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| <math>d(P;E)=\frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}} | | <math>d(P;E)=\frac {|a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}} |
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| Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen. Bei der Klapplösung werden jeweils beide Lösungswege aufgeführt. | | Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen. |
| | {{Box | Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach | |
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| {{Box | Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach |
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| Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und Biancas Drohne schwebt an der Stelle <math>B(-1|7|4)</math>. | | Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle <math>A(3|4|-1)</math> und Biancas Drohne schwebt an der Stelle <math>B(-1|7|4)</math>. |
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| Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt. | | Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt. |
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| [[File:Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg| rechts | rahmenlos]] | | [[File:Drone with GoPro digital camera mounted underneath - 22 April 2013.jpg| rechts | rahmenlos]] |
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| {{Lösung versteckt|1= | | {{Lösung versteckt|1= |
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| Abstandsberechnung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene: | | Abstandsberechnung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene: |
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| Der Normalenvektor der Ebene ist: <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math> | | Der Normalenvektor der Ebene ist: <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math> |
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| Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math> bestimmen: <math>|\vec{n}|=\sqrt{8^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 </math> | | Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math> bestimmen: <math>|\vec{n}|=\sqrt{8^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 </math> |
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| Es folgt: <math>\frac {|8\cdot x_1-4\cdot x_2-1\cdot x_3-5|}{9}</math>. | | Es folgt: <math>\frac {|8\cdot x_1-4\cdot x_2-1\cdot x_3-5|}{9}</math>. |
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| Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von <math>\frac{2}{3}</math>LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von <math>5</math>LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne. | | Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von <math>\frac{2}{3}</math>LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von <math>5</math>LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne. |
| | |2=Lösung mit der Formel anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| | {{Lösung versteckt|1= |
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| |2=Lösung mit der Formel anzeigen|3=Lösung verbergen}} | | Abstand von <math>A</math> zu <math>E</math>: |
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| | Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g_1</math> zu <math>E</math> durch <math>A</math> aufgestellt. |
| | Mit dem Ortsvektor von <math>A</math> als Stützvektor und dem Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor ist <math> g_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math>. |
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| | Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g_1</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g_1</math> in <math>E</math> ergibt <math>8(3+8t)-4(4-4t)-(-1-t)=5</math>, also <math>t=-\frac{4}{81}</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}- \frac{4}{81} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L_1(3-\frac{32}{81}|4+\frac{16}{81}|-1+\frac{4}{81})</math>. |
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| | Der Abstand zwischen <math>A</math> und <math>L_1</math> beträgt <math>\frac{4}{9}</math>LE wegen <math>|\vec{AL_1}|=\sqrt{(3-\frac{32}{81}-3)^2+(4+\frac{16}{81}-4)^2+(-1+\frac{4}{81}-(-1))^2}=\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{4}{9}</math>. |
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| | Abstand von <math>B</math> zu <math>E</math>: |
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| | Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden <math>g_2</math> zu <math>E</math> durch <math>B</math> aufgestellt. |
| | Mit dem Ortsvektor von <math>B</math> als Stützvektor und dem Normalenvektor von <math>E</math> als Richtungsvektor ist <math> g_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math>. |
| | |
| | Wir bestimmen den Schnittpunkt von <math>g_2</math> mit <math>E</math>. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von <math>g_2</math> in <math>E</math> ergibt <math>8(-1+8s)-4(7-4s)-(4-s)=5</math>, also <math>s=\frac{5}{9}</math>. Durch Einsetzen in die Geradengleichung <math> \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}+\frac{5}{9} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>L_2(-1+\frac{40}{9}|7-\frac{20}{9}|4-\frac{5}{9})</math>. |
| | |
| | Der Abstand zwischen <math>B</math> und <math>L_2</math> beträgt <math>5</math>LE wegen <math>|\vec{BL_2}|=\sqrt{(-1+\frac{40}{9}-(-1))^2+(7-\frac{20}{9}-7)^2+(4-\frac{5}{9}-4)^2}=\sqrt{\frac{2025}{81}}=5</math>. |
| | |
| | Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von <math>\frac{2}{3}</math>LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von <math>5</math>LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne. |
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| | |2=Lösung mit dem Lotfußpunktverfahren anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| | {{Lösung versteckt|1=Der Abstand der Drohne von Anton zum Dach beträgt <math>\frac{4}{9}</math>LE und der Abstand von Biancas Drohne zum Dach beträgt <math>5</math>LE. Damit ist der Abstand von Antons Drohne geringer.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} |
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| | | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| {{Lösung versteckt|1= | | {{Lösung versteckt|1= |
Info
In diesem Lernpfadkapitel kannst du das Thema "Abstände von Objekten im Raum" wiederholen und vertiefen.
Wie du im Inhaltsverzeichnis siehst, gibt es drei Abschnitte: einen zum Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt, einen zum Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt und einen dritten zum Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden. Suche dir einfach aus, was du üben möchtest. Bei jedem Abschnitt werden erst die jeweiligen Verfahren wiederholt und anschließend gibt es ein paar Aufgaben dazu, darunter sind auch Knobelaufgaben.
Vorher kannst du noch die Einstiegsaufgabe machen, um deine generelle inhaltliche Vorstellung zu testen.
Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg und Spaß!
Einstieg
Aufgabe 1: Sachsituationen und Rechenschritte zuordnen
Zu welcher Sachsituation passen die Rechenschritte jeweils? Ordne zu.
Schiebe die Kästen an die richtige Stelle in der Tabelle. Du kannst die Kästen und Bilder vergrößern, indem du sie anklickst.
Je nachdem, bei welchem Abstandsproblem du hier noch Schwierigkeiten hattest oder was du einfach noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Aufgabe 2: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.
Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst.
Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.
Die Abbildung kann dir helfen.
Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren
Aufgabe 3: Lotfußpunktverfahren anwenden
Berechne den Abstand von der Ebene
und dem Punkt
. Verwende dafür das Lotfußpunktverfahren.
Abstand von
und
:
Die Gleichung für die zu
orthogonale Gerade
(also die Lotgerade) durch
aufstellen:
.
Den Lotfußpunkt
bestimmen:
in
einsetzten:
Der Lotfußpunkt ist
.
Den Abstand zwischen den Punkten
und
bestimmen:

Merke: Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotfußpunktverfahren auch die Möglichkeit, diesen mit einer Formel zu berechnen.
Gegeben ist eine Ebene
durch die Koordinatengleichung
und ein Punkt
.
1. Stelle nun die Formel auf:
Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor
ab.
Bestimme dann die Länge des Normalenvektors:
.
Die Formel lautet nun:
.
2. Berechne den Abstand, indem du die Koordinaten des Punktes
in die Formel einsetzt:

Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen.
Aufgabe 4: Abstand zum Schuldach
Anton und Bianca fliegen jeweils eine Drohne über das Dach ihrer Schule. Antons Drohne schwebt an der Stelle
und Biancas Drohne schwebt an der Stelle
.
Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:
. Du darfst dir aussuchen, welches Verfahren du benutzt.

Abstandsberechnung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Der Normalenvektor der Ebene ist:
Länge des Normalenvektors
bestimmen:
Es folgt:
.
Nun werden die Koordinaten von
eingesetzt:
Die Koordinaten von
können in die selbe Formel eingesetzt werden:
.
Damit hat die Drohne von Anton einen Abstand von

LE zum Schuldach und die Drohne von Bianca einen Abstand von

LE. Antons Drohne ist also näher zum Dach als Biancas Drohne.
Der Abstand der Drohne von Anton zum Dach beträgt

LE und der Abstand von Biancas Drohne zum Dach beträgt

LE. Damit ist der Abstand von Antons Drohne geringer.
Der Abstand der Drohne von Anton zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4}{9}}
LE und der Abstand von Biancas Drohne zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5}
LE. Damit ist der Abstand von Antons Drohne geringer.
| Farbe=#F19D50 }}
Aufgabe 5: Glaspyramide - Teil 1
Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1+x_2+2x_3=7 }
beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(4,5|9|3,5) }
. Eine Längeneinheit LE im Koordinatensystem entpricht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4}
m.
Welche Höhe hat die Pyramide in Metern?
Mach dir eine Skizze. Welche Teilschritte brauchst du zur Bestimmung des Abstands? Wenn du dir unsicher bist, schau nochmal in die Merkbox oben.
Die Pyramide hat eine Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 24 }
m.
Der Lösungsweg:
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S}
und der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
bestimmt.
Lösung mit dem Lotfußpunktverfahren:
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
durch
aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von
als Stützvektor und den Normalenvektor von
als Richtungsvektor, also:
.
Wir bestimmen den Schnittpunkt von
mit
. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von
in
ergibt
, also
. Durch Einsetzen in die Geradengleichung
erhalten wir den Lotfußpunkt
. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.
Der Abstand zwischen
und
beträgt
LE wegen
. Die Pyramide hat also eine Höhe von
.
Lösung mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Ein Normalenvektor der Ebene ist
, dieser hat die Länge
.
Setzt man die Koordinaten von
in die Formel ein, ergibt sich der Abstand

