Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

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In diesem Lernpfadkapitel kannst du wiederholen, wie du Abstände von Objekten im Raum bestimmst. Du übst den Abstand von einer Ebene zu einem Punkt, von einer Geraden zu einem Punkt und von zwei windschiefen Geraden zu bestimmen. Am Ende findest du noch einige gemischte Aufgaben. Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Motivation?

• ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Das Lotfußpunktverfahren

Aufgabe 1: Überblick: Abstand Punkt Ebene

Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.

Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt:

1. Die Gleichung für die zu $E$ orthogonale Gerade $g$ (also die Lotgerade) durch $P$ aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor ${\vec {p}}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor ${\vec {n}}$ von $E$ nutzen: $g:{\vec {x}}={\vec {p}}+{\vec {t}}\cdot {\vec {n}}$.
2. Den Schnittpunkt $L$ von der Lotgeraden $g$ und der Ebene $E$ bestimmen. $L$ ist der Lotfußpunkt.
3. Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $L$ bestimmen, indem man den Betrag des Vektors ${\vec {PL}}$ berechnet.

Aufgabe 2: Abstände von Punkt-Ebene zuordnen

Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen $E,F,G$ zum Punkt $P(3|4|-2)$. Ordne dann den Ebenen dem jeweiligen Abstand $d$ zu.

Ziehe dazu den passenden Abstand auf die jeweilige Ebene. Möchtest du eine Karte vergrößern, klicke auf die drauf. Klicke am Ende auf den Haken unten rechts, um dich selbst zu überprüfen.

Viel Spaß!

Du kannst auch immer die Hesse´sche Normalenform zur Berechnung benutzten. Im Folgenden wurden die Abstände mit dem Lotfußpunktverfahren berechnet.

Abstand von $E:2x_{1}+6x_{2}-4x_{3}=-32$ und $P(3|4|-2)$:

Die Gleichung für die zu $E:2x_{1}+6x_{2}-4x_{3}=1$ orthogonale Gerade $g$ (also die Lotgerade) durch $P(3|4|-2)$ aufstellen:

$l:{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {n}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\6\\-4\end{pmatrix}}$.

Den Lotfußpunkt $A$ bestimmen:

$E:2(3+2t)+6(4+6t)-4(-2-4t)=32\Rightarrow t=-1,25$

$t$ in $l$ einsetzten:

$l:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}-1,25\cdot {\begin{pmatrix}2\\6\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5\\-3,5\\3\end{pmatrix}}$

Der Lotfußpunkt $A$ ist $A(0,5|-3,5|3)$.

Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $A$ bestimmen:

$d(P,A)=|{\vec {P,A}}|={\sqrt {(}}(0,5-3)^{2}+(-3,5-4)^{2}+(3-(-2))^{2})\approx 9,354$

$\Rightarrow d\approx 9,354$

Abstand von $F:{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}\cdot ({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}}))=0$ und $P(3|4|-2)$:

$F$ in Koordinatenform umschreiben:

$F:{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}\cdot ({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}})=0\Leftrightarrow F:x_{1}+x_{2}+2x_{3}=10$

Wenn du hierbei noch Probleme hast, dann schau dir doch nochmal Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum an.

Zu $F$ senkrechte Gerade $m$ durch $P$ aufstellen: $m:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}$

Koordinaten der Geradengleichung $m$ in $F$ einsetzten:

$F:(3+s)+(4+s)+2(-2+2s)=10\Leftrightarrow s={\frac {7}{6}}$

$m:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}+{\frac {7}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {25}{6}}\\{\frac {31}{6}}\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$

Der Lotfußpunkt $B$ ist $B({\frac {25}{6}}|{\frac {31}{6}}|{\frac {1}{3}})$.

Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $B$ bestimmen:

$d(P,B)=|{\vec {P,B}}|={\sqrt {(}}({\frac {25}{6}}-3)^{2}+({\frac {31}{6}}-4)^{2}+({\frac {1}{3}}-(-2))^{2})\approx 2,858$

$\Rightarrow d\approx 2,858$

Abstand von der $x_{1}x_{2}-Ebene$ zum Punkt $P(3|4|-2)$:

Sollst du den Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene bestimmen, so kannst du diesen einfach ablesen und musst ihn nicht berechnen. Der Abstand hier beträgt $2$, da $|-2|$ die $x_{3}$ Koordinate von $P$ ist und damit den Abstand zur $x_{1}x_{2}-Ebene$ anzeigt.

