Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum
Die Parameterform und die Punktprobe
Die Punktprobe
Spurpunkte
⭐ Normalenvektor
⭐ Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen
ist der Punkt, in dem das Tischbein auf die Tischplatte trifft, liegt somit in der Ebene der Tischplatte und dient als Aufpunkt der Ebenengleichung. Den Normalenvektor berechnen wir nach dem gleichen Verfahren wie bereits in der vorherigen Aufgabe durch die Berechnung von .
Normalengleichung:
.
Der Schattenpunkt T entspricht dem Schnitt der Ebene E mit der Geraden, die durch S verläuft und den Richtungsvektor der Sonnenstrahlen besitzt.
Geradengleichung:
Einsetzen der Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:
Durch Umformen und Ausmultiplizieren erhält man:
Einsetzen von in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt .
Schattenlänge des Baumes: LE.
⭐Überführung der Parameterform in die Koordinatenform
Ein Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}} muss zu den Spannvektoren orthogonal (senkrecht) sein.
Also ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=0} .
Hieraus folgt das Gleichungssystem
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1+3n_2=0}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2n_1+n_2+3n_3=0} .
Wählt man z.B. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1=9} folgt durch Einsetzen in das Gleichungssystem und Umformen: und .
Normalenvektor: .
Das berechnen wir durch :
Koordinatenform der Ebenengleichung: