Jule Volbers/Testseite

Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen.

In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über Terme, Variablen und Gleichungen. Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. .

1.Terme, Variablen und Gleichungen

Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Terme, Variablen und Gleichungen" in deinem Begleitmaterial.

Variablen sind Zeichen (meistens kleine Buchstaben). Sie sind Platzhalter. Du kannst Zahlen für sie einsetzen. Terme sind Rechenausdrücke. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variable enthalten. Werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine Gleichung. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die linearen und die quadratischen Gleichungen.

Begriffstraining

Teste dein Wissen!

 

2.Terme

Terme aufstellen

Terme in Sachsituationen

Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.

a)

b)

Terme vereinfachen

Info

Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.

Terme zusammenfassen

Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an.
Zusammenfassen von Summen:
a) $2x+10x+11+7$
b) $-4x+5+9x-7$
c) $3x+5x+7y-2y$
d) $-2x+15-4y-3x-5$
e) $13x^{2}+3x+9y-3y$
f) $2x+xy-3y-2xy+2xy^{2}$

Beim Zusammenfassen von Summen gilt:

• Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
• Auch die Potenz muss übereinstimmen.
• Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
• Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.

Beispiele:
1) ${\color {blue}b}{\color {red}+a+3a}$ $={\color {blue}b}{\color {red}+4a}$

2) ${\color {orange}2x}{\color {red}+xy}{\color {blue}-3y}{\color {red}-2xy}{\color {green}+2xy^{2}}$ $={\color {orange}2x}{\color {blue}-3y}{\color {green}+2xy^{2}}{\color {red}+xy-2xy}$ $={\color {orange}2x}{\color {blue}-3y^{2}}{\color {green}+2xy^{2}}{\color {red}-xy}$

Hier konnten nur die beiden Teile mit ${\color {red}xy}$ zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen.

Zusammenfassen von Produkten
f) $5{x}\cdot 4{x}{y}$
g) $2{x}\cdot (-7{x^{2}y})\cdot (-3{y^{3}})$

Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:

• Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden.
  
• Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden ${2}\cdot {a}$ = 2a
  
• Beachte die Vorzeichen der Faktoren!

a) $2x+10x+11+7$ = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12x+18}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4x+5+9x-7} = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x-2}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x+5x+7y-2y} = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8x+5y}
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2x+15-4y-3x-5} = $-5x-4y+10$
e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 13x^2+3x^2+9y-3y} = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 13x^2+3x^2+9y-3y}
f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5{x}\cdot 4{x}{y}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 5 \cdot {x} \cdot 4 \cdot {x} \cdot {y} } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 5 \cdot 4 \cdot {x} \cdot {x} \cdot {y} } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 20 \cdot {x^2} \cdot {y} } $=20{x^{2}}{y}$

g) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2{x}\cdot(-7{x^2y})\cdot(-3{y^3}) } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {x} \cdot {x^2} \cdot {y} \cdot {y^3} } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 42{x^3}{y^4} }

Idee

Wichtig: Unterscheide
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-x) + (-x) = -2x }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-x) \cdot (-y) = x \cdot y }

Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.

Termtraining.

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.

 

Klammern in Termen

Klammern auflösen:

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen.

Arbeitsmethode

a) Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c} . $(b+c){\color {green}a}=b{\color {green}a}+{\color {green}a}$. Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.

Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16} .

thumb

Erinnerung

1. Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c }
2. Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac} . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac} .

b) Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd } . Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

Hierfür gilt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle + \cdot + } ergibt: $+$
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle - \cdot - } ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle + }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle - \cdot + } ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle - }

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b} .

| 3=Merksatz}}

Klammern in Termen

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitmaterial. Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\color{green}a}(b+c) =''' {\color{green}a}b''' + '''{\color{green}a}c} . Dies nennt man Distributivgesetz.
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b+c) \cdot {\color{green}a} = b \cdot {\color{green}a} + c\cdot {\color{green}a} = ac + bc } .

Variablen sind Zeichen (meistens kleine Buchstaben). Sie sind Platzhalter. Du kannst Zahlen für sie einsetzen. Terme sind Rechenausdrücke. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variable enthalten. Werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine Gleichung. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die linearen und die quadratischen Gleichungen.

Aufgabe

Aufgabe 1: Zuordnen

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel Terme ausmultiplizieren an.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5b+c+3d)\cdot a = } $5ab+ac+3ad$
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5a+4b)\cdot 4 = } $16b+20a$
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -8(a-2b) = } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 16b-8a }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2x+5)(3x-7) = } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6x^2+x-35 }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ac+10ad+2bc+20bd }
f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b }

Klammern auflösen

Ausklammern