Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne GTR-Einsatz, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1 - Gleichungssysteme zuordnen

Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

FortfahrenAusblenden

Beispiel: 2 Unbekannte und 2 Gleichungen

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &x&+&y&=&6\\{\text{II}}\quad &4x&-&y&=&4\\\end{array}}$

$L=\{2;4\}$

Beispiel: 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &x&+&y&-&2z&=&7\\{\text{II}}\quad &3x&-&y&+&z&=&2\\{\text{III}}\quad &2x&+&3y&+&5z&=&8\end{array}}$

$L=\{2;3;-1\}$

Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &x&-&y&+&2z&=&0\\{\text{II}}\quad &-y&-&2z&=&0\\{\text{III}}\quad &-3z&=&3\end{array}}$

$L=\{2;1;0{,}5\}$

Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &6x&+&2z&=&1&+&y\\{\text{II}}\quad &5x&-&3y&+&3z&=&4\\{\text{III}}\quad &3x&-&2y&=&8&-&z\end{array}}$

Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.

$L=\{2{,}75;-9;-12{,}25\}$

Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\begin{array}{crcrcr}\\{\text{I}}\quad &6x&+&2y&-&z&=&48\\{\text{II}}\quad &-3x&+&5y&+&3z&=&49\\{\text{III}}\quad &-2x&+&y&+&3z&=&24\end{array}}$

$L=\{7;8;10\}$

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 5 - Wiederholung

Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

a) Bewege die Schieberegler $a,b,c$ sowie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d, h, k} . Was kannst du beobachten?

b) Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

c) Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem.

d) Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

Ein lineares Gleichungssystem kann

• eine Lösung
• keine Lösung oder
• unendlich viele Lösungen

haben.

Merksatz - Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Merksatz - Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} } .

Hat ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme

Beispiel - Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

a) Welche Lösung besitzt das lineare Gleichungssystem?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(-1| \frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{(-2)}{(-3)} = \frac{2}{3} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & -6 \cdot (\frac{2}{3}) + 3z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & -4 + 3z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & 3z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= \frac{4}{3} \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } in die erste Gleichung ergibt:

${\begin{aligned}&&2x+4\cdot {\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3}}&=2\\\Leftrightarrow &&2x+4&=2\\\Leftrightarrow &&2x&=-2\\\Leftrightarrow &&x&=-1\end{aligned}}$

Somit hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

b) Welche Lösung besitzt das lineare Gleichungssystem?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ -x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ -x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\ 0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert}

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert}

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

c) Welche Lösung besitzt das lineare Gleichungssystem?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 } und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\ 0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert}

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = t } . Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\ \Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } in die erste Gleichung ergibt:

${\begin{aligned}&&2x-(2+2t)+4t&=2\\\Leftrightarrow &&2x&=2+2+2t-4t\\\Leftrightarrow &&2x&=4-2t\\\Leftrightarrow &&y&=2-t\end{aligned}}$

Merksatz - Variable frei wählen

Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:

1. Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
2. Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
3. Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

Aufgabe 6 - Variable frei wählen

Im Beispiel Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme wurde für die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } ein Parameter gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} } ergeben.

a) Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

Beispiel: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 5 } . Dann folgt für die Lösungsmenge:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} } also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{({-}3|12|5)\} }

b Für welche Variable könnte man statt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen?

Man könnte zum Beispiel auch für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } einen Parameter setzen. Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = t } .

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\ \Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\ \Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\ \Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\ \Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\ \end{align}}

Somit folgt für die Lösungsmenge:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} }

Aufgabe 7 - Anzahl der Lösungen erkennen

Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

Aufgabe 8 - Parameter bestimmen

Bestimme den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in \mathbb{R} } so, dass das lineare Gleichungssystem...

a) ...unendlich viele Lösungen hat.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\ 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1 \end{alignat}\right\vert}

Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=3 } ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=3 } äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

b) ...keine Lösung hat.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\ x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x-ay &= a-1 \\ \Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\ \Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)} \end{align}}

An dieser Stelle sieht man, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=4 } unültig ist, da der Nenner für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=4 } Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=4 } keine Lösung.

Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Aufgabe 9 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben wurde erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem.

b) Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.

Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit der Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } . Dies erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 } erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x + y = 1 } zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1 - x }

Die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1 - t } bestimmen. Wird zum Beispiel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 1 } gewählt, so folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 1-1 = 0 } .

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der ersten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

c) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\ x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

d) Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.

Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich, was nicht?

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} } . Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 = 2 } . Dies ist ein Widerspruch.

Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1 \end{alignat}\right\vert}

Aus der dritten Gleichung folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7} \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\ \Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch} \end{align}}

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} }

$\left\vert {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&z&&\;=\;&&2\end{alignedat}}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 } und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Aus der zweiten Gleichung folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \frac{4}{(-4)} = -1 }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0 \end{align}}

Die Gleichung kann nun entweder nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } oder nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } umgestellt werden. Umstellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2z &= -2x+2 \\ \Leftrightarrow & & z &= 1-x \end{align}}

Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } wird jetzt ein Parameter eingesetzt: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } . Somit ergibt sich die Lösungsmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} } .

Aufgabe 10 - weiterführende Aufgabe zu den Beispielen

Das Gleichungssystem aus dem Beispiel Unterbestimmtes Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Bestimme eine mögliche konkrete Lösung für dieses Gleichungssystem.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } ist eine beliebige, also eine frei wählbare reelle Zahl.

Wähle zum Beispiel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 3 } . Dann folgt für die Lösungsmenge:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} } also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(3| {-}1| {-}2)\} }

Aufgabe 11 - LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}}

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } bestimmt. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } ein Parameter eingesetzt: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } berechnet sich dann durch den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } . Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } zu bestimmen, also für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } einen Parameter zu setzen.

Aufgabe 12 - LGS lösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}

Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ 0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} }

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}}

Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:

$2\cdot {\frac {20}{9}}+2\cdot {\frac {8}{18}}={\frac {16}{3}}\neq 12$

Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.

Aufgabe 13 - Zusammenfassung

Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme, Lösungsmengen und Grafiken den entsprechenden Anzahlen der Lösungen zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung

Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen

Aufgabe 10 - Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung dreier Ebenen wird untersucht. Dabei entsteht durch die Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 12\\ \text{II}\quad & x & + & 2y & + & z & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & y & - & z & = & 3 \end{array}}

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}}

a) Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt aus der letzten Spalte ablesen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 4, y = 1, z = 2 }

b) Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat

Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden.

Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2).

zurück zur Kapitelauswahl