Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

Lernpfad: Von der Randfunktion zur Integralfunktion

Hier folgen noch Infos zum Inhalt des Lernpfads

Lernziele: GK Die Schüler*innen: • skizzierenzueinergegebenenRandfunktiondiezugehörigeFlächeninhaltsfunktion, •erläuternundvollziehenangeeignetenBeispielendenÜbergangvonderProduktsummezumIntegralaufderGrundlageeinespropädeutischenGrenzwertbegriffs, • erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung), • bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen, • nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen, • bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge, • ermittelndenGesamtbestandoder GesamteffekteinerGrößeausderÄnderungsrate, • ermitteln Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen.

Lernziele: LK Die Schüler*innen: zusätzlich!

nutzendienatürlicheLogarithmusfunktionalsStammfunktionderFunktion𝑥 → 1/x

• nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen, • begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs, • bestimmen IntegralenumerischundmithilfevongegebenenoderNachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen, • ermittelndenGesamtbestandoder GesamteffekteinerGrößeausderÄnderungsrate oder der Randfunktion, • bestimmenFlächeninhalteundVoluminavonKörpern,diedurchdieRotationum die Abszisse entstehen, mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen.

Allgemeine Info

Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. Bei diesen Aufgaben handelt es sich um 3 verschiedene Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:

• Aufgaben mit gelbem Titel sind zum Wiederholen und Vertiefen
• Aufgaben mit blauem Titel sind von mittlerer Schwierigkeit
• Aufgaben mit grünem Titel sind Knobelaufgaben

Die mit einem Sternchen markierten Aufgaben sind insbesondere für den LK gedacht.

Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Lernpfades!

Einführung: Integral

Was ist ein Integral?

Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von $f$ über das Intervall $[a;b]$ und schreibt dafür $\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Die Funktion $f$ heißt dann über $[a;b]$ integrierbar. Dabei ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze und $f$ die Integrandfunktion.

Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze $a$ und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze $x$ und verwendet deshalb $t$ als Variable der Integrandfunktion $f$, so erhält man eine Integralfunktion $F_{a}(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt,x\in [a;b].$

$F_{a}$ ist also eine Funktion, die jedem $x\in [a;b]$ das Integral von $f$ über $[a;x]$ zuordnet. $x$ ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während $t$ eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf.

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion zur Funktion $f$, wenn gilt $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in (a;b)$.

Rechnen mit Integralen

Übung 1

Welche der folgenden Rechenregeln sind richtig und welche falsch?

1 $\int _{a}^{c}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx-\int _{b}^{c}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{c}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{b}^{c}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{c}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{c}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int _{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c\cdot \int _{a}^{b}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c^{2}\cdot \int _{a}^{b}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c+\int _{a}^{b}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{\frac {b}{2}}f(x)dx+\int _{a}^{\frac {b}{2}}g(x)dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{b}^{a}g(x)dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int _{a}^{\frac {b}{2}}f(x)dx-\int _{a}^{\frac {b}{2}}g(x)dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx-\int _{a}^{b}g(x)dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{a}^{b}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{f(x)}}dx$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int _{a}^{b}f(x)dx$ ≤ $\int _{a}^{b}g(x)dx$, wenn $f(x)$ ≤ $g(x)$ für alle $x\in [a;b]$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{b}f(x)dx$ ≥ $\int _{a}^{b}g(x)dx$, wenn $f(x)$ ≤ $g(x)$ für alle $x\in [a;b]$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{b}f(x)dx$ ≤ $\int _{a}^{b}g(x)dx$, wenn $f(x)$ ≥ $g(x)$ für alle $x\in [a;b]$

	Wahr
	Falsch

1 $|\int _{a}^{b}f(x)dx|=\int _{a}^{b}f(x)dx$

	Wahr
	Falsch

2 $|\int _{a}^{b}f(x)dx|$ ≥ $\int _{a}^{b}|f(x)|dx$

	Wahr
	Falsch

3 $|\int _{a}^{b}f(x)dx|$ ≤ $\int _{a}^{b}|f(x)|dx$

	Wahr
	Falsch

1 $\int _{a}^{a}f(x)dx=1$

	Wahr
	Falsch

2 $\int _{a}^{a}f(x)dx=0$

	Wahr
	Falsch

3 $\int _{a}^{a}f(x)dx={\sqrt {f(x)}}$

	Wahr
	Falsch

Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen

Der Mittelwert einer Funktion lässt sich über das Integral bestimmen.

Bezeichnen wir mit $f$ eine Funktion. Der Mittelwert einer Funktion $f$ lässt sich auf dem Intervall $[a;b]$ berechnen. Hierzu benötigst du folgende Formel: $M={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ ist gegeben durch $f(t)={\frac {5}{4}}*t$, wobei $t$ in Sekunden und die Funktion $f(t)$ in m/s angegeben wird. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Vorgehen zur Bearbeitung der Testaufgabe

1. Benutzung der Formel: $M={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
2. Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: $M={\frac {1}{40-0}}\int _{40}^{0}{\frac {5}{4}}*t\,dt$
3. Ausrechnen: $M={\frac {1}{40-0}}\int _{40}^{0}{\frac {5}{4}}*t\,dt={\frac {1}{30}}*[{\frac {5}{8}}*t^{2}]_{40}^{0}={\frac {1}{40}}*{\frac {1}{40}}*40^{2}=25$
4. Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.

Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten

Löse die Aufgaben.

1. Berechne eine Zahl $b$ so, dass die Funktion $f(x)=-{\frac {1}{2}}*x^{2}-x+{\frac {3}{2}}$ den Wert $11$ als Mittelwert annimmt.

2. a) Zeichne das Bild der Funktion $f$ mit $f(x)={\frac {4}{x}}$ für $1\leq \ x,x\geq \ 4$

b)Begründe, dass es zu $f$ eine Integralfunktion $F_{1}$ gibt.

c) Bestimme $F_{1}(4)$ näherungsweise, indem du den Mittelwert bestimmst.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die Verbindung zwischen Integralen und Differentialen

Der Hauptsatz beschreibt, wie sich Ableitung und Integration umkehren lassen. Durch ihn lassen sich beispielsweise Integrale leichter ausrechnen. Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen, die es zu unterscheiden gilt.

Der erste Teil des Hauptsatzes

Wenn f eine stetige Funktion auf dem Intervall $[a;b]$ ist, so gilt für jede Stammfunktion F auf dem Intervall $[a;b]$ die Formel: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, wobei $F'(x)=f(x)$ ist. Mit dieser Variante lässt sich auch die Stammfunktion F (re-)konstruieren, wenn du deren Ableitung und einen Anfangswert a kennst. Dies kannst du mit dieser Formel machen: $F(x)=F(a)+F(x)-F(a)=F(a)+\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{3}-6*x+11{\frac {3}{4}}*x-5{\frac {1}{2}}$ auf dem Intervall $[1;3]$ 1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: $F(x)=\int x^{3}-6x^{2}+11{\frac {3}{4}}x-5{\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}x^{4}-2x^{3}+5{\frac {7}{8}}x^{2}-5{\frac {1}{2}}x+C$

2 Schritt: Berechne F(a) und F(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in F(x): $F(1)={\frac {1}{4}}*1^{4}-2*1^{3}+5{\frac {7}{8}}*1^{2}-5{\frac {1}{2}}*1+C=-1{\frac {3}{8}}+C$ $F(3)=2{\frac {5}{8}}+C$

3 Schritt: Bilde die Differenz $F(b-F(a)$:

$F(3)-F(1)=2{\frac {5}{8}}+C-(-1{\frac {3}{8}}+C)=4$

Der zweite Teil des Hauptsatzes

Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion F aus und bestimmen f(x). Hierbei gilt:

$f(x)=F'(x)=F'(F(a)+\int _{a}^{x}f(t)\,dt=F'(a)+F'(\int _{a}^{x}f(t)\,dt)=F'(\int _{a}^{x}f(t)\,dt)=F'(F(x)-F(a))$

Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Löse die Textaufgabe

1. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion f mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 }

a) Ermittle einen Näherungswert für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{3}^{-1} f(x)\, dx } , indem du den Mittelwert der Ober- und Untersumme für 8 gleich lange Teilintervalle Berechnen. Schätze dazu die orientierten Rechteckinhalte.

b) Berechne einen Näherungswert für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{3}^{-1} f(x)\, dx } .

c) Welchen exakten Wert für das Integral erhältst du mithilfe des Hauptsatzes?

Partielle Integration

Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.

Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int f'(x) \cdot g(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)] - \int f(x) \cdot g'(x)\,dx }

Dabei ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int f'(x) \cdot g(x)\,dx } das ursprüngliche Integral.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)} ist die leicht zu integrierende Funktion.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) } ist die leicht abzuleitende Funktion.

Die Beispielfunktion lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x) = e^x \cdot x}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^x } lässt sich leicht integrieren. Also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=e^x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=e^x }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } lässt sich leicht ableiten. Also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=x } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g'(x)=1 }

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int f'(x) \cdot g(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)] - \int f(x) \cdot g'(x)\,dx } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int e^x \cdot x\,dx = [e^x \cdot x] - \int e^x \cdot 1\,dx = [e^x \cdot x] - [e^x] = e^x \cdot (x-1) }

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x) = e^x \cdot x} lautet somit:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(x) = e^x \cdot (x-1) }

Integration durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx }

Vorgehen

1. Zunächst wird die innere Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) } dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = g(x) }
2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx }
3. und dann nach dx umgeformt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)} }
4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) } angepasst werden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \longrightarrow g(a) } neue untere Grenze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b \longrightarrow g(b) } neue obere Grenze
5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) } eingesetzt.

