Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen
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==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme== | ==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme== | ||
{{Box | 1= Aufgabe 1 - Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen | {{Box | 1= Aufgabe 1 - Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen. | ||
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Version vom 26. Mai 2021, 18:59 Uhr
Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
TODO:
- Fälle eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen
Erklärungen undBeispiele und- Übungsaufgaben
- z.B. Fall unendlich viele Lösungen oder/ und keine Lösung direkt am LGS erkennen
Erklärung und Beispiel zum Vorgehen, eine Variable frei zu wählen (unendlich viele Lösungen)
Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme
Multiplikation der dritten Gleichung mit und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:
Aus der dritten Gleichung folgt:
Einsetzen von in die zweite Gleichung ergibt:
Einsetzen von und in die erste Gleichung ergibt:
An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.
Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:
Einsetzen von in die erste Gleichung ergibt:
Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, und können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable in Abhängigkeit von bestimmt. Für kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für ein Parameter eingesetzt: Sei . berechnet sich dann durch den Parameter . Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable in Abhängigkeit von zu bestimmen, also für einen Parameter zu setzen.
Multiplikation der dritten Gleichung mit und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:
Einsetzen von in die zweite Gleichung ergibt:
Einsetzen von und in die erste Gleichung ergibt:
Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von und in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.
Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems