Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen

Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Scheitelpunktsform

1. Parameter der Scheitelpunktsform

Arbeitsmethode

2. WANTED!

Zeichne den Graph der gesuchten quadratischen Funktion

3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)

4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform aufstellen

Arbeitsmethode

4. Punkt auf Graphen?

Scheitelpunktform und Normalenform

5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform

Arbeitsmethode

{{Box|5. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform | |Arbeitsmethode

5. Finde die Paare

Arbeitsmethode

6. Nullstellen berechnen

Anwendungsaufgabe

7. Baseball

Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion
$j(x)=-0,0075x^{2}+1,2x+1$
beschrieben werden, wobei $x$ die horizontale Entfernung zum Schlagmann und $j(x)$ die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.

a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.

Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür $x$ und $j(x)$ stehen.

Was bedeutet es, wenn x=0 ist?

b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.

Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.

c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.

Überlege dir, welchen Wert $j(x)$ annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.

Setze $j(x)=0$ und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.

Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 6 nach. Achte darauf, dass vor dem $x^{2}$ kein Vorfaktor stehen darf.

d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?

Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.

Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.

Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal Aufgabe 5 an.

Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.

Gesucht werden die x-Werte, sodass $j(x)=30$ ist.

Setze anstelle von $j(x)$ den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.

Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

${\begin{array}{rll}j(0)&=&-0.0075\cdot 0^{2}+1.2\cdot +1\\&=&1\end{array}}$

Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden.

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

${\begin{array}{rll}j(158)&=&-0.0075\cdot 158^{2}+1.2\cdot 158+1\\&=&3.37\end{array}}$

Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von $3.37m.$ Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von $3.20m$ erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.

c) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Nullstellenberechnung:
Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2} eliminiert.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\ &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3} \end{array} }

Im zweiten Schritt wird die pq-Formel angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\ &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\ &=& 80 \pm 80.83 \\ \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = 80-80.83 = -0.83 }

Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} betrachten. Somit fliegt der Baseball Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 160.83} Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.

d) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\ &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\ &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\ &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\ &=& -0.0075 (x-80)^2 +49 \end{array} }

Der Scheitelpunkt liegt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(80 \mid 49).} Somit erreicht der Baseball nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 80} Metern die maximale Höhe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 49} Metern.

Zusatzaufgabe: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Wir müssen für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j(x)=30} die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j(x)} ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 30 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -30 } Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 }

Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2.}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rlll} 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 &\mid :(-0.0075) \\ &=& x^2 -160 \cdot x + \frac{11600}{3} \end{array} }

Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der pq-Formel nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf.
Es gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=-160, q= \frac{11600}{3}.}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 - \frac{11600}{3}} \\ &=& 80 \pm \sqrt{\frac{7600}{3}}\\ &=& 80 \pm 50.33 \end{array} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow x_1 = 80+50.33 = 130.33 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = 80-50.33 = 29.67 }

Der Baseball hat nach ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 29.67} Metern und nach ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 130.33} Metern eine Flughöhe von 30 Metern.