Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

1) Terme zusammenfassen

Einführung

Rechenregeln

Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei:

Beim Zusammenfassen von Summen gilt:
Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden.
Beispiele:
1) ${\color {blue}2a^{2}}{\color {red}+a+3a}$
$={\color {blue}2a^{2}}{\color {red}+4a}$

2) ${\color {orange}2x}{\color {red}+xy}{\color {blue}-3y^{2}}{\color {red}-2xy}{\color {green}+2xy^{2}}$
$={\color {orange}2x}{\color {blue}-3y^{2}}{\color {green}+2xy^{2}}{\color {red}+xy-2xy}$
$={\color {orange}2x}{\color {blue}-3y^{2}}{\color {green}+2xy^{2}}{\color {red}-xy}$
Hier konnten nur die beiden Teile mit ${\color {red}xy}$ zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen.

3) ${\color {blue}2x}{\color {red}+4y}{\color {green}-xy}{\color {red}+2y}{\color {blue}-3x}{\color {green}+5xy}$
$={\color {blue}-x}{\color {red}+6y}{\color {green}+4xy}$
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren.

Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden.
Beispiel:
4) $2{\color {red}x}\cdot 4{\color {red}x}{\color {blue}y}$
$=2\cdot {\color {red}x}\cdot 4\cdot {\color {red}x}\cdot {\color {blue}y}$
$=2\cdot 4\cdot {\color {red}x}\cdot {\color {red}x}\cdot {\color {blue}y}$
$=8\cdot {\color {red}x^{2}}\cdot {\color {blue}y}$
$=8{\color {red}x^{2}}{\color {blue}y}$

Beachte die Vorzeichen der Faktoren.

$(-x)+(-x)=-2x$
$(-x)\cdot (-y)=x\cdot y$

Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.

Beispiel:
5) $2{\color {red}x}\cdot (-7{\color {red}x^{2}}{\color {blue}y})\cdot (-3{\color {blue}y^{3}})$
$=2\cdot (-7)\cdot (-3)\cdot {\color {red}x}\cdot {\color {red}x^{2}}\cdot {\color {blue}y}\cdot {\color {blue}y^{3}}$

$=42{\color {red}x^{3}}{\color {blue}y^{4}}$

Aufgaben

Aufgabe 1: Wer wird Millionär?

Wenn du dir bei manchen Antworten unsicher bist, schau noch einmal oben in den Rechenregeln nach.

Aufgabe 2: Rechenaufgaben

Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben.

a) $15\cdot 2+3\cdot 5\cdot 2+4$

Denke an die Rechenregel "Punkt vor Strich".

$64$

$15\cdot 2+3\cdot 5\cdot 2+4$
$=30+30+4$

$=64$

b) $3x-4y-2z+4y-2x$

Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen.

$x+8y-2z$

${\color {red}3x}{\color {blue}-4y}{\color {green}-2z}{\color {blue}+4y}{\color {red}-2x}$
$={\color {red}3x-2x}{\color {blue}-4y+4y}{\color {green}-2z}$

$={\color {red}x}{\color {green}-2z}$

c) $x\cdot 2\cdot y+3x-y\cdot x$

Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen.

$xy+3x$

${\color {red}x}\cdot 2\cdot {\color {blue}y}+3{\color {red}x}-{\color {blue}y}\cdot {\color {red}x}$
$=2{\color {red}x}{\color {blue}y}-{\color {red}x}{\color {blue}y}+3{\color {red}x}$

$={\color {red}x}{\color {blue}y}+3{\color {red}x}$

d) $x\cdot y+x\cdot x+2\cdot y+3\cdot x\cdot 5\cdot y$

Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Denke dabei an die Regel "Punkt vor Strich". Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen.

$16xy+x^{2}+2y$

${\color {red}x}\cdot {\color {blue}y}+{\color {red}x}\cdot {\color {red}x}+2\cdot {\color {blue}y}+3\cdot {\color {red}x}\cdot 5\cdot {\color {blue}y}$
$={\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {red}x^{2}}+2{\color {blue}y}+15{\color {red}x}{\color {blue}y}$

$=16{\color {red}x}{\color {blue}y}+{\color {red}x^{2}}+2{\color {blue}y}$

e) $2x+3xy-y+4x-2yx+y$

Sortiere zuerst die Variablen, fasse dann gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen.

$6x+xy$

$2{\color {red}x}+3{\color {red}x}{\color {blue}y}-{\color {blue}y}+4{\color {red}x}-2{\color {blue}y}{\color {red}x}+{\color {blue}y}$
$=2{\color {red}x}+4{\color {red}x}-{\color {blue}y}+{\color {blue}y}+3{\color {red}x}{\color {blue}y}-2{\color {red}x}{\color {blue}y}$

$=6{\color {red}x}+{\color {red}x}{\color {blue}y}$

f) $12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y)$

Löse zuerst die Klammern auf, sortiere dann die Variablen und fasse gleiche Variablen zusammen. Farbliche Markierungen wie in den Beispielen können dir helfen.