, das heißt, die Pyramide hat eine Höhe von

.
Aufgabe 6: Glaspyramide - Teil 2
An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt ebenfalls in der Ebene
, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der vier Kanten von der Spitze bis zur jeweiligen Ecke der Grundfläche beträgt jeweils
m. Die Grundfläche hat
m lange Diagonalen, die sich im Punkt
schneiden. In welchem Punkt
liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?
Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?
Diese Skizze der Pyramide kannst du mit deiner Maus drehen und vergrößern.
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welchen Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramide und kannst entlang des Normalenvektors von
zur Spitze gelangen.
Berechnung der Höhe der Pyramide
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt
.
Hier der Lösungsweg:
Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen: (siehe Zeichnung zu Tipp 3)
Es ist
, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide
m, was
LE im Koordinatensystem entspricht.
Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von
LE zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.
Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt
der Grundfläche aus
LE entlang der Geraden, die orthogonal zu
ist, und zwar in die andere Richtung als in der Aufgabe "Glaspyramide - Teil 1". Das heißt, man geht
LE in die entgegengesetzte Richtung des Normalenvektors von
.
Es ist
, also ist
.
Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt
die Spitze liegt:
Es ist

, also erhält man

Aufgabe 7: Abstand paralleler Ebenen
Gegeben ist die Ebene
. Bestimme zur Ebene
zwei parallele Ebenen, die von
den Abstand
haben.
Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu

sind
Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie
.
Ansatz:
sei ein Punkt der Ebene
. Wir wissen also, dass für
die Ebenengleichung von
erfüllt sein muss, also dass
gelten muss.
Es gilt:
.
nach Aufgabenstellung. Daher gilt:
oder
.
Stelle nun beide Gleichungen nach
um.
Es folgt:
und
.
Dies wird nun in die Ebenengleichung von
eingesetzt:

und

haben nun beide den Abstand

zur Ebene
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 }
und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22}
haben beide den Abstand
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5}
zu
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Aufgabe 8: Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden
Bewege den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q}
auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q}
anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.
Wann ist der Abstand vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P}
zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
am kleinsten?
Wie groß ist der Winkel zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und der Geraden durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q}
?
Wie nennt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q}
dann?
Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.
Der Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P;Q)}
ist am kleinsten, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{PQ}}
orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.
Dann nennt man den Punkt
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q}
den Lotfußpunkt von
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P}
auf
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
.
Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden
Aufgabe 9: Lichterkette
Für ein Stadtfest soll von der Dachspitze
eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals
gespannt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht
m.
Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.
Die Lichterkette muss mindestens

Meter lang sein.
Aufgabe 10: Die richtige Reihenfolge
Im Folgenden wurde der Abstand von
und
bestimmt.
Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.
Aufgabe 11: Dreieck
Betrachte das Dreieck
. Es sind die Punkte
und
gegeben, durch sie verläuft die Gerade
. Der Punkt
liegt auf der zu
parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} }
.
a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DBC}
ändert sich, je nachdem wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D}
auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j}
liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
Du kannst mit der Maus den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D}
verschieben.
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D}
verschiebt?
Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\{text{DBC}}}
eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\{text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h}
berechnen, wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
die Länge der Grundseite ist.
In dieser Aufgabe bleibt der Abstand
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(D;i)}
immer gleich, da sich
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D}
auf einer zu
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i}
parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\{text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h}
nicht.
b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DBC}
.
Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 19,12}
Flächeneinheiten.
Ein möglicher Lösungsweg:
Wir bestimmen zunächst die Länge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
der Grundseite:
Es Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{BC}|=\sqrt{(2-0,5)^2+(8-3,5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{58,5}}
.
Nun bestimmen wir die Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
, also den Abstand der parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j}
mithilfe des Verbindungsvektors von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B}
zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j}
.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):
Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_t=(1+t|1+3t|2-4t)}
ist ein allgemeiner Punkt auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j}
. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j}
ist also gegeben durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{BL_t}=\begin{pmatrix} (1+t)-2 \\ (1+3t)-8 \\ (2-4t)-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}}
.
Damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{BL_t}}
orthogonal zum Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j}
ist, muss gelten:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}=0 }
bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3 + (1-4t) \cdot (-4)=0}
. Es folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=1}
, also ist der Verbindungsvektor für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(2|4|-2)}
am kürzesten. Somit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=d(B;j)=|\vec{BL}|=\sqrt{(2-2)^2+(4-8)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{25}=5}
.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\{text{DBC}}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{58,5} \cdot 5\approx 19,12}
Flächeneinheiten.
Abstand zweier windschiefer Geraden
Aufgabe 12: Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen windschiefen Geraden
Verschiebe die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
so, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}}
die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
ist.
Du kannst die Grafik mit deiner Maus drehen, um die Geraden aus anderen Perspektiven zu betrachten.
Damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}}
die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
ist, müssen beide Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 90^{\circ}}
groß sein.
Merke: Der Abstand windschiefer Geraden
Der Abstand zweier windschiefer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und einem Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
. Diese kürzeste Verbindungsstrecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{GH}}
zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
als auch orthogonal zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
.
Für die Bestimmung des Abstandes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)}
berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst:
Seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g: \vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{u}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h: \vec{x}=\vec{q}+t\cdot \vec{v}}
die windschiefen Geraden.
Verfahren Gemeinsames Lot
- Bestimme die Geradenpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
- Stelle den Verbindungsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}}
in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
- Bestimme nun die Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s}
und
so, dass der Verbindungsvektor
orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G_s H_t}\ast \vec{v} =0}
.
- Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
und kannst den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=d(G;H)}
bestimmen.
Verfahren Hilfsebene
Es gibt eine Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
, sodass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
liegt und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
ist. Für diese Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
ist dann der Abstand zwischen den Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g,h)}
gleich dem Abstand zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
und einem beliebigen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
. Jeder Normalenvektor von dieser Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
.
- Bestimme aus den Gleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}\ast\vec{n}=0}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}\ast\vec{n}=0}
einen Normalenvektor.
- Stelle die Normalengleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{x}-\vec{p})\ast\vec{n}=0}
der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
auf.
- Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(E;H)=d(g;h)}
.
Aufgabe 13: Maulwurfstunnel
Zwei Maulwürfe graben Tunnel mit einem Durchmesser von jeweils Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5}
cm.
Der erste Maulwurf gräbt entlang der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}
und der zweite entlang der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 18 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}}
wobei diese Geraden jeweils in der Mitte des Tunnels liegen.
Die Geraden schneiden sich nicht, aber ihre Tunnel sind nur stabil, wenn überall mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15}
cm Erde dazwischen sind. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}
cm. Wird das Tunnelsystem halten?
Wenn die kleinste Entfernung, also der Abstand zwischen den Geraden groß genug ist, ist auch an allen anderen Stellen genug Erde zwischen den Tunneln. Überlege dir, welchen Abstand die Geraden voneinander haben müssten, damit die Tunnel nicht einstürzen. Berechne dann den Abstand zwischen den Geraden mit einem Verfahren deiner Wahl.
Da die Tunnel einen Radius von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,5}
cm haben und die Geraden in dem Modell in der Mitte der jeweiligen Tunnel liegen, müssen die Geraden mindestens einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2,5+15+2,5=20}
haben, damit die Tunnel nicht einstürzen.
Wir bestimmen den Abstand zwischen den Geraden mithilfe einer Hilfsebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
, die parallel zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
ist und in der die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
liegt.
Für den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}}
muss gelten:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0}
. Es folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=\frac{2}{3} n_3}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2=\frac{3}{4} n_3}
. Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix}}
ein Normalenvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
.
Die Normalenform von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
lautet nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:[\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}]\cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix} =0}
.
Nehme den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(6|6|18)}
auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
.
Da der Abstand zwischen den Geraden gleich dem Abstand zwischen der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
und einem beliebigen Punkt auf der zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
ist, erhält man nun mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=d(E;H)=\frac{|\frac{2}{3}\cdot 6+\frac{3}{4}\cdot 6+18-(\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{3}{4}\cdot 1+1)|}{\sqrt{(\frac{2}{3}^2+(\frac{3}{4})^2+1^2}}=17.}
Die Geraden haben also einen kleineren Abstand als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20}
LE. Das heißt, die Tunnel sind nicht überall mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15}
cm voneinander entfernt und sie werden einstürzen.
Die einzige Lösung für die Maulwürfe ist es, an der kritischen Stelle eine gemeinsame Höhle zu bauen. :)
Die Geraden haben einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17LE}
. Zwischen den Tunneln sind also an einer Stelle nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12cm}
Erde und sie werden einstürzen.
Dann bauen die beiden Maulwürfe an der kritischen Stelle einfach eine gemeinsame Höhle. :)
Aufgabe 14: Geradenpaare, Abstände und Lotfußpunkte zuordnen
Bei dieser Aufgabe gibt es drei Geradenpaare Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
, die jeweils windschief zueinander liegen. Schiebe zuerst die Geradenpaare auf das Feld mit der entsprechenden Nummer.
Ordne ihnen dann die jeweiligen Lotfußpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
sowie den entsprechenden Abstand zwischen den Geraden zu.
Ein paar Zettel bleiben übrig, diese schiebst du auf das letzte Feld.
Du kannst die Zettel vergrößern, indem du sie anklickst.
Tipp: Durch genaue Überlegungen, Rückwärtsrechnen und mithilfe von Skizzen kann man manchmal schnell erkennen, was zusammengehört, ohne alle Schritte des Verfahrens durchzugehen!
Wenn du auf den Haken klickst, kannst du überprüfen, ob du richtig zugeordnet hast.
Du kannst natürlich auch mit dem Verfahren die beiden Lotfußpunkte bestimmen. Hier kannst du dir aber "rückwärts" schneller überlegen, was die Lotfußpunkte sind: Durch Einsetzen erkennt man, dass
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|2|0)}
und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(-1|0|-2)}
auf der jeweiligen Gerade liegen. Der Verbindungsvektor
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ist wegen
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0}
und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\ast\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}=0}
orthogonal zu
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
. Also sind
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|2|0)}
und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(-1|0|-2)}
die Lotfußpunkte und es ist

