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Dieser Lernpfad befindet sich aktuell im Aufbau.

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In diesem Lernpfadkapitel lernst du

• wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt schätzen kannst.
• wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt berechnen kannst.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Wiederholung(Optional)

Um die Oberfläche einer Pyramide zu bestimmen, ist es wichtig, dass du weißt, wie man den Flächeninhalt von Quadraten und von Dreiecken bestimmt. Wenn du dich noch daran erinnerst, wie man diesen bestimmt, trage die Formeln direkt auf deinem Arbeitsblatt ein und starte bei "Oberflächeninhalte berechnen". Wenn du dir noch etwas unsicher bist und eine kurze Wiederholung brauchst, bearbeite die folgenden Aufgaben.

Quadratischen Flächeninhalt berechnen

Aufgabe 1: Flächeninhalt vom Quadrat

Berechne den Flächeninhalt des folgenden Quadrates:

Die Formel zur Berechnung eines quadratischen Flächeninhalts lautet: $A=a\cdot a$

Flächeninhalte werden in cm² angegeben. Um "²" einzufügen, drücke gleichzeitig die Tasten "Alt Gr" und "2"

$A=4{\text{ cm}}\cdot 4{\text{ cm}}=16{\text{ cm²}}$

Gib im zweiten Kästchen die richtige Einheit an.

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Übertrage die Formel zur Berechnung eines quadratischen Flächeninhaltes auch auf dein Arbeitsblatt (die vollständige Formel findest du unter "Tipp 1").

Dreieckigen Flächeninhalt berechnen

Aufgabe 2: Flächeninhalt vom Dreieck

Berechne den Flächeninhalt des folgenden Dreiecks:

Die Formel zur Berechnung eines dreieckigen Flächeninhaltes lautet: $A={\tfrac {g\cdot h}{2}}$

Flächeninhalte werden in cm² angegeben. Um "²" einzufügen, drücke gleichzeitig die Tasten "Alt Gr" und "2"

$A={\tfrac {4{\text{ cm}}\cdot 6{\text{ cm}}}{2}}=12{\text{ cm²}}$

Gib auch hier im zweiten Kästchen die richtige Einheit an.

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Übertrage die Formel zur Berechnung eines dreieckigen Flächeninhaltes auch auf dein Arbeitsblatt (die vollständige Formel findest du unter "Tipp 1").

Falls du zu den beiden Themen weitere Aufgaben zur Wiederholung benötigst

Aufgabe 3: Quadratische Flächeninhalte berechnen

a) $a=7{\text{ m}}$

b) $a=9{\text{ dm}}$

c) $a=3,5{\text{ cm}}$

a) $A=49{\text{ m²}}$

b) $A=81{\text{ dm²}}$

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=12,25\text{ cm²}}

Aufgabe 4: Dreieckige Flächeninhalte berechnen

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=8\text{ m}, h=3\text{ m}}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=12\text{ cm}, h=4\text{ cm}}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=15\text{ dm}, h=12\text{ dm}}

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=12\text{ m²}}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=24\text{ cm²}}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=90\text{ dm²}}

Aufgabe 5: Dreieckige Flächeninhalte berechnen Teil 2

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=9\text{ m}, h=3\text{ dm}}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=10\text{ cm}, h=0,6\text{ m}}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=3\text{ m}, h=800\text{ cm}}

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=135\text{ dm²}}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=300\text{ cm² oder }A=30\text{ dm² }}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=12\text{ m²}}

Oberflächeninhalte berechnen

Pyramiden im Alltag

Lies dir eine der folgenden Kurzgeschichten durch und löse anschließend den nachstehenden Arbeitsauftrag.

1981 initiierte der damalige französische Staatspräsident das Projekt „Grand-Louvre“. Im Rahmen dessen wurde der Architekt Ieoh Ming Pei beauftragt, die heutige Glaspyramide im Zentrum des Palastes zu entwickeln. Die Blaupause steht und die Vision ist klar: Die Pyramide soll komplett mit Glas umfasst werden! Nun geht es darum zu ermitteln, wie viele der rautenförmigen Glasscheiben hergestellt werden müssen.

Kheops-Pyramid

Die Cheops-Pyramide ist die älteste und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird deshalb auch als „Große Pyramide“ bezeichnet. Die höchste Pyramide der Welt wurde als Grabmal für den Pharao Cheops etwa 2620 v. Chr. errichtet und gilt heutzutage als eines der sieben Weltwunder der Antike. Natürlich mussten ausreichend Steine gehauen werden, um den Bau zu vollenden. Der zuständige Untertan stand vor der Aufgabe, die passende Anzahl zu berechnen.

