Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln

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1) Potenzen: Definition
2) Potenzgesetze
3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise
4) Wurzeln: Definition

5) Rechnen mit Quadratwurzeln

SEITE IM AUFBAU

5.1 Multiplikation und Division

Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

${\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {9}}=$...$\cdot$... =
${\tfrac {\sqrt {144}}{\sqrt {16}}}={\tfrac {...}{...}}=$

${\sqrt {4\cdot 9}}={\sqrt {...}}=$
${\sqrt {\tfrac {144}{16}}}={\sqrt {...}}=$

Multiplikation und Division von Wurzeln

Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt: ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$ für $a,b\geq 0$

Für die Division von Quadratwurzeln gilt:

${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}$ für $a\geq 0\quad und\quad b>0$

Schau die Beispielrechnungen im nachfolgenden Video an und bearbeite dann die Übungen.

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Übung 1 (*)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:
2a) ${\sqrt {0,49\cdot 100}}={\sqrt {0,49}}\cdot {\sqrt {100}}=0,7\cdot 10=7$
2b) ${\sqrt {10}}\cdot {\sqrt {3,6}}={\sqrt {10\cdot 3,6}}={\sqrt {36}}=6$ ...

• S. 81 Nr. 2
• S. 81 Nr. 3
• S. 81 Nr. 4
• S. 81 Nr. 5

Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind.
Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl.
Beispiel:
2d) ${\sqrt {400\cdot 0,64}}$ Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.
2c) $={\sqrt {400}}\cdot {\sqrt {0,64}}=20\cdot 0,8=16$
${\sqrt {2,5}}\cdot {\sqrt {0,9}}$ Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:
$={\sqrt {2,5\cdot 0,9}}={\sqrt {2,25}}$ Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.
= 1,5

4a)
${\sqrt {...}}\cdot {\sqrt {289}}$ = 34   |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also
${\sqrt {...}}\cdot$  17 = 34
Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2!
Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:
${\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {289}}$ = 34
4b)
${\sqrt {14..}}\cdot {\sqrt {3}}$ = 21   |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:
${\sqrt {14..\cdot 3}}$ = ${\sqrt {21^{2}}}$   |21² = 441
Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:

${\sqrt {147}}\cdot {\sqrt {3}}$ = 21

5.2 Teilweises Wurzelziehen

Teilweises Wurzelziehen

Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:

${\sqrt {a^{2}\cdot b}}={\sqrt {a^{2}}}\cdot {\sqrt {b}}=a\cdot {\sqrt {b}}$ für $a,b\geq 0$

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Übung 2(**)

Löse die Aufgaben
Übung a

Übung b

Übung 3(**)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

• S. 81 Nr. 7
• S. 81 Nr. 9

Beispielrechnung:
${\sqrt {50}}={\sqrt {25\cdot 2}}={\sqrt {25}}\cdot {\sqrt {2}}=5{\sqrt {2}}$

Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren

Übung 4(***)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

• S. 81 Nr. 10
• S. 81 Nr. 11
• S. 81 Nr. 12

Beispiel:
10a) ${\sqrt {9x}}={\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {x}}=3{\sqrt {x}}$ 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

b) ${\sqrt {5a^{2}}}={\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {a^{2}}}={\sqrt {5}}\cdot a$ a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

und nun wird es schwieriger

f)${\sqrt {27s^{2}t^{3}}}={\sqrt {9\cdot 3s^{2}t^{2}t}}=3st{\sqrt {3t}}$
Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.

${\sqrt {\tfrac {x^{3}}{9y}}}={\tfrac {\sqrt {x^{2}x}}{{\sqrt {9}}{\sqrt {y}}}}={\tfrac {x{\sqrt {x}}}{3{\sqrt {y}}}}$

Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.

Die Idee ist wiederum, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte von Quadratzahlen zu zerlegen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{32xy^2}{25}} = \tfrac{\sqrt{16y^2·2x}}{\sqrt{25}}} = ...

Beispiel:
11a)${\sqrt {\tfrac {2y^{2}}{18}}}={\sqrt {\tfrac {1y^{2}}{9}}}={\tfrac {{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {y^{2}}}}{\sqrt {9}}}={\tfrac {y}{3}}$ Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.

11d) ${\sqrt {\tfrac {24a}{8a^{3}}}}={\sqrt {\tfrac {3}{a^{2}}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {a^{2}}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{a}}$ Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.

5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)

Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

${\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}=...+...=...$

${\sqrt {64+16}}={\sqrt {...}}=...$

Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden NICHT!!! unter einer Wurzel zusammenfassen!