Dieser Lernpfad befindet sich aktuell im Aufbau.
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In diesem Lernpfadkapitel lernst du
- wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt schätzen kannst.
- wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt berechnen kannst.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!
Wiederholung(Optional)
Um die Oberfläche einer Pyramide zu bestimmen, ist es wichtig, dass du weißt, wie man den Flächeninhalt von Quadraten und von Dreiecken bestimmt. Wenn du dich noch daran erinnerst, wie man diesen bestimmt, trage die Formeln direkt auf deinem Arbeitsblatt ein und starte bei "Oberflächeninhalte berechnen". Wenn du dir noch etwas unsicher bist und eine kurze Wiederholung brauchst, bearbeite die folgenden Aufgaben.
Quadratischen Flächeninhalt berechnen
Aufgabe 1: Flächeninhalt vom Quadrat
Berechne den Flächeninhalt des folgenden Quadrates:
Gib im zweiten Kästchen die richtige Einheit an.
Die Formel zur Berechnung eines quadratischen Flächeninhalts lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=a*a}
Flächeninhalte werden in cm² angegeben. Um "²" einzufügen, drücke gleichzeitig die Tasten "Alt Gr" und "2"
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=4 \text{ cm} * 4 \text{ cm} =16 \text{ cm²}}
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Übertrage die Formel zur Berechnung eines quadratischen Flächeninhaltes auch auf dein Arbeitsblatt (die vollständige Formel findest du unter "Tipp 1").
Dreieckigen Flächeninhalt berechnen
Aufgabe 2: Flächeninhalt vom Dreieck
Berechne den Flächeninhalt des folgenden Dreiecks:
Gib auch hier im zweiten Kästchen die richtige Einheit an.
Die Formel zur Berechnung eines dreieckigen Flächeninhaltes lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\tfrac{g * h}{2}}
Flächeninhalte werden in cm² angegeben. Um "²" einzufügen, drücke gleichzeitig die Tasten "Alt Gr" und "2"
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A= \tfrac{4 \text{ cm} * 6 \text{ cm}}{2} =12 \text{ cm²}}
Info
Übertrage die Formel zur Berechnung eines dreieckigen Flächeninhaltes auch auf dein Arbeitsblatt (die vollständige Formel findest du unter "Tipp 1").
Falls du zu den beiden Themen weitere Aufgaben zur Wiederholung benötigst, klicke hier
Aufgabe 3: Quadratische Flächeninhalte berechnen
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=7\text{ m}}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=9\text{ dm}}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=3,5\text{ cm}}
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=49\text{ m²}}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=81\text{ dm²}}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=12,25\text{ cm²}}
Aufgabe 4: Dreieckige Flächeninhalte berechnen
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=8\text{ m}, h=3\text{ m}}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=12\text{ cm}, h=4\text{ cm}}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=15\text{ dm}, h=12\text{ dm}}
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=12\text{ m²}}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=24\text{ cm²}}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=90\text{ dm²}}
Aufgabe 5: Dreieckige Flächeninhalte berechnen Teil 2
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=9\text{ m}, h=3\text{ dm}}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=10\text{ cm}, h=0,6\text{ m}}
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=3\text{ m}, h=800\text{ cm}}
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=135\text{ dm²}}
b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=300\text{ cm² oder }A=30\text{ dm² }}
c) 
Oberflächeninhalte berechnen
Pyramiden im Alltag
Lies dir eine der folgenden Kurzgeschichten durch und löse anschließend den nachstehenden Arbeitsauftrag.
1981 initiierte der damalige französische Staatspräsident das Projekt „Grand-Louvre“. Im Rahmen dessen wurde der Architekt Ieoh Ming Pei beauftragt, die heutige Glaspyramide im Zentrum des Palastes zu entwickeln. Die Blaupause steht und die Vision ist klar: Die Pyramide soll komplett mit Glas umfasst werden! Nun geht es darum zu ermitteln, wie viele der rautenförmigen
Glasscheiben hergestellt werden müssen.
