Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Lineare Funktionen

Lineare Funktionen - ein Überblick

Aufgabe 1: Nice to know!

Beantworte die Fragen zu linearen Funktionen. Es können auch mehrere Antworten möglich sein.

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Was du schon gelernt hast!

1. Eine lineare Funktion ist eine Gerade, sie hat keine Kurven.
2. Auch eine Funktion mit nur einer Zahl ( eine sogenannte Konstante) ist eine Gerade und demnach eine lineare Funktion.
3. Grundsätzlich wird einem x-Wert immer nur ein y-Wert zugeordnet.
4. Bei linearen Funktionen kann ein y-Wert immer nur von einem x-Wert getroffen werden, außer die Funktion ist eine Konstante. Dies ist bei anderen Funktionenarten nicht so!
5. Der y-Achsenabschnitt ist bei linearen Funktionen immer der Wert ohne das x.
6. Den x-Achsenabschnitt (die Nullstelle) berechnet man indem man die Funktion gleich 0 setzt.
7. Die Steigung ist der Vorfaktor vom x. Die Steigung beschreibt um wie viel der y-Wert nach oben (unten bei negativen Vorzeichen) verschoben werden muss, wenn man den x-Wert um einen erhöht.
8. Den Schnittpunkt zweier Funktionen erhält man durch Gleichsetzten die beiden Funktionsgleichungen.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Erkennst du sie?

Überlege ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind und ordne sie dem entsprechenden Feld zu.

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Überlege dir welche geometrischen Form der Graph von lineare Funktionen hat

Überlege dir welchen maximalen Exponent lineare Funktionen haben

Überlege dir ob ein x-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf

Keine Funktion: Der Kreis und Gerade parallel zur y-Achse, sowie die Gleichungen die einem x durchgehend den selben Wert zuordnen. Bei all diesen werden x-Werte mehrmals getroffen, was bei einer Funktion nicht sein darf. Lineare Funktion: Alle Geraden die nicht parallel zur y-Achse verlaufen. Alle Funktionen die maximal den Exponent 1 haben.

Lineare Funktionen - Bestimmung der Geradengleichung

Aufgabe 3: Wie lautet die Gleichung der Geraden?

Gegeben sei die Steigung der Geraden $m=3,5$. Außerdem verlaufe die Gerade durch den Punkt $P(2/5)$. Bestimme die Gleichung der Geraden in der Form $f(x)=mx+b$.

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form $f(x)=mx+b$ ein.

Nach Einsetzen der Werte sollte deine Funktion folgendermaßen aussehen: $5=3,5*2+b$. Nun lässt sich $b$ bestimmen und man erhält schlussendlich die Geradengleichung $f(x)=3,5x-2$.

Aufgabe 4: Finde die gesuchte Geradengleichung!

Bestimme die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft, in der Form $f(x)=mx+b$. Die Koordinaten der Punkte seien: $P(3/-4)$ und $Q(8/6)$.

Bestimme die Steigung der Geraden, indem du mithilfe der Punkte $P$ und $Q$ ein Steigungsdreieck aufstellst: $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {6+4}{8-3}}=2$

Erstelle zwei Gleichungen, welche die jeweiligen gegebenen Informationen enthalten, in der Form $f(x)=mx+b$.

Nach Einsetzen der Werte sollten deine Funktionen folgendermaßen aussehen: $-4=2*3+b$ und $6=2*8+b$. Nun lässt sich $b$ bestimmen und man erhält schlussendlich die Geradengleichung $f(x)=2x-10$.