Im Zweiten Weltkrieg wurde der St.-Paulus-Dom in Münster durch Bombentreffer schwer beschädigt. In den Jahren 1946 bis 1956 wurde der Dom wieder aufgebaut. Unter anderem mussten die pyramidenförmigen Kirchturmspitzen wieder mit neuen Dachziegeln belegt werden, doch die Materialien in der Nachkriegszeit waren knapp. Somit soll eine möglichst passende Anzahl berechnet werden.

 

Aufgabe 6: Materialien berechnen

Überlege dir bei einer der Geschichten, wie man das Problem mathematisch lösen könnte. Schreibe deine Überlegungen auf und stell dir dabei vor, du müsstest deinen Arbeitgeber von deinen Überlegungen überzeugen.

Kannst du dein Vorgehen auch verallgemeinern und auf die anderen Probleme anwenden? Falls dir dies schwer fällt, schau dir genau den nächsten Abschnitt an!

Formel aufstellen

Wie du bereits im vorherigen Kapitel entdeckt hast, lässt sich die Oberfläche einer Pyramide in ein Gitternetz überführen, indem man die Pyramide 'aufklappt' und die Seitenflächen auf eine Ebene projiziert.

Das so entstandene Gitternetz besteht somit aus einer Grundfläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und den dreieckigen Seitenflächen, welche zusammen die sogenannte Mantelfläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} bilden.

Den Flächeninhalt des gesamten Gitternetzes nennt man den Oberflächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} . Du kannst dir diese Größe als Menge an Verpackung vorstellen, die du benötigst, um das pyramidenförmige Objekt zu umschließen.

Merksatz: Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt einer Pyramide lässt sich durch die Summe ihrer Grundfläche und ihrer Mantelfläche berechnen. Als Formel ergibt sich somit:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = M + G} .

Im Falle einer quadratischen Pyramide, welche ihre Spitze über der Mitte ihrer Grundfläche hat, ergibt sich für die Grundfläche die Fläche eines Quadrates und für ihre Mantelfläche die Flächeninhalte von vier gleichgroßen Dreiecken.

Beispiel: Oberflächeninhalt berechnen

Sei wie rechts eine Pyramide gegeben mit einer Kantenlänge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = 5\text{cm}} und einer Seitenhöhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_a = 6\text{cm}} .

Grundfläche G:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = a \cdot a}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = 5 \cdot 5 = 25}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = 25 \text{cm²}} .

Seitenfläche A:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a\cdot h_a}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = 15\text{cm²}}

Mantelfläche M:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = 4 \cdot A}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = 4 \cdot 15 = 60}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = 60\text{cm²}} .

Oberfläche O:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = G + M}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = 25 + 60 = 85}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = 85\text{cm²}}

Um Aufgabe 6 zu lösen, wäre somit ein geeigneter Ansatz, die Mantelfläche der pyramidenförmigen Gebilde zu berechnen. Anstatt die Bestandteile einzeln zu zählen, bedarf es demnach nur der Kantenlänge und der Seitenhöhe.

Aufgabe Lückentext (wie Beispiel)

Aufgabe 7: Oberflächeninhalte verschiedener Pyramiden berechnen

Kehre nun zum Arbeitsblatt zurück und bearbeite die Aufgabe 7 zum Einüben des Verfahrens.

Aufgabe 8: Tetraeder?

Azra hat zur Berechnung an einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche sehr viele Größen gemessen, um auf alles vorbereitet zu sein. Allerdings sollte sie nur den Oberflächeninhalt berechnen.

Kevin erwidert, dass dies ja viel zu viel Arbeit sei, da man doch nur eine der Seitenflächen benötigt. Schnell berechnet er:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = G + 3 \cdot A = \frac{1}{2} \cdot 6.4 \cdot 3.12 + \frac{1}{2} \cdot 15.4 \cdot 6 = 56,109} .

Stimmst du diesem Ergebnis zu oder war Kevin doch etwas zu voreilig? Berechne dazu selbst den Oberflächeninhalt und vergleiche dein Ergebnis!

Tatsächlich unterscheiden sich bei diesem Tetraeder die Kantenlängen, da es sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche handelt. Somit sind auch die Seitenflächen nicht deckungsgleich und müssen einzeln berechnet werden.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = G + M = G + A_a + A_b + A_c = G + \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b + \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c}

Pyramiden schätzen

Aufgabe 9: Oberfläche von Pyramiden schätzen

Ordne jedem Bild durch Schätzen den passenden Oberflächeninhalt zu (du musst hier nichts rechnen!):

Aufgabe 10: Oberfläche berechnen mit unbekanntem Parameter

Auf dem Bild rechts siehst du das Luxor Hotel und Casino. Es steht in Las Vegas und zeichnet sich vor allem durch seine Pyramidenform aus. Die Außenfassade besteht fast vollständig aus Glas und muss natürlich regelmäßig geputzt werden. Dafür soll eine neue Reinigungsfirma engagiert werden. Diese möchte aber vorab wissen, wie viele Quadratmeter circa zu putzen sind. Du weißt, dass das Gebäude 107 m hoch ist und 106,7 m breit.

a) Welche Angabe, die du zur genauen Berechnung der zu reinigenden Fläche benötigst, fehlt?