Kheops-Pyramid
Die Cheops-Pyramide ist die älteste und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird deshalb auch als „Große Pyramide“ bezeichnet. Die höchste Pyramide der Welt wurde als Grabmal für den Pharao Cheops etwa 2620 v. Chr. errichtet und gilt heutzutage als eines der sieben Weltwunder der Antike. Natürlich mussten ausreichend
Steine gehauen werden, um den Bau zu vollenden. Der zuständige Untertan stand vor der Aufgabe, die passende Anzahl zu berechnen.
Münster, St.-Paulus-Dom -- 2019 -- 3536
Im Zweiten Weltkrieg wurde der St.-Paulus-Dom in Münster durch Bombentreffer schwer beschädigt. In den Jahren 1946 bis 1956 wurde der Dom wieder aufgebaut. Unter anderem mussten die pyramidenförmigen Kirchturmspitzen wieder mit neuen
Dachziegeln belegt werden, doch die Materialien in der Nachkriegszeit waren knapp. Somit soll eine möglichst passende Anzahl berechnet werden.
Aufgabe 6: Materialien berechnen
Überlege dir bei einer der Geschichten, wie man das Problem mathematisch lösen könnte. Schreibe deine Überlegungen auf und stell dir dabei vor, du müsstest deinen Arbeitgeber von deinen Überlegungen überzeugen.
Kannst du dein Vorgehen auch verallgemeinern und auf die anderen Probleme anwenden? Falls dir dies schwer fällt, schau dir genau den nächsten Abschnitt an!
Formel aufstellen
Wie du bereits im vorherigen Kapitel entdeckt hast, lässt sich die Oberfläche einer Pyramide in ein Gitternetz überführen, indem man die Pyramide 'aufklappt' und die Seitenflächen auf eine Ebene projiziert.
Das so entstandene Gitternetz besteht somit aus einer Grundfläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}
und den dreieckigen Seitenflächen, welche zusammen die sogenannte Mantelfläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M}
bilden.
Den Flächeninhalt des gesamten Gitternetzes nennt man den Oberflächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O}
.
Merksatz: Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt einer Pyramide lässt sich durch die Summe ihrer Grundfläche und ihrer Mantelfläche berechnen. Als Formel ergibt sich somit:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = M + G}
.
Im Falle einer quadratischen Pyramide, welche ihre Spitze über der Mitte ihrer Grundfläche hat, ergibt sich für die Grundfläche die Fläche eines Quadrates und für ihre Mantelfläche die Flächeninhalte von vier gleichgroßen Dreiecken.
Beispiel: Oberflächeninhalt berechnen
Sei wie rechts eine Pyramide gegeben mit einer Kantenlänge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = 5\text{cm}}
und einer Seitenhöhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_a = 6\text{cm}}
.
Grundfläche G:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = a \cdot a}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = 5 \cdot 5 = 25}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = 25 \text{cm²}}
.
Seitenfläche A:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a\cdot h_a}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = 15\text{cm²}}
Mantelfläche M:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = 4 \cdot D}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = 4 \cdot 15 = 60}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = 60\text{cm²}}
.
Oberfläche O:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = G + M}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = 25 + 60 = 85}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = 85\text{cm²}}
Um Aufgabe 6 zu lösen wäre somit ein geeigneter Ansatz, die Mantelfläche der pyramidenförmigen Gebilde zu berechnen. Anstatt die Bestandteile einzeln zu zählen bedarf es demnach nur der Kantenlänge und der Seitenhöhe.
