Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
aufgestellt. Dabei entspricht
der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und
der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.
a) Berechne
und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
Lies noch einmal nach, was

und

angeben. Was bedeutet es, wenn

ist?
b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.
Überlege dir, welchen Wert

annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt.
Setze

und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.
Die p-q-Formel:Für eine Gleichung
liefert die p-q-Formel die Lösungen

.
Denke daran, dass dabei vor dem

kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.
c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?
Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann.
Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach.
d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes

und des Punktes

auf.
Gehe wie in Aufgabe 4 vor.
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
Gesucht sind die x-Werte, für die

ist.
a)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.
b)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2}
den Vorfaktor eliminieren.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\ &=& x^2-40x-90 \end{array} }
Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -(-90)} \\ &=& 20 \pm 22.14 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 }
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-22.14+20=-2.14 }
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.
c)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Umwandeln in die Scheitelpunktform:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 &\mid -0.2 \, vorklammern \\ &=& -0.2(x^2-40x-90) &\mid quadratische \, Erg\ddot{a} nzung +20^2-20^2 \\ &=& -0.2(x^2-2 \cdot 20x+20^2-20^2-90) & \mid 2. Binomische \, Formel \\ &=& -0.2[(x-20)^2-490] & \mid ausmultiplizieren \\ &=& -0.2 (x-20)^2+98 \end{array} }
Der Scheitelpunkt liegt bei
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(20\mid 98)}
, die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht.
d)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Scheitelpunkt einsetzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=a(x-10)^2+120}
Schnittpunkt mit der y-Achse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0\mid18)}
einsetzen, nach a auflösen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} f(0)&=&18 \\ a(0-10)^2+120&=&18 \\ 100a+120&=&18 &\mid -120 \\ a&=&-1.02 \end{array} }
a einsetzen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120}
Zusatzaufgabe:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=30}
berechnen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x-12 & \mid :(-0.2) \\ &=& x^2-40x+60 \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow p=-40, q=60}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -60} \\ &=& 20 \pm 18.44 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 }
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=-18.44+20=1.56}
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.