Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen? | {{Box|1= Aufgabe 3: |2=Flugerlaubnis erteilen? | ||
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach | Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>. | ||
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: | Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: | ||
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Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren: | Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren: | ||
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. | <math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}} | {{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}} | ||
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Flugzeug Aer: | Flugzeug Aer: | ||
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} | <math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen: | Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen: | ||
<math> \begin{pmatrix} | <math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um: | ||
<math> | <math> | ||
510=10+5*x </math> | |||
<math> | <math> | ||
410=10+5*y </math> | |||
<math> | <math> | ||
350= 0+5*z </math> | |||
Flugzeug Amadeus: | Flugzeug Amadeus: | ||
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} | <math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
Dies erhalten wir wie folgt: | Dies erhalten wir wie folgt: | ||
Wir kennen den Richtungsvektor: | Wir kennen den Richtungsvektor: | ||
<math> \begin{pmatrix} | <math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen: | ||
<math> | <math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math> | ||
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<math> | <math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math> | ||
Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten | Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84. | ||
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht. | Wobei t für die Zeit in Sekunden steht. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt | Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. | ||
<math> | |||
Fugzeug Aer: | |||
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>. | |||
<math> L=145,95}</math>. | |||
Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s. | |||
Umgerechnet in km/h sind das also: | |||
<math>145,95*3,6= 525,42</math> | |||
525,42km/h. | |||
Flugzeug Amadeus: | Flugzeug Amadeus: | ||
Das Flugzeug | Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also: | ||
<math>175,49*3,6= 631,76</math> | |||
631,76km/h. | |||
|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}} | |2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}} | ||
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Flugzeug Aer und Amadeus: | Flugzeug Aer und Amadeus: | ||
Sie schneiden sich für | Sie schneiden sich für | ||
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + | <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen: | ||
<math> | |||
10+t*100=5+s*120,2 </math> | |||
<math> | |||
10+t*80=10+s*96,4 </math> | |||
<math> | |||
0+t*70=0+s*84 </math> | |||
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision. | Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision. | ||
Version vom 20. April 2021, 15:27 Uhr
Einführung
Parameterdarstellung einer Geraden
Lagebeziehungen von Geraden