HIER BILD EINER PYRAMIDE MIT ZU VIELEN INFORMATIONEN: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = 3, a = 4, h_a = 5, s = 5,38}
Übungsaufgaben
Aufgaben, die einen digitalen Mehrwert haben
Übungsaufgaben mit Schwierigkeitsstufen (Dezimalbrüche, Maßeinheiten, Perspektive, ...) auf Arbeitsblatt
//Arbeitsblatt: Sicherung durch "Abschreiben" der Formel
Pyramiden schätzen
Einschätzungsaufgabe - Memory
Verschiedene Schwierigkeitstypen zum Schätzen (1. einen Parameter + Formel, 2. keine Vorgaben mehr <-- aufs Arbeitsblatt, 3. Streetview link vom Louvre)
Vertiefen und Vernetzen
Aufgabe x: Pyramidenstumpf
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:
Slovak Radio Building
Das Slovak Radio Building in Bratislava (Slowakei) hat die Form eines umgedrehten quadratischen Pyramidenstumpfes. Die Seiten sowie das Dach des Gebäudes sollen eine neue Glasfassade erhalten, die aus 12 mm starkem Sicherheitsglas bestehen soll. Das Gebäude ist an der unteren Kante 22,59 Meter breit, an der oberen Kante 74,33 Meter breit und ist 42,7 Meter hoch. Die Seitenhöhe der Fassade beträgt 49,7 Meter.
a) Berechne, wie viel Quadratmeter des 12 mm starken Glases für die neue Fassade und das Dach benötigt werden. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
b) Das Sicherheitsglas kostet im Handel ungefähr 75 €/m². Bei der Montage der Fassade werden immer einige Glasplatten beschädigt, sodass 2% mehr Glas gekauft wird, als eigentlich für die Fassade benötigt wird. Berechne, wie hoch die Materialkosten sind, die für die neue Fassade entstehen.
Die Seitenflächen des Gebäudes sind trapezförmig.
Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\frac{a+c}{2} \cdot h}
Wir berechnen die Lösung nach der oben aufgestellten Formel:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=M+G.}
Die Mantelfläche besteht hier aus vier identischen Trapezen, mit den Kantenlängen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=74,33\text{ m}, c=22,59\text{ m}}
und der Höhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_a=49,7\text{ m}}
. Es gilt somit für die Mantelfläche:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=4 \cdot \frac{a+c}{2} \cdot h_a=4 \cdot \frac{74,33+22,59}{2} \cdot 49,7=2408,462 \text{ [m²]} \approx 2408,46 \text{ [m²]}}
.
Die Grundfläche ist in diesem Fall das Dach des Gebäudes, welches ebenfalls aus Glas bestehen soll:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=a^2=74,33 \cdot 74,33=5524,9489 \text{ [m²]} \approx 5524,95 \text{ [m²]}}
Zusammen gilt dann: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=M+G=2408,46+5524,95=7933,41 \text{ [m²]}}
Es werden insgesamt
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7933,41 \text{ m²}}
Sicherheitsglas benötigt.
Wir berechnen zunächst die zu bestellende Glasmenge:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7933,41 \cdot 1,02=8092,0782 \text{ [m²]} \approx 8092,08 \text{ [m²]}}
Nun folgt für den Materialpreis: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8092,08 \cdot 75=606906 \text{ €}}
Das Material für die neue Fassade kostet insgesamt
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 606906 \text{ €}}
Aufgabe y: Tipi
Für ein Tipi-Modell soll eine Plane hergestellt werden. Das Tipi hat die Form einer sechseckigen Pyramide, die an einer Seite eine halbrunden Öffnung enthält. Der Boden des Tipis wird nicht mit einer Plane ausgekleidet.
[Daten für die Aufgabe:
Seitenhöhe des Tipis: m
Kantenlänge des Achtecks: dm
Ausgeschnittener Halbkreis mit Radius: cm]
Berechne, wie viel Zeltplane für ein Tipi benötigt wird.
Denke an die Aussparung für die Öffnung.
Hier steht die Lösung.
Aufgabe z: Zusammengesetzte Körper
zusammengesetzte Körper (Dachstuhl/Fachwerkhaus/Kirchturm)
??? Nikolaushäuschen (Quader mit Pyramidendach) selbst gebaut (Frage: Wie viel Pappe braucht man, wenn alle SuS einer Klasse ein Häuschen bauen sollen?, Verschnitt 20% miteinrechnen) ???
Hier steht ein Tipp.
Hier steht die Lösung.
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