Der Abstand zweier windschiefer Geraden
und
ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden
und einem Punkt der Geraden
. Diese kürzeste Verbindungsstrecke
zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu
als auch orthogonal zu
und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden
und
.
Für die Bestimmung des Abstandes
berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst:
Seien
und
die windschiefen Geraden.
Verfahren Gemeinsames Lot
- Bestimme die Geradenpunkte
und
in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
- Stelle den Verbindungsvektor
in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
- Bestimme nun die Parameter
und
so, dass der Verbindungsvektor
orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen
und
.
- Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte
und
und kannst den Abstand
bestimmen.
Verfahren Hilfsebene
Es gibt eine Ebene
, sodass
in
liegt und
parallel zu
ist. Für diese Ebene
ist dann der Abstand zwischen den Geraden
gleich dem Abstand zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
und einem beliebigen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
.
- Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
auf, sodass die GErade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
liegt und die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
ist:
- Jeder Normalenvektor von dieser Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von den Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
. Bestimme also aus den Gleichungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}\ast\vec{n}=0}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}\ast\vec{n}=0}
einen Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}}
.
Die Ebenengleichung in Koordinatenform ist dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E:n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3=b }
.
- Die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
soll in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
liegen. Bestimme also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b}
, indem du einen Punkt der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}
in die Ebenengleichung einsetzt.
- Wähle einen beliebigen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H}
auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
. (Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
ist, haben alle Punkte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}
den gleichen Abstand zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
.)
- Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(E;H)}
. So, wie wir die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
konstruiert haben, ist nun der Abstand zwischen den windeschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(g;h)=d(E;H)}
.
Beispiel:
Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} }
und
.
Mit dem Verfahren Gemeinsames Lot:
1. Geradenpunkte
und
in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter:
und
2. Verbindungsvektor
in Abhängigkeit von den Geradenparametern
und
:
3.
und
so bestimmen, dass
orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
ist, also das lineare Gelichungssystem
und
lösen:
und
liefert
und
.
4. Damit erhält man die Lotfußpunkte
und
.
Also ist
.
Mit dem Verfahren Hilfsebene:
1. Ebenengleichung der Ebene
, sodass
in
liegt und
parallel zu
ist, aufstellen:
Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
, also gilt:
und
bzw.
und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify“): {\displaystyle 0=4n_{1}-5_{n}_{2}+2n_{3}}
.
Dieses Gleichungssystem ergibt
als möglichen Normalenvektor.
Also ist
.
Einen Punkt der Geraden
einsetzen, um
zu erhalten (denn die Gerade
soll in der Ebene
liegen):
Wir nehmen den Punkt
auf
. Also ist
und insgesamt
.
2. Einen beliebigen Punkt
auf der Geraden
wählen: Wir nehmen
.
3. Abstand mit der Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen:
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle d(g;h)=d(E;H)=\frac {|-\frac{7}{4}\cdot 7 + (-1)\cdot 7 + 1\cdot 0-1|}{\sqrt{(-\frac{7}{4)^2+(-1)^2+1^2}=9}