Benutzer:Niklas WWU-6

• Seminar: Digitale Werkzeuge in der Schule
• Projekt: Basiswissen Analysis
• Lernpfad: Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
• betreut von: Lena Frenken und Maurice Krause

Extrema

Wissen

Im vorherigen Kapitel konntest du etwas über das Monotonie-Verhalten einer Funktion $f$ erfahren. Dieses Wissen wird nun weiter vertieft und du lernst die sogenannten Extremstellen kennen, die im starken Verhältnis zu dem Monotonie-Verhalten stehen.

Eine Funktion $f$, die in einem ersten Abschnitt streng monoton wächst und im darauf folgenden Abschnitt streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen an dem die Funktion weder steigt noch fällt und dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet.

Wissen

Extremstellenbestimmung

Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, die für jede Funktion $f$ gilt:

1. Notwendiges Kriterium: Für eine mögliche Extremstelle muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als $x_{E}$ bezeichnet. Es muss also gelten: $f'(x_{E})=0$.
2. Hinreichendes Kriterium: Die potentiellen Extremstellen werden in $f''$ eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei verschiedene Möglichkeiten entstehen. Für $f''(x_{E})$ kann gelten:

1. • $f''<0$
   • $f''<0$

1. Zu jeder Koordinate exisitert es eine passende Ordinate. Dazu musst $x_{E}$ in $f(x)$bestimmen. Zusammenfanssend erälst du alle Extremstellen der Form $E(x_{E}/f(x_{E}))$

Achtung: Neben der Hoch- und Tiefpunkte besteht die Möglichkeit eine sogenannte Sattelstelle aufgefunden zu haben. Diese Sattelstelle ist ein besonderer Fall.

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können.

Art der Extremstelle	Notwendiges Kriterium	Hinreichendes Kriterium
Hochpunkt	$f'(x_{E})=0$	$f'(x_{E})=0$ und $f''(x_{E})$ < $0$
Tiefpunkt	$f'(x_{E})=0$	$f''(x)=0$ und $f''(x_{E})$ > $0$
Sattelpunkt	$f'(x_{E})=0$	$f''(x)=0$ und $f''(x_{E})$ = $0$

Beispiel: Bestimmung von Extremstellen

Wir untersuchen die folgende Funktion $f(x)={\frac {2}{3}}x^{3}+3x^{2}+4x$ auf Extremstellen.

1. Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzten diese gleich null: $f'(x)=2x^{2}+6x+4=0$. Umformungen dieser Gleichung liefert die möglichen Extremstellen $x_{1}=-2$ und $x_{2}=-1$.
2. Das bilden der zweiten Ableitung liefert: $f''(x)=4x+6$
   • $f''(-2)=-2<0\Rightarrow$ Hochpunkt an der Stelle $x_{1}=-2$
   • $f''(-1)=2>0\Rightarrow$ Tiefpunkt an der Stelle $x_{2}=-1$

Aufgabe

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein können an der Aufgabe 3.

a) $f(x)=2x^{2}-6x+4$

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$f'(x)=0$, mit $f'(x)=4x-6$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6$

$\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4$

$\;\;\;\;\;\;\;x={\frac {2}{3}}$

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_{E})<0$ oder $f''(x_{E})>0$, mit $f''(x)=4$.

Wir erhalten durch einsetzen: $f''{\Big (}{\frac {2}{3}}{\Big )}=4>0\Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x={\frac {2}{3}}.$

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: $f{\Big (}{\frac {2}{3}}{\Big )}={\frac {8}{9}}\Rightarrow$ TP ${\Big (}{\frac {2}{3}}/{\frac {8}{9}}{\Big )}$

b) $g(x)=x^{3}-3x^{2}-5x+6$

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$f'(x)=0$, mit $f'(x)=3x^{2}-6x-5$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3$

$\;x^{2}-2x-{\frac {5}{3}}=0\;\;\;\;\;\;\;\,|$PQ-Formel anwenden

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\Big (}{\frac {p}{2}}{\Big )}^{2}-q}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-{\frac {-2}{2}}\pm {\sqrt {{\Big (}{\frac {-2}{2}}{\Big )}^{2}-{\Big (}-{\frac {5}{3}}{\Big )}}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=1\pm {\frac {163}{100}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1}=-{\frac {63}{100}}$ und $x_{2}={\frac {263}{100}}$

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_{E})<0$ oder $f''(x_{E})>0$, mit $f''(x)=6x-6$.

