Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne GTR-Einsatz, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1 - Gleichungssysteme zuordnen

Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

FortfahrenAusblenden

Beispiel: 2 Unbekannte und 2 Gleichungen

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &x&+&y&=&6\\{\text{II}}\quad &4x&-&y&=&4\\\end{array}}$

$L=\{2;4\}$

Beispiel: 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & - & 2z & = & 7\\ \text{II}\quad & 3x & - & y & + & z & = & 2\\ \text{III}\quad & 2x & + & 3y & + & 5z & = & 8 \end{array}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{2; 3; -1\} }

Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & - & y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & -y & - & 2z & = & 0\\ \text{III}\quad & -3z & = & 3 \end{array}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{2; 1; 0{,}5\} }

Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2z & = & 1 & + & y \\ \text{II}\quad & 5x & - & 3y & + & 3z & = & 4\\ \text{III}\quad & 3x & - & 2y & = & 8 & - & z \end{array}}

Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} }

Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &6x&+&2y&-&z&=&48\\{\text{II}}\quad &-3x&+&5y&+&3z&=&49\\{\text{III}}\quad &-2x&+&y&+&3z&=&24\end{array}}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{7; 8; 10\} }

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

TODO:

• Fälle eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen
  • Erklärungen und
  • Beispiele und
  • Übungsaufgaben
    • z.B. Fall unendlich viele Lösungen oder/ und keine Lösung direkt am LGS erkennen
• Erklärung und Beispiel zum Vorgehen, eine Variable frei zu wählen (unendlich viele Lösungen)

Aufgabe x: Wiederholung

Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

a) Bewege die Schieberegler Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c } sowie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d, h, k} . Was kannst du beobachten?

b) Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

c) Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem.

d) Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

Ein lineares Gleichungssystem kann

• eine Lösung
• keine Lösung oder
• unendlich viele Lösungen

haben.

Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Aufgabe 8 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben wurde erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem.

b) Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.

Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit der Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } . Dies erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $4$ erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 1 } zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1 - x }

Die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1 - t } bestimmen. Wird zum Beispiel $t=1$ gewählt, so folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1-1 = 0 } .

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

c) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

$\left\vert {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&z&&\;=\;&&1\\x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&z&&\;=\;&&2\end{alignedat}}\right\vert$

d) Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.

Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich, was nicht?

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} } . Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 = 2 } . Dies ist ein Widerspruch.

Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&6\\2x&&\;-\;&&y&&\;=\;&&1\\0&&\;+\;&&7y&&\;=\;&&-1\end{alignedat}}\right\vert$

Aus der dritten Gleichung folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7} \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

${\begin{aligned}&&{\frac {3}{7}}+(-{\frac {1}{7}})&=6\\\Leftrightarrow &&{\frac {2}{7}}&=6\quad \Rightarrow {\text{Widerspruch}}\end{aligned}}$

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Aus der zweiten Gleichung folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \frac{4}{(-4)} = -1 }

Einsetzen von $y$ in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0 \end{align}}

Die Gleichung kann nun entweder nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } oder nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } umgestellt werden. Umstellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2z &= -2x+2 \\ \Leftrightarrow & & z &= 1-x \end{align}}

Für $x$ wird jetzt ein Parameter eingesetzt: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } . Somit ergibt sich die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } .

Aufgabe 5 - weiterführende Aufgabe zu den Beispielen

Das Gleichungssystem aus dem Beispiel Unterbestimmtes Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Bestimme eine mögliche konkrete Lösung für dieses Gleichungssystem.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } ist eine beliebige, also eine frei wählbare reelle Zahl.

Wähle zum Beispiel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 3 } . Dann folgt für die Lösungsmenge:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} } also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| {-}2)\} }

Aufgabe 5 - LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}}

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } bestimmt. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } ein Parameter eingesetzt: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } berechnet sich dann durch den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } . Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } zu bestimmen, also für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } einen Parameter zu setzen.

Aufgabe 6 - LGS lösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ 0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12 }

Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.

Aufgabe x - Zusammenfassung

Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme, Lösungsmengen und Grafiken den entsprechenden Anzahlen der Lösungen zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung

Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen

Aufgabe 10 - Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung dreier Ebenen wird untersucht. Dabei entsteht durch die Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 12\\ \text{II}\quad & x & + & 2y & + & z & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & y & - & z & = & 3 \end{array}}

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}}

a) Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt aus der letzten Spalte ablesen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4, y = 1, z = 2 }

b) Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat

Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden.

Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2).

zurück zur Kapitelauswahl