Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

Wissen: Extremstellenbestimmung von Funktionen

Eine Funktion $f$, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, besitzt einen Punkt, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein globales oder lokales Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst.

• Es liegt ein lokales Extremum vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
• Ein globales Extremum liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert.
  

Merke: Bei der Bestimmung der globalen Extremstellen ist besonders wichtig für dich, die Randwerte zu überprüfen. Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

Aufgabe 1: Globale und lokale Extrema zuordnen

Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu. Klick auf die Stecknadel und wähle die richtige Antwort aus!

Berechnung einer Extremstelle

Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion $f(x)$ gilt:

Notwendiges Kriterium: Bei einem möglichem Extremum beträgt die Steigung 0, da sich in diesem Punkt das Steigungsverhalten der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ändert. Vor einem Hochpunkt beispielsweise steigt die Funktion und direkt nach dem Hochpunkt fällt sie. Im Folgenden wird diese Stelle als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_E} bezeichnet. Daher gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_E) = 0} .

Hinreichendes Kriterium: Die potentiellen Extremstellen werden in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)} eingesetzt. Achte darauf, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E)} kann folgen:

• Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) < 0 \Rightarrow} Es liegt ein Hochpunkt vor.
• Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) > 0 \Rightarrow} Es liegt ein Tiefpunkt vor.

Hinweis: Alternativ kannst du das hinreichende Kriterium überprüfen, indem du überprüfst, ob ein Vorzeichenwechsel vor und hinter einem Extrema vorliegt.

Ordinate bestimmen: Zu jeder Stelle existiert eine passende Ordinate. Dazu setzt du Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_E} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} ein. Zusammenfassend erhältst du alle Extrempunkte der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x_E|f(x_E))} .

Achtung: Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) = 0} . Dabei kann es sich um eine sogenannte Sattelstelle handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Wendepunkts dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extrempunkte besser merken zu können:

Beispiel: Bestimmung von Extremstellen

Wir untersuchen die folgende Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x} auf Extremstellen.

1. Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0} . Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = -2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = -1} .
2. Das Bilden der zweiten Ableitung ergibt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g''(x) = 4x + 6}
   • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow} Hochpunkt an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = -2} .
   • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow} Tiefpunkt an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = -1} .
3. Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)} bestimmen.

Wir erhalten: HP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(-2|\frac{28}{3}\Big)} und TP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(-1|-\frac{1}{3}\Big)} .

Aufgabe 2: Extrema ganzrationaler Polynome bestimmen

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 2x^{2} - 6x + 4}

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die ersten beiden Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für Extrema an!

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = 0} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = 4x - 6} .

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|+6}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{3}{2}}

Hinreichendes Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) < 0} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) > 0} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x) = 4} .

Wir erhalten durch einsetzen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''\Big(\frac{3}{2}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow} Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{3}{2}.}

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\Big(\frac{3}{2}\Big) = -\frac{1}{2} \Rightarrow} TP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(\frac{3}{2}|-\frac{1}{2}\Big)}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 }

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die ersten beiden Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für Extrema an!

Bei der Bestimmung der Nullstellen in der ersten Ableitung kann dir die P-Q-Formel helfen.

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = 0} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5} .

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|} PQ-Formel anwenden

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx 1 \pm 1{,}63}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -0{,}63} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = 2{,}63}

Hinreichendes Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) < 0} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_E) > 0} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x) = 6x - 6} .

Wir erhalten durch einsetzen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''\Big(-0{,}63\Big) = -9{,}78 < 0 \Rightarrow} Es handelt sich um einen Hochpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -0{,}63.}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''\Big(2{,}63\Big) = +1{,} > 0 \Rightarrow} Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2{,}63.}

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\Big(-0{,}63\Big) = -9{,}78 \Rightarrow} HP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(-0{,}63|-9{,}78\Big)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\Big(2{,}63\Big) = +9{,}78 \Rightarrow} TP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(2{,}63|-9{,}78\Big)}

c) ⭐ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} } mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in [1,5]} . In dem unten abgebildeten Bild kannst du durch den Schieberegler an der Funktion drehen und sehen wie sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}} für verschiedene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} verändert.

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die ersten beiden Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für Extrema an!

Betrachte das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} als eine beliebige Zahl.

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}'(x) = 0} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}} .

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|} Ausklammern

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;|} Satz vom Nullprodukt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0}

oderFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;|+9a^{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}}

.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = x_{2} = 0, x_{3} = -\frac{3}{5}a,} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{4} = \frac{3}{5}a}

Hinreichendes Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}''(x_E) < 0} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}''(x_E) > 0} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x} .

Wir erhalten durch einsetzen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -60a^{3} + 10{,}8a^{3} = -49{,}2a^{3} < 0} , da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a > 0\Rightarrow} Es handelt sich um einen Hochpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -\frac{3}{5}a.}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow} Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 0.} Dies muss überprüft werden!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 60a^{3} - 10{,}8a^{3} = 49{,}2a^{3}> 0 } , da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a > 0\Rightarrow} Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{3}{5}.}

Achtung: Ob es sich um eine Sattelstelle bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 0} handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}'''(0) \neq 0} stimmt. Es gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow} Es liegt ein Sattelpunkt vor.

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a^{5} \Rightarrow} HP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(-\frac{3}{5}|\frac{162}{625}a^{5}\Big)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow} SP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0|\frac{8}{9})}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{a}\Big(\frac{3}{5}\Big) = -\frac{162}{625}a^{5} \Rightarrow} TP Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(\frac{3}{5}|-\frac{162}{625}a^{5}\Big)}

Aufgabe 3: Besucher in den Münster-Arkaden

Datei:MuensterArkaden72.JPG

Die Anzahl der Kundender Arkaden in Münster wird für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9 \leq x \leq 20} mit Hilfe der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 } modelliert. Die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} stellt dabei die Uhrzeit in Stunden dar.

a) Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit in den Arkaden auf?

Antwortsatz

Um 15:06 Uhr besuchen insgesamt 376 Personen die Arkaden.

Ableitungen bestimmen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x+19}

Notwendiges Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{100}\Big)} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{2}=\frac{151}{10}} . Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

Hinreichendes Kriterium

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow} Es liegt ein Hochpunkt vor.

Ordinate bestimmen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;} Dieser Wert wird aufgerundet!

Uhrzeit bestimmen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15{,}1} Stunden entsprechen 15 Stunden und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}1\cdot 60} Minuten = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6} Minuten. Das entspicht eine Uhrzeit von 15.06 Uhr.

b) Berechne Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(12)} und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Überlege Dir in welchem Zusammenhang die Ableitung mit der Anzahl an Personen steht. Schau dir dazu den Merkkasten erneut an.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(12)=67.}

Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} die Arkaden betreten oder verlassen. Insgesamt befinden sich um 12 Uhr 67 Kunde mehr in den Arkaden.

c) Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Arkaden. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(10) = 95}

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht wird, bei der 95 Kunden mehr die Arkaden verlassen als betreten, wird aus +95 -95.

Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden die Arkaden verlassen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big)} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Big(x_{2} = \frac{1817}{100}\Big)}

Umrechnung der Uhrzeit: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}17} Stunden entsprechen in etwa 10 Minuten, denn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}17\cdot 60} Minuten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 10,2} Minuten.

Antwortsatz: Um etwas 18:10 nimmt die Anzahl der Kunden um 95 Personen ab.

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