Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

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In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Punkten und Vektoren im Raum. Du lernst, das Prisma von anderen geometrischen Körpern abzugrenzen sowie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Wiederholung von Punkten und Vektoren

Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren

Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung mit dem Punkt verbindet, dem Ortsvektor. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen.

Zum Punkt $A(1,2,3)$ gehört also der Ortsvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} } .

Aufgabe 1: Koordinatensysteme

Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

1. Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
2. Zeichne die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (1|2|1)} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(1|4|2)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(1|2|-1,5)} und $D(1|4|-0,5)$ in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
3. Nutze den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A (1|2|1)} aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E (-1|2|1)} ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(1|0|1)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(-1|0|1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(0|1|5) } . Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

Aufgabe 2: Punkte im Koordinatensystem

Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen?

Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen?

Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem

Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(0|0|0)} . Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? Pyramide mit Grundfläche '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"' und Scheitelpunkt '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'

Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B } ,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D }  ?

	$B(5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0)$
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) }

Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.

Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?

	Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 LE^2 } .
	Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 LE^2 } .
	Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 25 LE^2 } .

Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.

Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?

	Der Scheitelpunkt liegt bei $S(2,5|2,5|6)$.
	Der Scheitelpunkt liegt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S (5|5|5) } .
	Der Scheitelpunkt liegt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S (2,5|2,5|5) } .

Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.

Aufgabe 4: Vektoren

Betrachte die dargestellten Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}} .

Für den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} gilt

${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+{\vec {v}}+{\vec {u}}+{\vec {w}}$.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} }
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} }
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} }
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} }
5. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}}
6. ${\begin{pmatrix}0,5\\2\\1\end{pmatrix}}+{\vec {w}}+{\vec {u}}+{\vec {v}}$
7. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}}
8. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}}
9. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}}
10. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} }

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} }
2. ${\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}$
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} }
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }
5. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} }
6. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} }
7. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} }
8. ${\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
9. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} }
10. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }

Aufgabe 5: Ortsvektoren

Aufgabe 6: Gerichtete Größen

Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}}

Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.

Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} }

	4
	5
	6
	7

2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} }

	11
	12
	13
	14

3 ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$

	1
	2
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2} }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2} }

Berechne den Abstand der Punkte:

1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(2|-4|1) } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(4|-4|-2) }

	3
	6
	9
	12

2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(8|9|10) } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(2|6|8) }

	9,5
	7
	8
	6,5

Gegeben ist ein Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC } mit den Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(-3|0|-2) } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(1|2|2) } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(-3|3|2) } . Berechne den Umfang des Dreiecks.

	14,123
	11,256
	15,123
	13,894

Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren

Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei Rechenoperationen für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die Vektoraddition bezeichnet das bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben. Man bildet die Summe, indem man die Einträge der Vektoren komponentenweise addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „Aneinanderlegen“ von zwei Strecken von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}} Vektoren. Wir deuten diese als Pfeile und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der Anfang von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b} } und die „Spitze“ von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der Physik bekannt. Dort werden oftmals Kräfte und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} + \vec{b} } als Hintereinander-Ausführen der durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b} } dargestellten Verschiebungen gesehen werden kann.

Das Bilden des Vielfachen eines Vektors wird auch als Multiplikation mit einem Skalar bezeichnet. Wir nennen unseren Vektor wieder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } und das Skalar bezeichnen wir mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c } . Von jedem Vektor kann das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c } -Fache gebildet werden, indem alle Komponenten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c } multipliziert werden. Ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c>0 } so wird der „Pfeil“ von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } um den Faktor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c } aufgeblasen (falls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c > 1} ) oder geschrumpft (falls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c < 1} ). Ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c<0} , so erhält der Pfeil, der um den Faktor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c } aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine Richtungsumkehrung und wird zum Gegenvektor.

Wir nennen zwei Vektoren kollinear (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mit anderen Worten: Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b} } zwei verschiedene Vektoren sind, so sind sie parallel/kollinear zueinander, falls ein Skalar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c } existiert, sodass gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ca=b } . Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen oder nicht.

 

Aufgabe 10: Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe - Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(3|3|5)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(3,5|3,5|1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(6,5|2,5|3) } gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

	rechtwinkliges Dreieck
	gleichseitiges Dreieck
	gleichschenkliges Dreieck

b) Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P } nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P } haben, damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P } gemeinsam mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C } die Eckpunkte einer Raute bildet?

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(7|3|-1)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-7|-3|1)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(5|2|-3)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(-5|-2|3)}

Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.

Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.

Verwende den Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{ AC }} am Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B } .

c) wir betrachten nun wieder das Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC } . Ein neuer Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q } solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC } ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q } ? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(6|2|7)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(7|4|3)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0|4|3)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(6|3|-1)}

Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC } und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte.

Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.

Verwende den Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{ CA }} am Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B } und den Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{ BA } } am Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C } .