Vergiss nicht: Punkt- vor Strichrechnung. Die Klammer geht immer vor.

$-3x-y$

${\color {red}12x}{\color {green}-}({\color {red}12x}{\color {blue}+3y}){\color {blue}+4y}{\color {green}-}({\color {red}3x}{\color {blue}+2y})$
$={\color {red}12x-12x}{\color {blue}-3y+4y}{\color {red}-3x}{\color {blue}-2y}$
$={\color {red}12x-12x-3x}{\color {blue}-3y+4y-2y}$

$={\color {red}-3x}{\color {blue}-y}$

g) $4x-({1 \over 4}y-(5x+3z)-(x+{5 \over 8}y-2z))$

Löse zuerst die Klammern auf, ordne dann die Summanden nach ihren Variablen. Mache danach noch die Brüche gleichnamig um alles zusammenfassen zu können.

$10x+{3 \over 8}y+z$

${\color {red}4x}{\color {orange}-}\left({\color {blue}{1 \over 4}y}{\color {orange}-}\left({\color {red}5x}{\color {green}+3z}\right){\color {orange}-}\left({\color {red}x}+{\color {blue}{5 \over 8}y}{\color {green}-2z}\right)\right)$
$={\color {red}4x}{\color {orange}-}\left({\color {blue}{1 \over 4}y}{\color {red}-5x}{\color {green}-3z}{\color {red}-x}{\color {blue}-{5 \over 8}y}{\color {green}+2z}\right)$
$={\color {red}4x}{\color {blue}-{1 \over 4}y}{\color {red}+5x}{\color {green}+3z}{\color {red}+x}{\color {blue}+{5 \over 8}y}{\color {green}-2z}$
$={\color {red}4x+5x+x}{\color {blue}-{1 \over 4}y+{5 \over 8}y}{\color {green}+3z-2z}$
$={\color {red}4x+5x+x}{\color {blue}-{2 \over 8}y+{5 \over 8}y}{\color {green}+3z-2z}$

$={\color {red}10x}{\color {blue}+{3 \over 8}y}{\color {green}+z}$

Aufgabe 3: Magisches Quadrat

Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen.

5a+5	a-8()	3a+6()
a+2	3a+1	5a()
3a-4	5a+10()	a-3()

Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein

Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist.

2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren

Terme ausmultiplizieren

Rechenregeln

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. So wird z.B. der Faktor ${\color {green}2}$ mit jedem Glied aus der Klammer $(5+3)$ multipliziert:

Dies nennt man Distributivgesetz. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

$(5+3)\cdot {\color {green}2}=5\cdot {\color {green}2}+3\cdot {\color {green}2}=10+6=16$.

Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:

$2(5{\color {red}-}3)=2\cdot 5{\color {red}-}2\cdot 3=10{\color {red}-}6=4$.

Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:

${\color {green}a}(b+c)={\color {green}a}b+{\color {green}a}c$.

Das Distributivgesetz kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen:

Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

${\color {red}-}a(b{\color {red}+}c)={\color {red}-}ab{\color {red}-}ac$.

${\color {red}-}a({\color {red}-}b{\color {red}+}c)=ab{\color {red}-}ac$.

Hierfür gilt:
$+\cdot +$ ergibt: $+$
$-\cdot -$ ergibt: $+$

$-\cdot +$ ergibt: $-$

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

${\color {green}x}(3+2)=3{\color {green}x}+2{\color {green}x}=5{\color {green}x}$.

${\color {green}2}(3x-1)={\color {green}2}\cdot 3x-{\color {green}2}\cdot 1=6x-2$.

${\color {red}-}(a{\color {red}+}b)={\color {red}-}a{\color {red}-}b$.

${\color {red}-}(a{\color {red}-}b)={\color {red}-}a{\color {red}+}b$.

