Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion

5 Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Die Zuordnung der Sinuswerte zu einem Winkel ist eindeutig, d.h. es handelt sich um eine Funktion, die Sinusfunktion.
Auf dieser Seite lernst du die verschiedenen Darstellungen (Text, Wertetabelle, Gleichung und Graph) zur Sinusfunktion kennen. Auch die Sinusfunktion enthält die Parameter a, b, c und d und du erforscht deren Bedeutung.
Erinnerst du dich an die Bedeutung der Parameter m und b bei den linearen Funktionen f(x) = mx + b bzw. an die Bedeutung von a, d und e bei den quadratischen Funktionen f(x) = a(x + d)² + e?
Ebenso erforscht du die Sinusfunktion.

5.1 Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein besonderer Kreis: Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung M(0|0) und sein Radius beträgt r = 1 LE (Längeneinheit).
Auf den Kreisrand liegen also alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand 1 haben.

Am Einheitskreis lassen sich die Streckenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens gut verdeutlichen:

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Erkläre, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis dargestellt sind und welche Bedeutung sie für den Punkt P haben.

Originallink https://www.geogebra.org/m/p2hcjn3f

Applet von Buß-Haskert

5.2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Sinus und Kosinus am Riesenrad

Die Gondel eines Riesenrades bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn im Kreis.

• Starte im GeoGebra-Applet die Gondel.
  
• Beobachte die Bewegung der Gondel mit dem Buchstaben A. Wann bewegt sie sich aufwärts, wann abwärts, wann nach links und wann nach rechts? Beschreibe.
• Das Riesenrad in der Animation benötigt für eine Umdrehung ca. 10 Sekunden. Wo befindet sich die Gondel nach 2,5 Sekunden, wo nach 5 Sekunden usw.?
• Setze das Häkchen bei "Situation im Koordinatensystem betrachten" und starte das Riesenrad.
• Wie entsteht die gezeichnete Kurve? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.

Applet von Reinhard Schmidt Originallink https://www.geogebra.org/m/tjt2hhs2

Stellst du dir den Punkt P des Einheitskreises als eine Gondel an einem Riesenrad vor und trägst die Höhe der Gondel zu einem bestimmten Zeitpunkt dar, ergibt sich der Graph der Sinusfunktion.

Applet nach Matthias Heinitz Originallink https://www.geogebra.org/m/drb6q4ry

Aufgabe1

Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(α) = sin α.

α	0°	30°	60°	90°	...
sin α	0	0,5	0,87	1	...

Zeichne die Sinusfunktion in dein Heft. Wähle als Einteilung für die x-Achse 1cm für 30° und auf der y-Achse 2 cm bis zur 1.

Kosinusfunktion

Betrachte das Applet unten und erkläre, wie der Graph der Kosinusfunktion entsteht. Setze dazu das Häkchen bei "Kosinusfunktion". Disukutiere mein deiner Partnerin/deinem Partner.

Zeichne anschießend den Graphen der Kosinusfunktion.

Applet von Buß-Haskert (nach chje) Originallink: https://www.geogebra.org/m/stgatxum

5.3 Die allgemeinen Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen

Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank!

Die Bedeutung des Parameters a in :$x\rightarrow a\cdot \sin x$

Einfluss von $a$

Untersuche hier den Einfluss von

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a }

auf die Graphen der Funktionen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow a\cdot \sin x }

und

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow a\cdot \cos x } .

Einfluss von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b}

Untersuche hier den Einfluss von

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b}

auf die Graphen der Funktionen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) }

und

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) } .

Einfluss von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c}

Untersuche hier den Einfluss von

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c}

auf die Graphen der Funktionen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow \sin ( x + c ) }

und

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow \cos ( x + c ) } .

Einfluss von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d}

Untersuche hier den Einfluss von

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d}

auf die Graphen der Funktionen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow \sin x + d }

und

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow \cos x + d } .

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Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Aufgabe 1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,\!x \rightarrow \cos(x)} in dein Heft oder mit Hilfe von diesem Applet und betrachte sie! Was fällt dir auf?

Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!

Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:

Merke

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\pi}{2}} nach links verschiebt.

Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Merke

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d }  .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d }  .

Dabei sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ a,b,c,d } Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ a,b,c,d \in \R }   und  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b\neq 0}  .

Aufgabe 2

Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.

Aufgabe 3

Parameter gesucht! Je einer der Parameter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!

Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, falls a varriert wird, die Wertemenge jedoch schon.
Variiert man c , so verändern sich die Nullstellen und Extrema, aber nicht die Periode und die Wertemenge.
Ändern sich die Nullstellen und die Wertemenge, wobei die Extrema und die Periode bleiben, dann wird d variiert.
Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleibt aber gleich, falls b variiert wird.

Aufgabe 4

• In diesem Applet (Klicke dann dort auf Funktionen erkennen 3!) kannst du zeigen, ob du zu gegebenen Funktionstermen die zugehörigen Graphen findest.
• Memory

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\cos \frac{x}{2}}	Datei:Test sin 1.jpg
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -0,5 \cdot \sin (2x)}	Datei:Test sin 2.jpg
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot\sin x}	Datei:Test sin 3.jpg
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin x}	Datei:Test sin 4.jpg
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos x}	Datei:Test sin 5.jpg
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(x+\frac{\pi}{4})}	Datei:Test sin 6.jpg

Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map

Nun sollst du ein Mind Map über die in dieser Station gelernten Zusammenhänge erstellen. Am besten verwendest du dazu dein Heft im Querformat und zeichnest am linken Rand in die Mitte einen Kreis, in den du Einfluss der Parameter schreibst. Von dem Kreis ausgehend kannst du vier Äste nach rechts zeichnen, auf denen du die Parameter notierst. An diese Äste kannst du dann Zweige hängen, die sich natürlich weiter verästeln können.

Datei:Übersicht.png