Achte genau darauf, welche Höhe gegeben ist und welche Höhe du zur Berechnung der Seitenflächen benötigst.

b) Berechne die Größe der zu reinigenden Fläche, indem du die fehlende Angabe schätzt.

Das Luxor Hotel und Casino kam auch schon in der Aufgabe 9 vor. Um deine Ergebnis zu kontrollieren, kannst du dies mit der Lösung aus Aufgabe 9 abgleichen.

Kehre nun zum Arbeitsblatt zurück und bearbeite die Aufgabe x.

Aufgabe 11: Oberfläche vom Louvre schätzen

Unter folgendem Link [[1]] findest du eine Streetview-Ansicht vom Louvre. Bestimme nun den Oberflächeninhalt der Glasfläche, indem du die benötigten Parameter vorerst schätzt.

Vertiefen und Vernetzen

Aufgabe 12: Zusammengesetzte Körper

Die 23 Schülerinnen und Schüler einer fünften Klasse sollen vor Weihnachten in der Schule eigene Nikolaushäuschen bauen, die einen quaderförmigen Körper mit einem Walmdach haben sollen. Ein Modell dieses Häuschens siehst du in dem GeoGebra-Applet abgebildet.

Folgende Daten soll das Häuschen haben: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=6 \text{ cm}, b=1,2 \text{ dm}, c=0,5 \text{ dm}, d=6 \text{ cm}, h_a=5 \text{ cm}, h_b=5 \text{ cm}} .

Berechne, wie viel Pappe die Lehrkraft mitbringen muss, wenn alle Schülerinnen und Schüler der Klasse ein Häuschen bauen sollen.

Die Dachfläche besteht aus zwei gleich großen Trapezen und zwei gleich großen Dreiecken.

Die Formel für den Flächeninhalt der Trapeze lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\frac{b+d}{2} \cdot h_b}

Wir berechnen als erstes den Oberflächeninhalt des Quaders. Die Grundfläche berechnet sich aus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=a \cdot b=6 \cdot 12=72 \text{ cm²}} .

Als nächstes wird die Mantelfläche des Quaders berechnet.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{Quader}=2 \cdot a \cdot c+2 \cdot b \cdot c=2 \cdot 6 \cdot 5+2 \cdot 12 \cdot 5=60+120=180 \text{ cm²}}

Nun berechnen wir die Mantelfläche des Walmdaches. Zunächst berechnen wir die Fläche des Dreiecks:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{Dreick}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5=15 \text{ cm²}} .

Nun fehlt noch die Fläche des Trapzes:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{Trapez}=\frac{b+d}{2} \cdot h_b=\frac{12+6}{2} \cdot 5=45 \text{ cm²}} .

Wir erhalten insgesamt für die Mantelfläche des Walmdaches:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{Walmdach}=2 \cdot A_{Dreick}+2 \cdot A_{Trapez}=2 \cdot 15+2 \cdot 45=30+90=120 \text{ cm²}} .

Insgesamt erhalten wir also: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=G+M_{Quader}+M_{Walmdach}=72+180+120=372 \text{ cm²}} .

Für 23 Schülerinnen und Schüler muss die Lehrkraft also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 23 \cdot 372=8556 \text{ cm²}} Papier mitbringen.

Aufgabe 13: Pyramidenstumpf

Slovak Radio Building

Das Slovak Radio Building in Bratislava (Slowakei) hat die Form eines umgedrehten quadratischen Pyramidenstumpfes. Das Gebäude soll eine neue Glasfassade sowie ein neues Glasdach erhalten, die aus Sicherheitsglas bestehen sollen. Das Gebäude ist an der unteren Kante Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 22,59 \text{ m}} breit, an der oberen Kante Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 74,33 \text{ m}} breit und ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 42,7 \text{ m}} hoch. Die Seitenhöhe der Fassade beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 49,7 \text{ m} } .

a) Berechne, wie viel Quadratmeter des Sicherheitsglases für die neue Fassade und das Dach benötigt werden. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Die Seitenflächen des Gebäudes sind trapezförmig.

Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\frac{a+c}{2} \cdot h}

Wir berechnen die Lösung nach der oben aufgestellten Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=M+G.}

Die Mantelfläche besteht hier aus vier identischen Trapezen, mit den Kantenlängen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=74,33\text{ m}, c=22,59\text{ m}} und der Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_a=49,7\text{ m}} . Es gilt somit für eine Seitenfläche:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{Trapez}=\frac{a+c}{2} \cdot h_a=\frac{74,33+22,59}{2} \cdot 49,7=2408,462 \text{ m²} \approx 2408,46 \text{ m²}} .

Für die Mantelfläche folgt dann: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=4 \cdot A_{Trapez}=4 \cdot 2408,46=9633,84 \text{ m²}} .

Die Grundfläche ist in diesem Fall das Dach des Gebäudes, welches ebenfalls aus Glas bestehen soll:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=a^2=74,33 \cdot 74,33=5524,9489 \text{ m²} \approx 5524,95 \text{ m²}}

Zusammen gilt dann: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=M+G=9633,84+5524,95=15158,79 \text{ m²}}

Es werden insgesamt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15158,79 \text{ m²}} Sicherheitsglas benötigt.

b) Das Sicherheitsglas kostet im Handel ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 75 \text{ €/m²}} . Bei der Montage der Fassade werden immer einige Glasplatten beschädigt, sodass 2% mehr Glas gekauft wird, als eigentlich für die Fassade benötigt wird. Berechne, wie hoch die Materialkosten sind, die für die neue Fassade entstehen.

Wir berechnen zunächst die zu bestellende Glasmenge: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15158,79 \cdot 1,02=15461,9658 \text{ m²} \approx 15461,97 \text{ m²}}

Nun folgt für den Materialpreis: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15461,97 \cdot 75=1159647,75 \text{ €}}

Das Material für die neue Fassade kostet insgesamt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1159647,75 \text{ €}}

Aufgabe 14: Tipi

Tipi

Für ein Tipi-Modell soll eine Plane hergestellt werden. Das Tipi ist in der Abbildung rechts maßstabsgetreu abgebildet. Zur Vereinfachung kannst du annehmen, dass das Tipi die Form einer regelmäßigen achteckigen Pyramide hat, die an einer der Seitenflächen eine halbrunden Öffnung enthält. Der Boden des Tipis wird nicht mit einer Plane ausgekleidet. [Jede der acht Seitenflächen des Tipis ist an der Grundkante Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1,08 \text{ m}} breit und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3,02 \text{ m}} hoch. Die halbrunde Öffnung hat einen Durchmesser von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 78 \text{ cm}} .]

Berechne, wie viel Quadratmeter Zeltplane für ein Tipi benötigt wird.

Schätze die benötigten Größen zur Berechnung der Fläche, indem du den abgebildeten Menschen als Referenzgröße verwendest.

Der gesuchte Flächeninhalt berechnet sich aus der Mantelfläche abzüglich des halbrunden Eingangs.

Bei dem Eingang handelt es sich um einen Halbkreis. Der Flächeninhalt dieses Halbkreises lässt sich mit der Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \pi} berechnen.

Wir berechnen zunächst die Mantelfläche der achteckigen Pyramide. Dazu müssen wir zunächst die fehlenden Daten schätzen. Wir nehmen an, dass der Mensch ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1,70 \text{ m}} groß ist. Wir schätzen daher, dass die Seitenhöhe des Tipis ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4,1 \text{ m}} beträgt (da wir die Gesamthöhe auf ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3,8 \text{ m}} geschätzt haben). Die Breite einer Grundkante schätzen wir auf ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1,3 \text{ m}} (da wir den Durchmesser des Achtecks auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3,5 \text{ m}} geschätzt haben). Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt einer einzelnen Seitenfläche (also eines Dreiecks) der achteckigen Pyramide:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot 1,3 \cdot 4,1=2,665 \text{ m²} \approx 2,67 \text{ m²}}

Als nächstes berechnen wir den Mantelflächeninhalt der Pyramide: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=8 \cdot A_{Dreieck}=8 \cdot 2,67=21,36 \text{ m²}}

Wir schätzen den Durchmesser des Halbkreises auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1,5 \text{ m}} . Nun berechnen wir den Flächeninhalt des Halbkreises und ziehen diesen dann von der Mantelfläche ab:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{Kreis}=\frac{1}{2} \cdot 0,75^2 \cdot \pi \approx 0,88 \text{ m²} \Rightarrow A_{gesucht}=21,36-0,88=20,48 \text{ m²}}

Für ein Tipi werden ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20,48 \text{ m²}} Zeltplane benötigt.

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