Aufgabe

Aufgabe 1: Zuordnen

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel Ausmultiplizieren an.

a) $(5b+c+3d)\cdot a=$ $5ab+ac+3ad$
b) $(5a+4b)\cdot 4=$ $16b+20a$
c) $-8(a-2b)=$ $16b-8a$
d) $5a(b+{\frac {1}{5}}c+3d)=$ $5ab+ac+15ad$
e) $(5a+10b)({\frac {1}{5}}c+2d)=$ $ac+10ad+2bc+20bd$
f) $-{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b)=$ $-{\frac {1}{4}}a-{\frac {1}{4}}b$
g) $-{\frac {1}{4}}(a-b)$ = $-{\frac {1}{4}}a+{\frac {1}{4}}b$
h) $({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b)(2c+20d)$ = $ac+10ad+bc+10bd$

Terme faktorisieren

Rechenregeln

Beim Faktorisieren (auch genannt: Ausklammern) geht es genau umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen. Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video:

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${\color {green}2}a+{\color {green}2}b={\color {green}2}(a+b)$
${\color {green}4}x+{\color {green}4}y={\color {green}4}(x+y)$
$16x+4y={\color {green}4}\cdot 4x+{\color {green}4}y={\color {green}4}(4x+y)$

$6a+3b+12c={\color {green}3}\cdot 2a+{\color {green}3}b+{\color {green}3}\cdot 4c={\color {green}3}(2a+b+4c)$

Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt.

Du faktorisierst:
$9xy-6x={\color {green}3x}\cdot 3y-{\color {green}3x}\cdot 2={\color {green}3x}(3y-2)$
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst:
$3x\cdot (3y-2)=9xy-6x$

Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.

Aufgabe

Aufgabe 2: Single Choice

a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern?

(i) $9x-15$ (!5) (3) (!9) (!x)

(ii) $-36+12x$ (!9) (12) (!24) (!x)

(iii) $5xy+4xz+3x$ (!5) (x) (!y) (!2z)

b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus?

Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst.

(i) $9x-15$ ($3\cdot 3x-3\cdot 5$) (!$3\cdot 9x-3\cdot 5$) (!$3\cdot 3x+3\cdot 5$) (!$3\cdot x-15$)

(ii) $-36+12x$ ($12\cdot [-3]+12\cdot x$) (!$12\cdot 3+12\cdot x$) (!$12\cdot [-3]-12\cdot x$) (!$12\cdot [-3]+x$)

c) Klammere komplett aus:

Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.

Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum Faktorisieren erklärt ist.

(i) $9x-15$ ($3\cdot [3x-5]$) (!$3\cdot [9x-15]$) (!$3\cdot [x-5]$) (!$3\cdot [3x+5]$)

(ii) $-36+12x$ ($12\cdot [-3+x]$) (!$12\cdot [3+x]$) (!$12\cdot [6+3x]$) (!$3\cdot [3+x]$)

(iii) $5xy+4xz+3x$ (!$x\cdot [54yz+3]$) (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \cdot [5y + 4z + 3] } ) (!Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x \cdot [5y + 4z + 3]} ) (!Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]} )

Weitere Aufgabenzum Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Aufgabe 3: Lücken füllen

Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?

a) 3() Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot (2x + 7) = 6x + 21 }
b) 15() Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot x + 35 = 5 \cdot (3x + 7) }
c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 \cdot (-3z + 2) = } -12() Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot z + 8 }
d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9y - 15 = 3 \cdot (3y } -5() Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle )}
e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-24a + 42) \cdot \frac{1}{6} = } -4() Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot a + } 7()

Aufgabe 4: Pferderennen

In dieser Aufgabe geht es darum, das Gelernte möglichst schnell anzuwenden, denn du trittst gegen den Computergegner an 😉 wer gewinnt das Rennen?

3) Binomische Formeln

Was sind die binomischen Formeln?

Definition

Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:

1. binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 }

2. binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 }

3. binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2 }

Herleitung der binomischen Formeln

Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten

Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten.
Stelle dazu eine Gleichungskette der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2 } auf.

Beginne mit dem Ausgangsterm Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2} und schreibe die Potenz wie folgt aus: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)\cdot(a+b)} . Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.

Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2}

Nun wird die Potenz ausgeschrieben

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})}

Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}}

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2}

Geometrische Herleitung

Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine anschaulichere Möglichkeit, die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das Vergleichen von Flächen. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte geometrisch und rechnerisch bewirkt.

Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2 } und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus vier Teilflächen zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2 } . Die Fläche des Quadrats ergibt sich als Summe der Teilflächen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^2+ 2ab+ b^2 } Das ist gerade die 1. binomischen Formel.

Beachte

• Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln
• Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an.
  
  

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Beispiele

Anwendungsbeispiele

Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.

Zur Erinnerung:

1. binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2 }

Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden:
a)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)}

Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden:
b)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2 }

Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen:

c)$({\color {green}(2s+t)}+{\color {blue}u})^{2}={\color {green}(2s+t)}^{2}+2{\color {green}(2s+t)}{\color {blue}u}+{\color {blue}u}^{2}$

Zur Erinnerung:

2. binomische Formel: $({\color {green}a}-{\color {blue}b})^{2}={\color {green}a}^{2}-2{\color {green}a}{\color {blue}b}+{\color {blue}b}^{2}$

a)$({\color {green}5x}-{\color {blue}3y})^{2}={\color {green}(5x)}^{2}-2{\color {green}(5x)}{\color {blue}(3y)}+{\color {blue}(3y)}^{2}=25x^{2}+30xy+9y^{2}$

Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, bevor die binomische Formel angewendet wird:
b)$(-{\color {blue}2}+{\color {green}w})^{2}=({\color {green}w}-{\color {blue}2})^{2}={\color {green}w}^{2}-2{\color {green}w}{\color {blue}2}+{\color {blue}2}^{2}=w^{2}-4w+4$

Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden: $(-{\color {blue}2}+{\color {green}w})^{2}=(-{\color {blue}2})^{2}+2{\color {blue}(-2)}{\color {green}w}+{\color {green}w}^{2}=4-4w+w^{2}=w^{2}-4w+4$

c)$({\color {green}ab}-{\color {blue}4t})^{2}={\color {green}(ab)}^{2}-2{\color {green}(ab)}{\color {blue}(4t)}+{\color {blue}(4t)}^{2}=a^{2}b^{2}-2(ab)(4t)+4^{2}t^{2}=a^{2}b^{2}-8abt+16t^{2}$

Zur Erinnerung:

3. binomische Formel: $({\color {green}a}+{\color {blue}b})({\color {green}a}-{\color {blue}b})={\color {green}a}^{2}-{\color {blue}b}^{2}$

a) $({\color {green}(2h)}+{\color {blue}i})({\color {green}(2h)}-{\color {blue}i})={\color {green}(2h)}^{2}-{\color {blue}i}^{2}$

Es spielt keine Rolle, ob zuerst die Summe oder die Differenz erscheint (Assoziativgesetz):
b) $({\color {green}(mn)}-{\color {blue}{1 \over 3}})({\color {green}(mn)}+{\color {blue}{1 \over 3}})={\color {green}(mn)}^{2}-{\color {blue}({1 \over 3})}^{2}=m^{2}n^{2}-{1 \over 9}$

c) $({\color {green}(3x)}+{\color {blue}{\sqrt {2}}})({\color {green}(3x)}-{\color {blue}{\sqrt {2}}})={\color {green}(3x)}^{2}-{\color {blue}({\sqrt {2}})}^{2}=9x^{2}-2$

Aufgaben

Aufgabe 1: Welche binomische Formel?

Ordne zu.

1. binomische Formel	$(x+19)^{2}$	$({3 \over 4}+p)^{2}$	$(1,34+{\sqrt {5}})^{2}$
2. binomische Formel	$(19-x)^{2}$	$(3-5)^{2}$	$(25-y)^{2}$
3. binomische Formel	$(5+t)(5-t)$	$({3 \over 8}-7)(7+{3 \over 8})$	$(1,37-2)(1,37+2)$
Das ist keine binomische Formel	$(4+7)(5-7)$	$(5+7)^{1 \over 2}$	$s+3^{2}$

Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)

Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.

Alle einsteigen bitte

a)$225+30a+a^{2}=($15()$+$a()$)^{2}$
b)$9a^{2}-16b^{2}=($3a()$+$4b()$)\cdot ($3a()$-$4b())
c)$81u^{2}-36u+4=($9u()$-$2()$)^{2}$
d)$4m^{2}+28m+49=($2m()$+$7()$)^{2}$
e)$64y^{2}-160yz+100z^{2}=($8y()$-$10z()$)^{2}$
f)$36u^{2}-121w^{2}=($6u()$+$11w()$)\cdot ($6u()$-$11w())

Klammere aus. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch hier noch einmal vorbeischauen.

Schaue dir auch noch einmal die binomischen Formeln an und entscheide, wann du welche Formel anwenden kannst.

Aufgabe 3: Warum ist das so?

Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen $a$ und $b$ mit $b=a-1$.
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt:
Die Differenz $a^{2}-b^{2}$ ist gleich der Summe $a+b$. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.

Bilde eine Gleichungskette $a^{2}-b^{2}=...=a+b$

Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel.

Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt:

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Dann wird für $b=a-1$ eingesetzt:

$=(a-(a-1))(a+(a-1))$

Nun die erste Klammer auflösen:

$=1\cdot (a+(a-1))$

Schließlich für $a-1=b$ einsetzen:

$=1\cdot (a+(b))=a+b$

Alternativ: $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=(a+b)\cdot 1=a+b$ oder:

$a^{2}-b^{2}=a^{2}-(a-1)^{2}=a^{2}-(a^{2}-2a+1)=a^{2}-a^{2}+2a-1=2a-1=a+(a-1)=a+b$