Beachte: ein Abstand ist immer positiv und da $|-2|=2$ ist der Abstand $2$.

$\Rightarrow d=2$

Aufgabe 3: Glaspyramide

a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung $E:2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=7$ beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt $S(4,5|9|3,5)$. Eine Längeneinheit $LE$ im Koordinatensystem entpricht $4m$.

Welche Höhe hat die Pyramide in $m$?

Text zum Verstecken

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze $S$ und der Ebene $E$ bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden $g$ zu $E$ durch $P$ aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von $S$ als Stützvektor und den Normalenvektor von $E$ als Richtungsvektor, also: $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}4,5\\9\\3,5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$.

Wir bestimmen den Schnittpunkt von $g$ mit $E$. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von $g$ in $E$ ergibt $(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7$, also $t=-2$. Durch Einsetzen in die Geradengleichung ${\begin{pmatrix}4,5\\9\\3,5\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5\\7\\-0,5\end{pmatrix}}$ erhalten wir den Lotfußpunkt $L(0,5|7|-0,5)$. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen S und L beträgt $6LE$ wegen $|{\vec {SL}}|={\sqrt {(}}(4,5-0,5)^{2}+(9-7)^{2}+(3,5-(-0,5))^{2})=6$. Die Pyramide hat also eine Höhe von $24m$.

Die Pyramide hat eine Höhe von $24m$.

Spitze der invertierten Glaspyramide

b) An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils $10m$. Die Grundfläche hat $12m$ lange Diagonalen, die sich im Punkt $(38|1|-35)$ schneiden. In welchem Punkt $S_{2}$ liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?

Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von $E$ zur Spitze gelangen.

Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen:

Es ist ${\sqrt {10^{2}-6^{2}}}={\sqrt {(}}64)=8$, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide $8m$, was $2LE$ im Koordinatensystem entspricht.

Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2LE} zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M (38 | 1 | -35)} der Grundfläche aus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2LE} entlang der Geraden, die orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2LE} in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3, also ist vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} } .

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} die Spitze liegt:

Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}} , also erhält man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})}

Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})} .

Die Hesse´sche Normalenform

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.

Merke: Die Hesse´sche Normalenform

Den Abstand von einem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zu einer Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} durch die Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3=d } bzw. durch die Normalenform Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}\cdot\vec{OX}} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} } und ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3)} .

Stelle nun die HNF der Ebene auf:

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} } ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} }

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-d|}{|\vec{n}|}} .

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3)} in die HNF ein und berechne den Abstand:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}}

Aufgabe 4:

Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(3|4|-1)} und ein Falke schwebt auf der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(1|7|4)} . Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 8x_1-4x_2-x_3=5} .

Der Normalenvektor der Ebene ist: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} }

Länge des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 }

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8\cdot x_1-4\cdot x_2-1\cdot x_3-5|}{9}} .

Nun werden die Koordinaten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8\cdot3-4\cdot4-1\cdot(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}}

Die Koordinaten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} können in die selbe HNF eingesetzt werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8\cdot(-1)-4\cdot7-1\cdot4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5} .

Damit hat die Drohne einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} zum Schuldach und der Falke einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} . Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.

Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} und der Abstand des Falken zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} . Damit ist der Abstand der Drohne geriner.

Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1-3x_2+6x_3=13} . Bestimme zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} zwei parallele Ebenen, die von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} haben.

Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} sind

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Ansatz: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G:2x_1-3x_2+6x_3=h }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3) } sei ein Punkt der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} .

Es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2-3^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(P;E)=5 } nach Aufgabenstellung. Daher gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h-13}{7}=5 } oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{h-13}{7}=-5 } .

Stelle nun beide Gleichungen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} um. Es folgt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_1=48} und $h_{2}=-22$.

Dies wird nun in die Ebenengleichung von $G$ eingesetzt:

$G_{1}:2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=48$ $G_{2}:2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=-22$

$G_{1}$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2} haben nun beide den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22}

haben beide den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 5 Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und der Geraden durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} ? Wie nennt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

Dies ist der Link zur GeoGebra App, falls die Anzeige bei dir nicht funktioniert:https://www.geogebra.org/material/show/id/cFTUcwnd#

Der Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(P,Q)=d(P,g)} ist am kleinsten, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle vec{PQ}} orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} den Lotfußpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} .

Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zu einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist der Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} , wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} der Lotfußpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist.

Für die Bestimmung des Abstandes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,g)=d(P,G)} gibt es zwei verschiedene Verfahren:

1. Verfahren (Hilfsebene): Stelle eine Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} (in Koordinatenform) auf, die den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} enthält und orthogonal zu zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist. Dafür kannst du als Stützvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{p} } und als Normalenvektor den Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} nehmen. Bestimme den Schnittpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} durch Einsetzen. Zuletzt berechne den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,g)=d(P,L)} .

2. Verfahren (Orthogonalität): Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zu einem beliebigen Geradenpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} in Abhängigkeit vom Geradenparameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} . Wähle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist.

Berechne nun den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,g)=d(P,L)} .

Aufgabe 7: Die richtige Reihenfolge

Im Folgenden wurde der Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(3|9|-2)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}} bestimmt. Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.

Aufgabe 6: Lichterkette

Für ein Stadtfest soll von der Spitze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-2|3|10) } eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} } eine Lichterkette gespannt werden.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

Die Lichterkette muss mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5,48 Meter} lang sein.

1. Stelle die Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} in Koordinatenform auf:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4x_1+3x_2+2x_3=37, da \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=37 }

1. Schnittpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4\cdot(1-4r)+3\cdot(2+3r)+2\cdot(3+2r)=37 \Leftrightarrow -4+16r+6+9r+6+4r=37 \Leftrightarrow 8+29r=37 \Leftrightarrow 29r=29 \Leftrightarrow r=1 }

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} einsetzten, um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} zu bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow L(-3|5|5) }

1. Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,L)=d(P,L) } bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,L)=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5+10)^2}=\sqrt{30}\approx 5,477}

Die Lichterkette muss mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5,48 Meter} lang sein.

Aufgabe 7: Dreieck

Es sind die Punkte $B(2|8|1)$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(0,5|3,5|7) } gegeben, durch sie verläuft die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } . Die Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{BC} } bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} liegt auf der zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} } . a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} ändert sich, je nachdem wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} verschieben.

Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h} berechnen, wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(A,g)} immer gleich, da sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf einer zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h} nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} .

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Wir bestimmen zunächst die Länge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} der Grundseite: Es Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(B,C)=\sqrt((2-0,5)^2+(8-3,5)^2+(1-7)^2)=\sqrt(58,5)} .

Nun bestimmen wir die Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , also den Abstand der parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} mithilfe des Verbindungsvektors von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} .(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_s=(1+t|1+3t|2-4t)} ist ein allgemeiner Punkt auf $j$. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen $B$ und $j$ ist also gegeben durch ${\vec {BL_{s}}}={\begin{pmatrix}(1+t)-2\\(1+3t)-8\\(2-4t)-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+t\\-7+3t\\1-4t\end{pmatrix}}$. Damit ${\vec {BL_{s}}}$ orthogonal zum Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} ist, muss gelten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}=0 } bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3 + (1-4t) \cdot (-4)} , also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=1} . Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=(2|4|-2)} ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=Abst(B,j)=Abst(B,L)=\sqrt((2-2)^2+(4-8)^2+(-2-1)^2)=\sqrt(25)=5} .

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt(58,5) \cdot 5\approx 19,12} Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 19,12} Flächeneinheiten.

Abstand zweier windschiefer Geraden

• Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
• Janne: Merksatz

Verschiebe die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} so, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}} die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist.

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Merke: Der Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und den Punkten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} . Diese kürzeste Verbindungsstrecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}} zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} als auch orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} .

Für die Bestimmung des Abstandes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g,h)} berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst: Seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g: \vec{x}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h: \vec{x}=\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}} die windschiefen Geraden. 1. Verfahren (Gemeinsames Lot): Bestimme die Geradenpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_s(p_1+s\cdot u_1|p_2+s\cdot u_2|p_3+s\cdot u_3} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_t(q_1+t\cdot v_1|q_2+t\cdot v_2|q_3+t\cdot v_3} . Stelle den Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf Bestimme nun die Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} so, dass der Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}} orthogonal zu den Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\cdot \vec{u} =0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\cdot \vec{v} =0} .

Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} und kannst den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g,h)=d(G,H)} bestimmen.

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