Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

Info

worum es hier geht

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Motivation?

• ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Das Lotfußpunktverfahren

Aufgabe 1⭐: Überblick: Abstand Punkt Ebene

Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.

Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt:

1. Die Gleichung für die zu $E$ orthogonale Gerade $g$ (also die Lotgerade) durch $P$ aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor ${\vec {p}}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor ${\vec {n}}$ von $E$ nutzen: $g:{\vec {x}}={\vec {p}}+{\vec {t}}*{\vec {n}}$.
2. Den Schnittpunkt $L$ von der Lotgeraden $g$ und der Ebene $E$ bestimmen. $L$ ist der Lotfußpunkt.
3. Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $L$ bestimmen, indem man den Betrag des Vektors ${\vec {PL}}$ berechnet.

Aufgabe 1: Abstände von Punkt-Ebene zuordnen

Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen $E,F,G$ zum Punkt $P(3|4|-2)$. Ordne dann den Ebenen dem jeweiligen Abstand $d$ zu. Weitere Lösungen: $d\approx 4,653$ $d\approx 2,762$ $d=-2$ $d=3$

$E:2x_{1}+6x_{2}-4x_{3}=-32$

$F:{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}*({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}})=0$

$G$: die $x_{1}x_{2}$-Ebene

Du kannst auch immer die Hesse´sche Normalenform zur Berechnung benutzten. Im Folgenden wurden die Abstände mit dem Lotfußpunktverfahren berechnet.

Abstand von $E:2x_{1}+6x_{2}-4x_{3}=-32$ und $P(3|4|-2)$: Die Gleichung für die zu $E:2x_{1}+6x_{2}-4x_{3}=1$ orthogonale Gerade $g$ (also die Lotgerade) durch $P(3|4|-2)$ aufstellen: $l:{\vec {x}}={\vec {p}}+t*{\vec {n}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}+t*{\begin{pmatrix}2\\6\\-4\end{pmatrix}}$.

Den Lotfußpunkt $A$ bestimmen: $E:2(3+2t)+6(4+6t)-4(-2-4t)=32\Rightarrow t=-1,25$

$t$ in  $l$ einsetzten: $l:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}-1,25*{\begin{pmatrix}2\\6\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5\\-3,5\\3\end{pmatrix}}$

Der Lotfußpunkt $A$ ist $A(0,5|-3,5|3)$.

Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $A$ bestimmen: $d(P,A)=|{\vec {P,A}}|={\sqrt {(}}(0,5-3)^{2}+(-3,5-4)^{2}+(3-(-2))^{2})\approx 9,354$

$d\approx 9,354$

Abstand von $F:{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}*({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}}))=0$ und $P(3|4|-2)$:

$F$ in Koordinatenform umschreiben: $F:{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}*({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}})=0\Leftrightarrow F:x_{1}+x_{2}+2x_{3}=10$ Wenn du hierbei noch Probleme hast, dann schau dir doch nochmal Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum an.

Zu $F$ senkrechte Gerade $m$ durch $P$ aufstellen: $m:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}+s*{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}$

Koordinaten der Geradengleichung $m$ in $F$ einsetzten: $F:(3+s)+(4+s)+2(-2+2s)=10\Leftrightarrow s={\frac {7}{6}}$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle m:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}+\frac{7}{6}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=begin{pmatrix} \frac{25}{6} \\ \frac{31}{6} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}} Der Lotfußpunkt $B$ ist $B({\frac {25}{6}}|{\frac {31}{6}}|{\frac {1}{3}})$.

Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $B$ bestimmen: $d(P,B)=|{\vec {P,B}}|={\sqrt {(}}({\frac {25}{6}}-3)^{2}+({\frac {31}{6}}-4)^{2}+({\frac {1}{3}}-(-2))^{2})\approx 2,858$

$d\approx 2,858$

Abstand von der $x_{1}x_{2}-Ebene$ zum Punkt $P(3|4|-2)$:

Sollst du den Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene bestimmen, so kannst du diesen einfach ablesen und musst ihn nicht berechnen. Der Abstand hier beträgt $2$, da $|-2|$ die $x_{3}$ Koordinate von $P$ ist und damit den Abstand zur $x_{1}x_{2}-Ebene$ anzeigt.

Beachte: ein Abstand ist immer positiv und da $|-2|=2$ ist der Abstand $2$.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle d\=2}

Arbeitsmethode

Weitere Aufgaben:

• stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
• Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
• Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)

Aufgabe 2: Glaspyramide

a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung $E:2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=7$ beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt $S(4,5|9|3,5)$. Eine Längeneinheit $LE$ im Koordinatensystem entpricht $4m$.

Welche Höhe hat die Pyramide in $m$?

Text zum Verstecken

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze $S$ und der Ebene $E$ bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden $g$ zu $E$ durch $P$ aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von $S$ als Stützvektor und den Normalenvektor von $E$ als Richtungsvektor, also: $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}4,5\\9\\3,5\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$.

