Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme
Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme
Multiplikation der dritten Gleichung mit und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:
Aus der dritten Gleichung folgt:
Einsetzen von in die zweite Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7} \end{align}}
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\ \Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch} \end{align}}
An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert}
Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} }
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}}
Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } bestimmt. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } ein Parameter eingesetzt: Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x } . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } berechnet sich dann durch den Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } . Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable in Abhängigkeit von zu bestimmen, also für einen Parameter zu setzen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert}
Multiplikation der dritten Gleichung mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 } und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ 0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} }
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die zweite Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}}
Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung ergibt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12 }
Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y } in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.
Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems