Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln

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1) Potenzen: Definition
2) Potenzgesetze
3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise
4) Wurzeln: Definition

5) Rechnen mit Quadratwurzeln

SEITE IM AUFBAU

5.1 Multiplikation und Division

Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

${\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {9}}=$...Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot} ... =
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\tfrac{...}{...}=}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{4\cdot9}=\sqrt{...}=}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{144}{16}}=\sqrt{...}=}

Multiplikation und Division von Wurzeln

Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} } für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b \ge 0 }

Für die Division von Quadratwurzeln gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} } für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \ge 0 \quad und \quad b>0 }

Schau die Beispielrechnungen im nachfolgenden Video an und bearbeite dann die Übungen.

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Übung 1 (*)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:
2a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{0,49\cdot100}=\sqrt{0,49}\cdot\sqrt{100}=0,7\cdot10=7}
2b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{10}\cdot\sqrt{3,6}=\sqrt{10\cdot3,6}=\sqrt{36}=6} ...

• S. 81 Nr. 2
• S. 81 Nr. 3
• S. 81 Nr. 4
• S. 81 Nr. 5

Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind.
Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl.
Beispiel:
2d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{400\cdot0,64}} Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.
2c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sqrt{400}\cdot\sqrt{0,64} = 20 \cdot0,8 =16}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2,5}\cdot\sqrt{0,9}} Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sqrt{2,5\cdot0,9} = \sqrt{2,25} } Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.
= 1,5

4a)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{...} \cdot \sqrt{289}} = 34   |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{...} \cdot}   17 = 34
Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2!
Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{4} \cdot \sqrt{289}} = 34
4b)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{14..} \cdot \sqrt{3}} = 21   |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{14..\cdot 3}} = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{21^2}}   |21² = 441
Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{147} \cdot \sqrt{3}} = 21

5.2 Teilweises Wurzelziehen

Teilweises Wurzelziehen

Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\cdot\sqrt{b}} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b \ge 0 }

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Übung 2(**)

Löse die Aufgaben
Übung a

Übung b

Übung 3(**)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

• S. 81 Nr. 7
• S. 81 Nr. 9

Beispielrechnung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}}

Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren

Übung 4(***)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

• S. 81 Nr. 10
• S. 81 Nr. 11
• S. 81 Nr. 12

Beispiel:
10a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{9x}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x}=3\sqrt{x}} 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{5a^2}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2}=\sqrt{5}\cdot a} a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

und nun wird es schwieriger

f)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{27s^2t^3} = \sqrt{9\cdot3s^2t^2t} = 3st\sqrt{3t}}
Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{x^3}{9y}} = \tfrac{\sqrt{x^2x}}{\sqrt{9}\sqrt{y}} = \tfrac{x\sqrt{x}}{3\sqrt{y}}}

Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.

Beispiel:
11a)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{2y^2}{18}}=\sqrt{\tfrac{1y^2}{9}}=\tfrac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{y^2}}{\sqrt{9}}=\tfrac{y}{3}} Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.

11d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{24a}{8a^3}}=\sqrt{\tfrac{3}{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{a}} Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.

5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)

Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{64} + \sqrt{36}=... + ... = ...}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{64 + 16}=\sqrt{...}= ...}

Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden NICHT!!! unter einer Wurzel zusammenfassen!