Wir bestimmen den Schnittpunkt von $g$ mit $E$. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von $g$ in $E$ ergibt $(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7$, also $t=-2$. Durch Einsetzen in die Geradengleichung ${\begin{pmatrix}4,5\\9\\3,5\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5\\7\\-0,5\end{pmatrix}}$ erhalten wir den Lotfußpunkt $L(0,5|7|-0,5)$. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen S und L beträgt $6LE$ wegen $|{\vec {SL}}|={\sqrt {(}}(4,5-0,5)^{2}+(9-7)^{2}+(3,5-(-0,5))^{2})=6$. Die Pyramide hat also eine Höhe von $24m$.

Die Pyramide hat eine Höhe von $24m$.

Spitze der invertierten Glaspyramide

b) An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils $10m$. Die Grundfläche hat $12m$ lange Diagonalen, die sich im Punkt $(38|1|-35)$ schneiden. In welchem Punkt $S_{2}$ liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?

Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von $E$ zur Spitze gelangen.

Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen:

Es ist ${\sqrt {10^{2}-6^{2}}}={\sqrt {(}}64)=8$, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide $8m$, was $2LE$ im Koordinatensystem entspricht.

Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von $2LE$ zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt $M(38|1|-35)$ der Grundfläche aus $2LE$ entlang der Geraden, die orthogonal zu $E$ ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht $2LE$ in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von $E$.

Es ist $|vec{n}|=|{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}|={\sqrt {2^{2}+1^{2}+2^{2}}}=3,alsoistvec{n_{0}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$.

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt $S_{2}$ die Spitze liegt:

Es ist ${\begin{pmatrix}38\\1\\-35\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}36{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\-36{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$, also erhält man $S_{2}=(36{\frac {2}{3}}|{\frac {1}{3}}|-36{\frac {1}{3}})$

Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt $S_{2}=(36{\frac {2}{3}}|{\frac {1}{3}}|-36{\frac {1}{3}})$.

Die Hesse´sche Normalenform

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.

Merke: Die Hesse´sche Normalenform

Den Abstand von einem Punkt $P$ zu einer Ebene $E$ kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene $E$ durch die Koordinatengleichung $a*x_{1}+b*x_{2}+c*x_{3}=d$ bzw. durch die Normalenform ${\vec {n}}*{\vec {OX}}$ mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} } und ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3)} .

Stelle nun die HNF der Ebene auf:

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} } ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} }

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}} .

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2|p_3)} in die HNF ein und berechne den Abstand:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}}

Aufgabe 1:

Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(3|4|-1)} und ein Falke schwebt auf der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(1|7|4)} . Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 8x_1-4x_2-x_3=5} .

Der Normalenvektor der Ebene ist: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} }

Länge des Normalenvektors Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{n} } bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 }

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8*x_1-4*x_2-1*x_3-5|}{9}} .

Nun werden die Koordinaten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8*3-4*4-1*(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}}

Die Koordinaten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} können in die selbe HNF eingesetzt werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {|8*(-1)-4*7-1*4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5} .

Damit hat die Drohne einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} zum Schuldach und der Falke einen Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} . Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.

Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{3}} und der Abstand des Falken zum Dach beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} . Damit ist der Abstand der Drohne geriner.

Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E: 2x_1-3x_2+6x_3=13} . Bestimme zur Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} zwei parallele Ebenen, die von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} den Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} haben.

Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} sind

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} .

Ansatz: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G:2x_1-3x_2+6x_3=h }

$P(p_{1}|p_{2}|p_{3})$ sei ein Punkt der Ebene $G$.

Es gilt: $Abst(P;E)={\frac {|2p_{1}-3p_{2}+6p_{3}-13|}{\sqrt {2^{2}-3^{2}+6^{2}}}}={\frac {|2p_{1}-3p_{2}+6p_{3}-13|}{\sqrt {49}}}={\frac {|2p_{1}-3p_{2}+6p_{3}-13|}{7}}={\frac {|h-13|}{7}}$.

$Abst(P;E)=5$ nach Aufgabenstellung. Daher gilt: ${\frac {h-13}{7}}=5$ oder ${\frac {h-13}{7}}=-5$.

Stelle nun beide Gleichungen nach $h$ um. Es folgt: $h_{1}=48$ und $h_{2}=-22$.

Dies wird nun in die Ebenengleichung von $G$ eingesetzt:

$G_{1}:2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=48$ $G_{2}:2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=-22$

$G_{1}$ und $G_{2}$ haben nun beide den Abstand $5$ zur Ebene $E$.

$G_{1}:2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=48$ und $G_{2}:2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=-22$

haben beide den Abstand $5$ zu $E$.

Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 5 Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt $Q$ auf der Geraden $g$, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten $P$ und $Q$ anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt $P$ zur Geraden $g$ am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen $g$ und der Geraden durch $P$ und $Q$? Wie nennt man $Q$ dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

Dies ist der Link zur GeoGebra App, falls die Anzeige bei dir nicht funktioniert:https://www.geogebra.org/material/show/id/cFTUcwnd#

Der Abstand $Abst(P,Q)=d(P,g)$ ist am kleinsten, wenn $vec{PQ}$ orthogonal zu $g$ ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt $Q$ den Lotfußpunkt von $P$ auf $g$.

Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g$ ist der Abstand von $P$ und $L$, wobei $L$ der Lotfußpunkt von $P$ auf $g$ ist.

Für die Bestimmung des Abstandes $d(P,g)=d(P,G)$ gibt es zwei verschiedene Verfahren:

1. Verfahren (Hilfsebene): Stelle eine Hilfsebene $H$ (in Koordinatenform) auf, die den Punkt $P$ enthält und orthogonal zu zu $g$ ist. Dafür kannst du als Stützvektor ${\vec {p}}$ und als Normalenvektor den Richtungsvektor von $g$ nehmen. Bestimme den Schnittpunkt $L$ von $g$ und $H$ durch Einsetzen. Zuletzt berechne den Abstand $d(P,g)=d(P,L)$.

2. Verfahren (Orthogonalität): Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von $P$ zu einem beliebigen Geradenpunkt $L$ in Abhängigkeit vom Geradenparameter $r$. Wähle $r$ so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden $g$ ist.

Berechne nun den Abstand $d(P,g)=d(P,L)$.

Die richtige Reihenfolge

Im Folgenden wurde der Abstand von $A(3|9|-2)$ und $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}9\\-3\\2\end{pmatrix}}+s*{\begin{pmatrix}4\\-5\\-7\end{pmatrix}}$ bestimmt. Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.

Aufgabe 6: Lichterkette

Für ein Stadtfest soll von der Spitze $P(-2|3|10)$ eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}}$ eine Lichterkette gespannt werden.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

Die Lichterkette muss mindestens $5,48Meter$ lang sein.

1. Stelle die Hilfsebene $H$ in Koordinatenform auf:

$-4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=37,da{\begin{pmatrix}-2\\3\\10\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}}=37$

1. Schnittpunkt von $g$ und $H$ bestimmen:

$-4*(1-4r)+3*(2+3r)+2*(3+2r)=37\Leftrightarrow -4+16r+6+9r+6+4r=37\Leftrightarrow 8+29r=37\Leftrightarrow 29r=29\Leftrightarrow r=1$

1. $r$ in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} einsetzten, um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} zu bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1*\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow L(-3|5|5) }

1. Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,L)=d(P,L) } bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(P,L)=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5+10)^2}=\sqrt{30}\approx 5,477}

Die Lichterkette muss mindestens Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5,48 Meter} lang sein.

Aufgabe 7: Dreieck

Es sind die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(2|8|1) } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(0,5|3,5|7) } gegeben, durch sie verläuft die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } . Die Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{BC} } bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} liegt auf der zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g } parallelen Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} } . a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} ändert sich, je nachdem wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} verschieben.

Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h} berechnen, wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Abst(A,g)} immer gleich, da sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf einer zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h} nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC} .

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Wir bestimmen zunächst die Länge $G$ der Grundseite: Es $Abst(B,C)={\sqrt {(}}(2-0,5)^{2}+(8-3,5)^{2}+(1-7)^{2})={\sqrt {(}}58,5)$.

Nun bestimmen wir die Höhe $h$, also den Abstand der parallelen Geraden $g$ und $j$ mithilfe des Verbindungsvektors von $B$ zur Geraden $j$.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt $L_{s}=(1+t|1+3t|2-4t)$ ist ein allgemeiner Punkt auf $j$. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen $B$ und $j$ ist also gegeben durch ${\vec {BL_{s}}}={\begin{pmatrix}(1+t)-2\\(1+3t)-8\\(2-4t)-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+t\\-7+3t\\1-4t\end{pmatrix}}$. Damit ${\vec {BL_{s}}}$ orthogonal zum Richtungsvektor von $j$ ist, muss gelten: ${\begin{pmatrix}-1+t\\-7+3t\\1-4t\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}=0$ bzw. $(t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3+(1-4t)\cdot (-4)$, also $t=1$. Für $L=(2|4|-2)$ ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist $h=Abst(B,j)=Abst(B,L)={\sqrt {(}}(2-2)^{2}+(4-8)^{2}+(-2-1)^{2})={\sqrt {(}}25)=5$.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $F={\frac {1}{2}}\cdot G\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(}}58,5)\cdot 5\approx 19,12$ Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $19,12$ Flächeneinheiten.

• Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Abstand zweier windschiefer Geraden

• Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
• Janne: Merksatz
• Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Gemischte Aufgaben

• auf Anfangsaufgabe zurückkommen
• 3 Aufgaben

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!