Wir erhalten durch einsetzen:

$f''{\Big (}-{\frac {63}{100}}{\Big )}=-{\frac {489}{50}}<0\Rightarrow$ Es handelt sich um einen Hochpunkt bei $x=-{\frac {63}{100}}.$

$f''{\Big (}{\frac {263}{100}}{\Big )}=-{\frac {489}{50}}>0\Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x={\frac {263}{100}}.$

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

$f{\Big (}-{\frac {63}{100}}{\Big )}={\frac {771}{100}}\Rightarrow$ HP ${\Big (}-{\frac {63}{100}}/{\frac {771}{100}}{\Big )}$

$f{\Big (}{\frac {263}{100}}{\Big )}=-{\frac {971}{100}}\Rightarrow$ TP ${\Big (}{\frac {263}{100}}/{\frac {971}{100}}{\Big )}$

c) $h_{a}(x)=5x^{5}-3a^{2}x^{3}$ mit $a\in [1,5]$

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$h_{a}'(x)=0$, mit $h_{a}'(x)=25x^{4}-9a^{2}x^{2}$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Ausklammern

$\;x^{2}\cdot (25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Satz vom Nullprodukt

$\Rightarrow x^{2}=0\Leftrightarrow x_{1/2}=0$

$\vee .\;\;\;\;\;\;25x^{2}-9a^{2}=0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;25x^{2}=9a^{2}\;\;\;\;|:25$

$\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}={\frac {9}{25}}a^{2}\;|{\sqrt {(...)}}$

.$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1}=-{\frac {3}{5}}a,x_{2}=0$ und $x_{4}={\frac {3}{5}}a$

Hinreichendes Kriterium

$h_{a}''(x_{E})<0$ oder $h_{a}''(x_{E})>0$, mit $h_{a}''(x)=100x^{3}-18a^{2}x$.

Wir erhalten durch einsetzen:

$h_{a}''{\Big (}-{\frac {3}{5}}a{\Big )}=-540a^{3}+10,8a<0\Rightarrow$ Es handelt sich um einen Hochpunkt bei $x=-{\frac {3}{5}}a.$

$h_{a}''(0)=0\Rightarrow$ Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei $x=0.$ Dies muss überprüft werden!

$h_{a}''{\Big (}{\frac {3}{5}}a{\Big )}=540a^{3}-10,8a>0\Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x={\frac {3}{5}}.$

Achtung: Ob es sich um eine Sattelstelle bei $x=0$ handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass $h_{a}'''(0)\neq 0$ stimmt. Es gilt $h_{a}'''(x)=300x^{2}-18a^{2}$

$h_{a}'''(0)=-18a^{2}\neq 0\Rightarrow$ Es liegt ein Sattelpunkt vor.

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

$h_{a}{\Big (}-{\frac {3}{5}}a{\Big )}={\frac {162}{625}}a\Rightarrow$ HP ${\Big (}-{\frac {3}{5}}/{\frac {162}{625}}a{\Big )}$

$h_{a}(0)={\frac {8}{9}}\Rightarrow$ SP $(0/0)$

$h_{a}{\Big (}{\frac {3}{5}}a{\Big )}=-{\frac {162}{625}}\Rightarrow$ TP ${\Big (}{\frac {3}{5}}/-{\frac {162}{625}}a{\Big )}$