.
Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
entlang der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Achse verläuft, liegt diese Gerade auch in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Ebene.
Der Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}
ist ein möglicher Stützvektor für eine Geradengleichung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
, denn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
veräuft durch den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0|2|1)}
. Da die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Achse ist und der Eintrag des Stützvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}
in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}
ist, ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Ebene und alle Punkte auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
haben die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}
.
Also kann man den Abstand der Geraden direkt an der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Koordinate des Stützvektors der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
ablesen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|1|=1}
.
Außerdem liegt
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(0|0|0)}
auf
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und
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auf
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und der Verbindungsvektor
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ist orthogonal zu den Richtungsvektoren
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und
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}
beider Geraden. Also sind diese beiden Punkte die Lotfußpunkte. Das gemeinsame Lot liegt insbesondere auf der

-Achse. Dies kann man daran erkennen, dass

entlang der

-Achse verläuft und

parallel zur

-Achse und nicht in
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Richtung verschoben ist (der Stützvektor von
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hat die
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Koordinate
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). Beide Geraden schneiden also die
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-Achse und sind parallel zur
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Ebene bzw. liegen in dieser Ebene.
Da der Richtungsvektor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
im Eintrag der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Koordinate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0}
ist, ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
parallel zur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Ebene. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
liegt in der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
-Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3}
-Ebene. (Da die Richtungsvektoren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
linear unabhängig sind, sind die Geraden nicht parallel zueinander, was aber ja auch schon in der Aufgabenstellung gesagt wurde.) Also kann man den Abstand der Geraden direkt am Unterschied der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2}
-Koordinaten der Stützvektoren der beiden Geraden ablesen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=|2-0|=2}
. Da man aber nicht genau weiß, wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
liegt (man kennt nur den Richtungsvektor), kann man auch nicht sagen, wo genau die Lotfußpunkte liegen.