Die zu integrierende Funktion lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=e^{2x} }

Zu bestimmen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx }

1. Die innere Funktion ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = 2x = z }
2. Ableitung der Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g'(x)=2 \cdot dx=dz }
3. Umformen nach dx: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 \cdot dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}}
4. Anpassung der alten Grenzen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \longrightarrow g(a)} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b \longrightarrow g(b) }
5. Einsetzen in das Integral: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz }
6. Integration: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} }
7. Die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) } für die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z } ersetzen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left[e^{2x}\right]^{g(b)}_{g(a)} }

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=e^{2x} } lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} }

Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution

Übung 1: Integration von komplexeren Funktionen

Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen? Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = x \cdot sin(2x) }

Nutze die partielle Integration

Setze die leicht abzuleitende Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=x } und die leicht zu integrierende Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=sin(2x)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x \cdot cos(2x)}{2} + C }

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x \cdot e^{x^2} }

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=x^2 = z } und leite sie nach x ab

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int x \cdot e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C }

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= \frac{e^x}{a-e^x} }

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)= a-e^x = z } und leite sie nach x ab

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x)= - ln(|a-e^x|) + C }

weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen

Übungsaufgabe 1: Flächeninhalte berechnen

Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis

Skizze des Zahn-Logos

In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=- \frac{x^2}{2} + 2 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)= x^4- \frac{15}{4} \cdot x^2 - 1 } das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 cm^2 } Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?

Bearbeitet diese Textaufgabe am besten schriftlich auf einem Zettel.

Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: $\int _{-2}^{2}f(x)+g(x)\,dx$

Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.

Wenn du die Fläche des Logos $A_{Logo}$ wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das $V_{Logo}$ nun durch das Produkt von $A_{Logo}$ und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen

$A_{Logo}=3,2cm^{2}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{Logo}= A_{Logo} \cdot Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 \cdot 0,1 cm = 0,32 {cm}^3 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{Logo} \cdot Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] \cdot 10,5 [g] = 3,36 [g] }

Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.

Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)

Rotationskörper und Raumintegrale

Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx} .

Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} , die durch die Rotation des Graphen der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \sqrt{r^2-x^2}} im Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [-r; r]} um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3}

Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.

Aufgaben

Übungsaufgabe 1: Rotationskörper und Raumintegrale

Funktionsgraph von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)}

Gegeben sei die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{7}{1+x}, x \in\mathbb{R}_+} . Die Fläche von f rotiere um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse.

Berechne den Inhalt des entstehenden Drehkörpers:

a) im Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0; a]}

b) im Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0; 6]}

Nutze die Formel zur Inhaltsberechnung von Rotationskörpern Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx} und setze die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} sowie die Grenzen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} ein.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a}} .

b) Für das Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0; 6]} gilt dann nach Aufgabenteil a): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi} .

Übungsaufgabe 2: Rotationskörper und Raumintegrale

Funktionsgraphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} (orange) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} (lila)

Sei eine Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} gegeben mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = \frac{1}{6} x^2 + 1, x\in\mathbb{R}} sowie die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x) = -\frac{1}{3} x + 5, x\in\mathbb{R}} .

Die Graphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} begrenzen mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse eine Fläche.

Berechne den Inhalt des Körpers, der entsteht, wenn diese Fläche um die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse rotiert.

Überlege dir, wie die Formel aussieht, die du zur Berechnung des Inhalts zwischen zwei Funktionen nutzen musst.

Die Formel zur Inhaltsberechnung lautet: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx } , wobei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} der Schnittpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} ist. Berechne also zunächst den Schnittpunkt.

Der Schnittpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{11}{3}} . Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität.

1. Schnittpunkt berechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = h(x) \Leftrightarrow \frac{1}{6} x^2 + 1 = -\frac{1}{3} x + 5 \Leftrightarrow \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{3} x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2+24} = -1 \pm 5 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -6 } Für uns interessant ist nur der Wert im positiven Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Bereich, da die Fläche links von der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse laut Aufgabenstellung nicht betrachtet wird.

Setze Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 4} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} ein. Dann folgt bspw. für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)} : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(4) = -\frac{1}{3} \cdot 4 + 5 = \frac{11}{3}}

2. Integrale berechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot} = \pi \int_{0}^{b} ( h(x) )^2 dx - \pi \int_{0}^{b} ( g(x) )^2 dx = V_{rot} = \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( -\frac{1}{3} x + 5 )^2 dx - \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( \frac{1}{6} x^2 + 1 )^2 dx = \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( 5 -\frac{x}{3} )^2 dx - \pi \int_{0}^{\frac{11}{3}} ( \frac{x^4}{36} + \frac{x^2}{3} + 1 ) dx}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rightarrow} Substituiere Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u = 5 - \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{3} \rightarrow -3\pi\int u^2 du}

Nun muss die Potenzregel angewendet und resubstitutiert werden. Im zweiten Term kann zudem die Linearität des Integrals ausgenutzt werden. Insgesamt gilt dann:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{\frac{11}{3}} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{\frac{11}{3}} \approx 58,26 }