei mal zwei Prozent (also vier Prozent) und am Ende des Jahres schon die die Zinseszinsen des ersten Halbjahres bekommt.

Rechnerischer Vergleich nach fünf Jahren: Sparbank:$1000\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})^{5}=1216{,}65$ GrünBank kurzsparer:$1000\cdot (1+1\cdot {\frac {2}{100}})^{1}0=1218{,}99$

GrünBank langsparer:$1000\cdot (1+1\cdot {\frac {22}{100}})=1220$

d) Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert bekommt er nur sechs Euro zusäzlich im Monat. Diese sechs Euro spart er jedoch auch zusätzlich. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart?

Mögliche Rechnung: nach einem Jahr: $(1000+6\cdot 12)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})=1114{,}88$ nach zwei Jahren: $(1114{,}88+6\cdot 12)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})=1234{,}36$ nach drei Jahren: $(1234{,}36+6\cdot 12)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})=1358{,}61$

Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <1358{,}61> € auf seinem Konto

e) Ab welchem Jahr übersteigen die Zinsen das zusätzliche Geld durch die Lohnerhöhung von $10$ Monaten?

Detlefs Lohnerhöhung beträgt in $10$ Monaten $60$€. Gesucht ist also das Jahr, ab dem die jährlichen Zinsen höher sind als $60$€. Mögliche Rechnung: Berechnung des Geldes nach drei Jahren: $(1234{,}36+6\cdot 10)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})=1358{,}61$. Der Zuwachs des Geldes im dritten Jahr beträgt $(1234{,}36$€$-1358{,}61$€$=124{,}25$€. Davon sind $72$€ die Lohnerhöhung und somit bekommt er im dritten Jahr ungefähr $52$€ Zinsen. Zinsen des vierten Jahres: $(1358{,}61$€$+6$€$\cdot 10)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})-1358{,}61$€$-72$€$=57{,}22$€. Zinsen des fünften Jahres: $(1487{,}83$€$+6$€$\cdot 10)\cdot (1+1\cdot {\frac {4}{100}})-1487{,}83$€$-72$€$=62{,}39$€.

Detlef bekommt im vierten Jahr ungefähr $57{,}22$€ Zinsen und im fünften Jahr ungefähr $62{,}39$€ Zinsen. Damit ist das fünfte Jahr das erste Jahr, indem er mehr Zinsen bekommt als durch den zusätzlichen Lohn von $10$ Monaten.