Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars "Digitale Werkzeuge in der Schule".

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

1 Der Differenzenquotient ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ beschreibt die momentane Änderungsrate.

	Wahr
	Falsch

2 Was ergibt 1+1?

	1
	2
	3
	4

1 Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden?

	Mittels einer Sekante.
	Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
	Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
	Mittels einer Tangente.

2 Was gibt die Tangentensteigung an?

	Die durchschnittliche Änderungsrate.
	Die lokale Änderungsrate.
	Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

3 Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von $f(x)=x+5.$

	-1
	1
	5

4 Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?

	zwei Extrema
	drei Extrema
	vier Extrema
	keinen Wendepunkt
	einen Wendepunkt
	zwei Wendepunkte

5 $f(x)=-{\frac {5}{8}}x^{3}+2x^{2}-3x+2$ verhält sich...

	im Unendlichen wie $g(x)=-{\frac {5}{8}}x^{3}$ und nahe Null wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=3x+2} .
	im Unendlichen wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{5}{8}x^3} und nahe Null wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=3x+2} .
	im Unendlichen wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=-\frac{5}{8}x^3} und nahe Null wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=-3x+2} .
	im Unendlichen wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{5}{8}x^3} und nahe Null wie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=-3x+2} .

6 Auf einem Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [x_1, x_2)} ist eine Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} streng monoton steigend, auf dem Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_2, x_3]} ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} streng monoton fallend (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1<x_2<x_3} ). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen.

	Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [x_1, x_3]} monoton steigend
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_1)>0 }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_2)=0 }
	An der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

7 Was trifft zu? Kreuze alle richtigen Aussagen an!

	Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt.
	Mit Optimierungsproblem ist die Kurvendiskussion einer Funktion gemeint.
	Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem bestmöglichsten Wert gesucht.
	Bei einem Optimierungsproblem soll eine Größe entweder minimiert oder maximiert werden
	Bei Optimierungsproblemen geht es das Integral einer Funktion

8 Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung.

	Wahr
	Falsch

9 Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte.

	Wahr
	Falsch

10 Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die stärkste Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt

	einen Hochpunkt.
	einen Wendepunkt.
	eine Nullstelle.

11 Löse folgendes Gleichungssystem mirt dem Einsetzungsverfahren:

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 5}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 5} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 5}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 5} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = 4}

12 Lineare Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gauß-Verfahren lösen, indem

	mehrere Gleichungen gleichgesetzt werden.
	das Gleichungssystem zu einer oberen Dreiecksmatrix umgeformt wird.
	eine Gleichung in die anderen Gleichungen eingesetzt wird.

13 Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse und ist immer positiv.

	Wahr
	Falsch

14 Bestimme die Stammfunktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 17x^5 + 4x^3 - 11x - 568 + 23x^4 }

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = 85x^4+92x^3+12x^2-11 }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = \frac{17}{6}x^6+\frac{23}{5}x^5+x^4-\frac{11}{2}x^2-568x+c }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = 85x^6+92x^5+12x^4-11x^2-568x+c }
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = \frac{17}{5}x^6+\frac{23}{4}x^5+\frac{4}{3}x^4-11x^2-568x+c }

15 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt: Die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} sei stetig auf dem Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a;b]} . Dann gilt:

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(a) - F(b)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) + F(a)}
	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = f(b) - f(a)}

16 Die Stammfunktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = x^2 \cdot e^x } lautet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot e^x } .

	wahr
	falsch

17 Welche Integrationsmethode(n) wurde(n) bei dieser Rechnung verwendet? Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int x \cdot cos(x) dx = [x \cdot sin(x)] - \int 1 \cdot sin(x) dx }

	partielle Integration
	Integration durch Substitution
	beide
	keines der beiden

18 Bestimme den Wert des Integrals Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{1}^{5} 3 \cdot x + 4 dx }

	60
	43
	52

Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

• Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

• bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate
• bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
• bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel Optimierungsprobleme
• bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel Steckbriefaufgaben
• bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt
• bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel Von der Randfunktion zur Integralfunktion